2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在項(xiàng)目管理研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.某項(xiàng)目由三個(gè)活動(dòng)組成，活動(dòng)A是活動(dòng)B的先行活動(dòng)，活動(dòng)B是活動(dòng)C的先行活動(dòng)?；顒?dòng)A的持續(xù)時(shí)間為3天，活動(dòng)B的持續(xù)時(shí)間為4天，活動(dòng)C的持續(xù)時(shí)間為5天。請(qǐng)繪制該項(xiàng)目的網(wǎng)絡(luò)圖，并計(jì)算項(xiàng)目總工期。2.簡(jiǎn)述線性規(guī)劃模型在項(xiàng)目資源分配中的基本思想。二、某項(xiàng)目經(jīng)理需要決定如何分配兩個(gè)可用的資源（資源X和資源Y）到三個(gè)項(xiàng)目（項(xiàng)目1、項(xiàng)目2、項(xiàng)目3）中，以最大化項(xiàng)目總利潤(rùn)。每個(gè)項(xiàng)目需要的資源量、可獲得的利潤(rùn)以及可用資源總量如下表所示（表已省略，此處假設(shè)數(shù)據(jù)已知）。請(qǐng)建立該問題的線性規(guī)劃模型。三、假設(shè)一個(gè)項(xiàng)目的關(guān)鍵路徑由三個(gè)連續(xù)的活動(dòng)組成：活動(dòng)D（持續(xù)時(shí)間為5天）、活動(dòng)E（持續(xù)時(shí)間為7天，其最早開始時(shí)間受前一個(gè)活動(dòng)影響）、活動(dòng)F（持續(xù)時(shí)間為6天）。活動(dòng)E必須在活動(dòng)D完成后2天才開始。請(qǐng)計(jì)算活動(dòng)E的最早開始時(shí)間和最晚開始時(shí)間，并說明如果活動(dòng)E的持續(xù)時(shí)間變?yōu)?天，對(duì)項(xiàng)目總工期有何影響。四、在一個(gè)項(xiàng)目中，活動(dòng)J的成功完成依賴于活動(dòng)H和活動(dòng)K都成功完成。活動(dòng)H和活動(dòng)K分別有90%和95%的成功概率。假設(shè)活動(dòng)J的成功與否是獨(dú)立的，并且項(xiàng)目成功定義為活動(dòng)J成功完成。請(qǐng)計(jì)算該項(xiàng)目成功的概率。五、考慮以下線性規(guī)劃問題（目標(biāo)函數(shù)系數(shù)和約束條件系數(shù)已省略）：maxZ=c1*x1+c2*x2s.t.a11*x1+a12*x2≤b1a21*x1+a22*x2≤b2x1,x2≥0假設(shè)該問題是標(biāo)準(zhǔn)形式，且經(jīng)過單純形法求解后，得到最優(yōu)解為(x1*,x2*)，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為Z*。請(qǐng)解釋單純形法的基本思想，并說明如何判斷該問題是否存在多個(gè)最優(yōu)解。六、某項(xiàng)目需要鋪設(shè)一條管線，從點(diǎn)A到點(diǎn)F。可行的路線以及每段路線的長(zhǎng)度（單位：公里）如下：A-B（3），B-C（4），B-D（5），C-E（2），D-E（3），E-F（4）。請(qǐng)使用圖論方法找出從A到F的最短路徑及其長(zhǎng)度。七、某項(xiàng)目有五個(gè)活動(dòng)，它們的工期（天）和最早開始時(shí)間（天）如下表所示（表已省略，此處假設(shè)數(shù)據(jù)已知）。請(qǐng)計(jì)算每個(gè)活動(dòng)的總時(shí)差，并確定項(xiàng)目的關(guān)鍵路徑。八、一個(gè)項(xiàng)目的成本由固定成本和可變成本組成。如果項(xiàng)目提前完成，可以節(jié)省一部分固定成本。假設(shè)項(xiàng)目的原計(jì)劃工期為T天，固定成本為C0，提前完成1天可以節(jié)省S元固定成本。項(xiàng)目的可變成本為每天P元。請(qǐng)定義一個(gè)衡量項(xiàng)目成本（考慮提前完工節(jié)省成本）的函數(shù)，并解釋其含義。試卷答案一、1.網(wǎng)絡(luò)圖如下（假設(shè)使用AOA表示）：A(ES=0,EF=3)→B(ES=3,EF=7)→C(ES=7,EF=12)總工期為12天。2.線性規(guī)劃模型將項(xiàng)目資源分配問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題，目標(biāo)通常是最大化項(xiàng)目效益（如利潤(rùn)、效率）或最小化成本。模型包含決策變量（代表分配給每個(gè)項(xiàng)目的資源量）、目標(biāo)函數(shù)（表示要優(yōu)化的效益或成本）以及約束條件（代表資源限制、項(xiàng)目間的依賴關(guān)系等）。通過求解該線性規(guī)劃模型，可以得到最優(yōu)的資源分配方案。二、線性規(guī)劃模型如下：maxZ=profit1*x1+profit2*x2+profit3*x3s.t.resourceX1*x1+resourceX2*x2+resourceX3*x3≤totalResourceXresourceY1*x1+resourceY2*x2+resourceY3*x3≤totalResourceYx1,x2,x3≥0其中：*Z是項(xiàng)目總利潤(rùn)。*x1,x2,x3分別是分配給項(xiàng)目1、項(xiàng)目2、項(xiàng)目3的資源X量。*profit1,profit2,profit3分別是項(xiàng)目1、項(xiàng)目2、項(xiàng)目3的單位資源利潤(rùn)。*resourceX1,resourceX2,resourceX3分別是項(xiàng)目1、項(xiàng)目2、項(xiàng)目3的單位資源消耗量（對(duì)資源X）。*totalResourceX是資源X的總量。*resourceY1,resourceY2,resourceY3分別是項(xiàng)目1、項(xiàng)目2、項(xiàng)目3的單位資源消耗量（對(duì)資源Y）。*totalResourceY是資源Y的總量。三、1.活動(dòng)E的最早開始時(shí)間ESE=max(活動(dòng)D的最早完成時(shí)間EF_D)=max(5)=5天?；顒?dòng)E的最晚開始時(shí)間ELS=ESE+2天-活動(dòng)E的持續(xù)時(shí)間=5+2-7=0天。2.如果活動(dòng)E的持續(xù)時(shí)間變?yōu)?天，其最早完成時(shí)間EFE'=ESE+8=5+8=13天。此時(shí)，關(guān)鍵路徑變?yōu)锳(0)→B(3)→C(7)→F(13)，項(xiàng)目總工期變?yōu)?3天。因此，活動(dòng)E持續(xù)時(shí)間增加導(dǎo)致項(xiàng)目總工期延長(zhǎng)。四、項(xiàng)目成功的概率P(成功)=P(活動(dòng)J成功)=P(活動(dòng)H成功且活動(dòng)K成功)=P(活動(dòng)H成功)*P(活動(dòng)K成功)(因?yàn)楠?dú)立)=0.90*0.95=0.855五、1.單純形法的基本思想是從可行域的一個(gè)頂點(diǎn)開始，通過迭代，每次移動(dòng)到相鄰的頂點(diǎn)，使得目標(biāo)函數(shù)值增加（或減少）。在每次迭代中，選擇一個(gè)進(jìn)入基變量的非基變量（使目標(biāo)函數(shù)值增加最快），并選擇一個(gè)離開基變量的基變量（保證解仍然保持非負(fù)），通過求解相應(yīng)的線性方程組找到新的頂點(diǎn)。這個(gè)過程一直持續(xù)到無(wú)法再找到使目標(biāo)函數(shù)值發(fā)生改善的頂點(diǎn)為止，此時(shí)就得到了最優(yōu)解。2.判斷多個(gè)最優(yōu)解的方法：如果在最優(yōu)解處，存在一個(gè)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)等于零，則該線性規(guī)劃問題存在多個(gè)最優(yōu)解。這意味著沿著該非基變量對(duì)應(yīng)的方向移動(dòng)，目標(biāo)函數(shù)值保持不變，仍為最優(yōu)值。六、使用迪杰斯特拉算法（或其他最短路徑算法）：1.初始化：起點(diǎn)A，終點(diǎn)F。A到A的距離為0，到其他點(diǎn)的距離為無(wú)窮大。A為當(dāng)前節(jié)點(diǎn)。2.更新A的鄰接點(diǎn)B：A到B的距離為3<無(wú)窮大，更新A到B的距離為3。將B加入待處理節(jié)點(diǎn)集合。3.選擇下一個(gè)節(jié)點(diǎn)：B是當(dāng)前距離最小的未處理節(jié)點(diǎn)（距離3）。B的鄰接點(diǎn)C和D。更新A到C的距離（3+4=7），A到D的距離（3+5=8）。C和D加入待處理節(jié)點(diǎn)集合。處理B，標(biāo)記為已訪問。4.選擇下一個(gè)節(jié)點(diǎn)：C和D中，C的距離（7）最小。處理C。C的鄰接點(diǎn)E。更新A到E的距離（7+2=9<原無(wú)窮大）。E加入待處理節(jié)點(diǎn)集合。標(biāo)記C為已訪問。5.選擇下一個(gè)節(jié)點(diǎn)：E的距離（9）最小。處理E。E的鄰接點(diǎn)F。更新A到F的距離（9+4=13<原無(wú)窮大）。F加入待處理節(jié)點(diǎn)集合。標(biāo)記E為已訪問。6.選擇下一個(gè)節(jié)點(diǎn)：F的距離（13）最小。處理F。F是終點(diǎn)，算法結(jié)束。最短路徑為A→B→C→E→F，長(zhǎng)度為13。七、1.計(jì)算每個(gè)活動(dòng)的最早開始時(shí)間（ES）和最早完成時(shí)間（EF）：*活動(dòng)A:ES_A=0,EF_A=ES_A+duration_A*活動(dòng)B:ES_B=max(ES_A,ES_B'),EF_B=ES_B+duration_B(ES_B'是所有緊前活動(dòng)A的EF)*...(依此類推)2.計(jì)算每個(gè)活動(dòng)的最晚完成時(shí)間（LF）和最晚開始時(shí)間（LS）：*活動(dòng)N:LF_N=project_total_duration,LS_N=LF_N-duration_N*活動(dòng)M:LS_M=min(LF_M',LS_M'''),EF_M=LS_M+duration_M(LF_M'是所有緊后活動(dòng)M'的LS,LS_M''是所有緊后活動(dòng)M''的LS)*...(逆向計(jì)算)3.計(jì)算總時(shí)差（TF）：*TF_i=LS_i-ES_i=EF_i-LF_i4.關(guān)鍵路徑是所有活動(dòng)總時(shí)差TF=0的活動(dòng)構(gòu)成的路徑。八、定義成本函數(shù)C(T)為項(xiàng)目總成本：C(T)=C0-S*(T-T0)+P*T其中：*C(T)是項(xiàng)目在工期為T天時(shí)的總