專題4.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1三角函數(shù)的圖象變換】.............................................................................................................................2

【題型2描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過程】.............................................................................................3

【題型3由部分圖象確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式】.....................................................................................4

【題型4圖象與性質(zhì)的綜合應用】.........................................................................................................................6

【題型5函數(shù)的零點（方程的根）問題】.............................................................................................................7

【題型6三角函數(shù)模型】.........................................................................................................................................8

【題型7函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應用】...............................................................................10

1、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

(1)結(jié)合具體實例，了解

y=Asin(ωx+φ)的實際意義；

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是三角函數(shù)的重

能借助圖象理解參數(shù)ω,φ,A

2023年全國甲卷（文數(shù)）：第要內(nèi)容，也是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年

的意義，了解參數(shù)的變化對

12題，5分的高考情況來看，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的

函數(shù)圖象的影響

2023年全國甲卷（理數(shù)）：第圖象變換以及由部分圖象求函數(shù)的解析

(2)會用三角函數(shù)解決簡單的

10題，5分式是高考考察的主要方向，試題主要以

實際問題，體會可以利用三

選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度不高.

角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變

化的數(shù)學模型

知識點1函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換

1．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的作法

作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象常用如下兩種方法：

(1)五點法作圖：用“五點法”作y=Asin(ωx+φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設z=ωx+φ，由z取

來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象；

(2)圖象的變換法：由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”

與“先伸縮后平移”.

2．三角函數(shù)的圖象變換問題的求解方法

解決三角函數(shù)圖象變換問題的兩種方法分別為先平移后伸縮和先伸縮后平移.破解此類題的關(guān)鍵如下：

(1)定函數(shù)：一定要看準是將哪個函數(shù)的圖象變換得到另一個函數(shù)的圖象；

(2)變同名：函數(shù)的名稱要變得一樣；

(3)選方法：即選擇變換方法.

知識點2由部分圖象確定函數(shù)解析式的解題方法

1．由部分圖象確定函數(shù)解析式的方法

由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段圖象求其解析式時，A比較容易由圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，

常用如下兩種方法：

(1)如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點”坐標，那么由即可求出ω；確定φ時，若能求出離

原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的零點的橫坐標，則令即可求出φ.

(2)代入點的坐標.利用一些已知點(最高點、最低點或零點)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，

ω的符號或φ的范圍有所需求，可用誘導公式變換使其符合要求.

知識點3三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應用的解題策略

1．研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的技巧

研究y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)時可將ωx+φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進行解題.

2．函數(shù)的零點（方程的根）的問題的解題策略

函數(shù)的零點（方程的根）的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，據(jù)此進行求解即可.

3．三角函數(shù)模型

三角函數(shù)模型的應用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問

題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.

【方法技巧與總結(jié)】

1．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.

2．由y=sinωx到y(tǒng)=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度.

【題型1三角函數(shù)的圖象變換】

【例1】（2025·海南·模擬預測）先將函數(shù)的圖象向右平移個最小正周期，再將所得圖象

π1

上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐?標?不=變s，in得4到?函+數(shù)4的圖象，則2（）

A．2B．????=

3π3π

sin2??4sin8??4

C．D．

3π3π

sin2?+4sin8?+4

【變式1-1】（2025·山東臨沂·二模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函

ππ

??=sin2?+?,?<23

數(shù)的圖象．若的圖象關(guān)于軸對稱，則（）

?A?．??B．?C．?=D．

ππππ

?12?636

【變式1-2】（2025·江蘇南京·二模）把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），

1

?=cos?2

再將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）

π

6?=????=

A．B．C．D．.

ππ1π1π

cos2??6cos2??3cos2??6cos2??12

【變式1-3】（24-25高一下·廣東佛山·階段練習）將函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱

1

?=sin?2

坐標不變），得到函數(shù)的圖象.再將的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，

π

6

則函數(shù)的解析式為（?=）???=???=??

A．??B．

1π1π

??=sin2??6??=sin2??12

C．D．

ππ

??=sin2??6??=sin2??3

【題型2描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過程】

【例2】（2025·湖北恩施·模擬預測）要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖

π5π

象（）?=sin2?+4?=cos2??6

A．向右平移個單位B．向左平移個單位

7π7π

1212

C．向右平移個單位D．向左平移個單位

7π7π

2424

【變式2-1】（2025·山西臨汾·三模）為了得到函數(shù)的圖象，只要把正弦函數(shù)上所有點（）

π

?=cos??3

A．向右平移個單位長度B．向右平移個單位長度

ππ

63

C．向左平移個單位長度D．向左平移個單位長度

ππ

36

【變式2-2】（2025·天津和平·二模）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖

所示，要得到的圖象，只需將?函?數(shù)=?s的in圖?象?+上?所有的?>點0（?）>0?<π

?=2sin???

A．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平行移動個單位長度

π

3

B．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平行移動個單位長度

2π

3

C．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平行移動個單位長度

1π

23

D．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平行移動個單位長度

12π

23

【變式2-3】（2025·浙江溫州·二模）已知函數(shù)，，則兩個函數(shù)的圖象僅通過平移就

可以重合的是（）??=sin???=cos?

A．與

B．?=??????=與??

22

C．?=??與????=????

D．?=???與?=???

?=????=???

【題型3由部分圖象確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式】

【例3】（2025·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，

π

?(?)=2cos(????)?>0,|?|<2

則（）

4π

?3=

A．B．1C．D．

【變式3-?1】1（2025·廣西南寧·模擬預測）在物理學中3簡諧運動可以用函數(shù)?3

來表示，其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）?(?)=?sin(??+?)(?>0,?>

0,|?|<π)

A．函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱

π

?(?)6,0

B．函數(shù)的解析式可以為

2π

?(?)?(?)=2cos2??3

C．函數(shù)在上的值域為

?(?)[0,π][0,2]

D．若把圖象上所有點向右平移個單位，則所得函數(shù)是

ππ

?(?)12?=2sin2?+12

【變式3-2】（2025·四川自貢·三模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所

π

示，下列說法正確的是（）??=?sin??+??>0,?>0,?<2

A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱

π

?=???=?6

B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱

5π

?=???12,0

C．函數(shù)在上單調(diào)遞減

2ππ

?=???3,?6

D．當時，

π

?∈0,4??∈1,2

【變式3-3】（2025·天津紅橋·一模）已知函數(shù)的部分圖象如

π

圖所示，則下列正確個數(shù)有（）??=?sin??+?+??>0,?>0,?<2

①關(guān)于點對稱；

π

??6,3

②關(guān)于直線對稱；

π

???=3

③在區(qū)間上單調(diào)遞減；

π5π

??2,6

④在區(qū)間上的值域為；

5ππ

???12,121,3

A．1個B．2個C．3個D．4個

【題型4圖象與性質(zhì)的綜合應用】

【例4】（2025·海南·模擬預測）已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

??=sin??+3?>0

，則（）

π2π

2,??=sin2?+3

A．的最小正周期為2

??π

B．的圖象關(guān)于點對稱

2π

??3,0

C．將的圖象向左平移個單位長度可得到的圖象

π

??3??

D．與的圖象關(guān)于軸對稱

?????

【變式4-1】（2025·天津·一模）已知是函數(shù)圖象的一個對稱軸，則下列

ππ

說法錯誤的是（）?=6?(?)=2cos(2?+?)|?|<2

A．是函數(shù)圖象的一個對稱中心

5π

12,0?(?)

B．函數(shù)的圖象可由圖象向左平移個單位長度得到

π

?(?)?=2sin2?12

C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

π2π

?(?)6,3

D．函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點

π5π

?(?)?6,6

【變式4-2】（2025·天津濱海新·三模）已知函數(shù)的部分圖象如

π

圖所示，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：??=?sin??+??>0,?>0,0<?<2

①在區(qū)間上單調(diào)遞減

π7π

??12,12

②的圖象可由的圖象向左平移個單位得到

π

???=2sin2?6

③的對稱軸為

5π

???=12+?π?∈Z

④在區(qū)間上的最小值為

π

以上??四個說法中0,，2正確的個數(shù)為?（3）

A．1B．2C．3D．4

【變式4-3】（2025·天津·模擬預測）已知．給出下列判斷：

2π2π

??=sin??+3?cos??+3(?>0)

①若，且，則；

π

??1=1,??2=?1?1??2min=2?=2

②若在恰有9個零點，則的取值范圍為；

5359

?(?)0,2π?24,24

③存在，使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱；

π

?∈(0,2)?(?)6?

④若在上是增函數(shù)，則的取值范圍為．

ππ

其中，?(?判)斷正?確6,的3個數(shù)為（）?(0,1]

A．1B．2C．3D．4

【題型5函數(shù)的零點（方程的根）問題】

【例5】（2025·陜西咸陽·模擬預測）將函數(shù)（）圖象上所有點的橫坐標縮短為原

π

??=2sin???8?>0

來的，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在上恰有2個零點，則的最大值為

1π

（）312?????0,π?

A．B．C．D．

519239

824248

【變式5-1】（2025·甘肅慶陽·三模）已知函數(shù)，將圖象上所有的點向

ππ

??=sin2?+??≤4?=??

左平移個單位長度后得到的曲線關(guān)于軸對稱，則下列結(jié)論正確的是（）

2

3?

A．在上為增函數(shù)

B．?=??0,1

π

?=8

C．在上有兩個零點

D．?=??在?1,2上有無數(shù)個零點

?=???1,2

【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，

πππ

??=2sin2?+??2<?<23,0

將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為

π

3

（）???????π,π

A．1B．2C．3D．4

【變式5-3】（2024·陜西安康·模擬預測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得函數(shù)圖

π

??=sin?6

象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)

1

?(?>0)????=

在上有5個零點，則的取值范圍是（）

2

?+2?,?≤0

?∞,3π?

?A?．,?>0B．C．D．

1723172311171117

18,1818,1818,1818,18

【題型6三角函數(shù)模型】

【例6】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地

往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設置48個

座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近位置進倉，轉(zhuǎn)一周大約需要30min．某

游客坐上摩天輪的座艙10min后距離地面高度約為（）

A．92.5mB．87.5mC．82.5mD．

553

【變式6-1】（2025·陜西榆林·模擬預測）交流電的瞬時值隨時間周期性變化，2正+負65號表m示電流方向的交替變

化.電流強度（安）隨時間（秒）變化的函數(shù)的圖象如圖所示，

π

???=?sin??+??>0,?>0,0<?<2

則當秒時，電流強度是（）

1

?=200

A．安B．5安C．安D．安

【變式6-?2】5（2024·山西·模擬預測）某質(zhì)點的位移?53與運動時間的5關(guān)3系式為

，其圖象如圖所示，圖象與軸交點?坐c標m為，?與s直線的相?=鄰三sin個?交?點+的?橫?坐>標

31

0,?∈?π,π?0,?2?=2

依次為，，，則下列說法正確的是（）

π7π5π

6186

A．

?=4

B．

2π

?=?3

C．質(zhì)點在內(nèi)的位移圖象為單調(diào)遞減

3

1,2s

D．質(zhì)點在內(nèi)走過的路程為

7π

0,18s3?3cm

【變式6-3】（2024·四川成都·二模）筒車亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種以水流作動力，取水灌田的工具，唐陳廷

章《水輪賦》：“水能利物，輪乃曲成.升降滿農(nóng)夫之用，低徊隨匠氏之程.始崩騰以電散，俄宛轉(zhuǎn)以風生.雖

破浪于川湄，善行無跡；既斡流于波面，終夜有聲.”如圖，一個半徑為4的筒車按逆時針方向每分鐘轉(zhuǎn)一

圈，筒車的軸心O距離水面的高度為.在筒車轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，盛水筒Pm距離水面的高度不低于的時

間為（）2m4m

A．9秒B．12秒C．15秒D．20秒

【題型7函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應用】

【例7】（2025·河北邢臺·三模）已知函數(shù)的圖象過點，將的圖象向右平移

個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則?(?)=的sin圖2象?+的?對co稱s2軸?為（）(0,3)?(?)

π

12?(?)?(?)

A．，B．，

π?ππ?π

?=3+2?∈Z?=6+2?∈Z

C．，D．，

5π13π

?=6+?π?∈Z?=12+?π?∈Z

【變式7-1】（2025·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)

π2π

?(?)=?sin???cos??(?>0,?>0)18,9

遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且.若將的圖象向左平移個單位長度后所得函數(shù)的

2π5π7?

圖象關(guān)于軸對稱9,，9則的最小值為（?）18=0?(?)?(?>0)

A．??B．C．D．

π?2??

18993

【變式7-2】（2024·遼寧大連·模擬預測）已知函數(shù)，.

2π2

?(?)=sin?+3+cos???=sin?

(1)求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；

(2)將函數(shù)?(?)圖象向右平移個單位，再將圖象向下平移1個單位，再將圖象上每一點的橫坐標不變，縱坐

π

?(?)6

標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫胶瘮?shù)的圖象，并設.若在上有

83ππ

322

解，求實數(shù)的取值范圍.?(?)??=??+???+??+?(?)>00,

?

【變式7-3】（2024·山西·模擬預測）已知函數(shù).

44

?(?)=sin?+2sin?cos??cos?

(1)若，，求的值；

π?2π

?∈0,2?2=3cos?+12

(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將函數(shù)圖象上各點的橫坐標變?yōu)?/p>

π

?(?)24?(?)?(?)

原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上沒有零點，求的取值范圍.

1ππ

?(?>0)?(?)?(?)4,2?

一、單選題

1．（2025·湖南長沙·三模）將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到的函數(shù)圖象關(guān)于

ππ

軸對稱，則的值可以為（）?(?)=sin??+3(?>0)6

?A．?B．1C．2D．5

1

2

2．（2024·北京·模擬預測）將的圖象變換為的圖象，下列變換正確的是（）

π

?=sin??=sin3??6

A．將圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮賹D象向右平移個單位

1π

36

B．將圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖象向右平移個單位

π

18

C．將圖象向右平移個單位，再將圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?/p>

π1

63

D．將圖象向右平移個單位，再將圖象上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

π

6

3．（2025·廣東佛山·三模）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，

ππ

則下列結(jié)論正確的是（）??=4cos2?+33??

A．是奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對稱

π

?????=12

C．在，上的值域為，D．在，上單調(diào)遞增

πππ

???63?24??02

4．（2025·河南·模擬預測）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱

1

?(?)=3sin2??cos2??(?>0)

坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)，則的取值范圍為（）

π

?(?)?(?)0,3?

A．B．C．D．

11

(0,1]0,2[1,+∞)2,+∞

5．（2025·陜西咸陽·模擬預測）音樂噴泉曲線形似藤蔓上掛結(jié)的葫蘆，也可稱為“葫蘆曲線”.它的性質(zhì)是每

經(jīng)過相同的時間間隔，它的振幅就變化一次.如圖所示，某條葫蘆曲線的方程為

12?

?=2?2πsin??0≤

，其中表示不超過的最大整數(shù)，如且，且經(jīng)過點，則該

5

?≤2π???2.1=?3,1<?≤3?∈??4π,1

條葫蘆曲線與直線交點的縱坐標為（）

5

?=3π

A．B．C．D．

3232

6．（202±5·甘2肅白銀·模擬預測±）2如圖，將函數(shù)±4±4的圖象向左平移得到

的圖象，其中點A是圖象上的最?高?點=，4sin分??別+是??，>0,|?的|<圖π象與x軸的相鄰交點（如?圖?所=

示4si）n?，?若，??的面積為10，則?,?（）????

|??|=|??|△?????=

A．B．

π5ππ5π

4sin6??64sin6?+6

C．D．

ππππ

4sin3??34sin6??3

7．（2025·黑龍江牡丹江·模擬預測）函數(shù)的圖象如圖所示，將其向左平

π

?(?)=2sin2??+3(0<?<1)

移個單位長度，得到的圖象，則下列說法錯誤的是（）

π

6?=?(?)

A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱

1π

?=2?(?)?3,0

C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞減

ππππ

?=?(?)?=4?=?2?+3?9,9

8．（2025·遼寧大連·模擬預測）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐

π

標不變，得到函數(shù)的圖象，則（）?(?)=2sin2?+6

A．的最小?正(?周)期為B．為奇函數(shù)

π

?(?)4π??+3

C．在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上有6個零點

ππ2π

二、多選?題??23,3?=?(?)??(?)[0,2π]

9．（2025·廣西柳州·模擬預測）已知函數(shù)的部分圖像如圖所

示，則（）?(?)=?sin(??+?)(?>0,?>0,0<?<π)

A．B．

π

?=2?=3

C．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D．在的值域為

17πππ

?=12?(?)?(?)?6,4[?1,2]

10．（2025·福建·模擬預測）已知函數(shù)的最小正周期為，則（）

A．的最小值為??=sin???3cos???>0π

???2

B．在上單調(diào)遞增

ππ

???12,6

C．直線是的圖象的對稱軸

π

?=6??

D．的圖象可由的圖象向左平移個單位得到

7π

???=2cos2?12

11．（2025·山東泰安·模擬預測）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐

2π1

標不變，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)?論(?正)=確3的si為n（3?）2?2

A．函數(shù)??為偶函數(shù)

π

?=???6

B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸

19

?=24π??

C．若，則的值域為

π33

?∈0,4???2,3

D．是函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間

17π11π

三、填空?題24,?24??

12．（2025·上?！と＃┤鐖D是函數(shù)的圖象，則的值為.

π

??=?sin??+??,?>0,?<2?

13．（2025·上海浦東新·模擬預測）把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），

1

?=cos?2

再將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則.

π

6?=????=

14．（24-25高三下·上海靜安·期中）設某港口水的深度