重難點(diǎn)16坐標(biāo)法與極化恒等式、等和（高）線定理在平面向量中的應(yīng)用【全國(guó)通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1坐標(biāo)法解決平面向量線性運(yùn)算問題】 4【題型2坐標(biāo)法解決平面向量數(shù)量積問題】 6【題型3坐標(biāo)法解決向量共線、垂直問題】 7【題型4利用極化恒等式求值】 9【題型5利用極化恒等式求最值（范圍）】 11【題型6等和線解決系數(shù)和問題】 15【題型7等和線解決其他系數(shù)問題】 181、坐標(biāo)法、極化恒等式與等和（高）線定理坐標(biāo)法是解決平面向量問題的重要方法，坐標(biāo)運(yùn)算能將問題從復(fù)雜的化簡(jiǎn)中解放出來，快速簡(jiǎn)捷地達(dá)成解題的目標(biāo).對(duì)于條件中包含向量夾角與長(zhǎng)度的問題，都可以考慮建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)法來統(tǒng)一表示向量，達(dá)到轉(zhuǎn)化問題，簡(jiǎn)單求解的目的.極化恒等式是平面向量中的重要等式，是解決平面向量的數(shù)量積問題的重要工具，有平行四邊形模型和三角形模型兩大重要模型，可以建立起向量與幾何長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系.等和（高）線定理是平面向量中的重要定理，由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)得出，在求基底系數(shù)和的值、最值（范圍）中有著重要作用.知識(shí)點(diǎn)1坐標(biāo)法解決平面向量問題1．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示(1)兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示由于向量a=()，b=()等價(jià)于a=，b=，所以a+b=()+()=，即a+b=().同理可得a-b=().這就是說，兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).(2)向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示由a=(x,y)，可得a=，則λa==，即λa=(λx,λy).

這就是說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

2．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示由于向量a=()，b=()等價(jià)于a=，b=，所以a·b=()·()=.又=1，=1，==0，所以a·b=.這就是說，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.(2)平面向量長(zhǎng)度（模）的坐標(biāo)表示若a=(x,y)，則或.其含義是：向量a的長(zhǎng)度(模)等于向量a的橫、縱坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根.3．平面向量位置關(guān)系的坐標(biāo)表示(1)共線的坐標(biāo)表示①兩向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=()，b=()，其中b≠0.向量a，b(b≠0)共線的充要條件是.②三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示若A()，B()，C()三點(diǎn)共線，則有，從而，即.(2)夾角的坐標(biāo)表示設(shè)a，b都是非零向量，a=()，b=()，是a與b的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得.(3)垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a=()，b=()，則.

即兩個(gè)向量垂直的充要條件是它們相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和為0.4．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.知識(shí)點(diǎn)2極化恒等式1．極化恒等式的證明過程與幾何意義(1)平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：.證明：不妨設(shè)，則，，①，②，①②兩式相加得：.(2)極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式平行四邊形模式：.2．幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．(1)平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角線長(zhǎng)”平方差的，即(如圖).(2)三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差，即(M為BC的中點(diǎn))(如圖).極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來表示，可以建立起向量與幾何長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)3等和(高)線定理1．等和(高)線定理(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若(λ,μ∈R)，則λ+μ=1，由△OAB與△OA'B'相似，必存在一個(gè)常數(shù)k,k∈R，使得，則，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ=k；反之也成立. (2)平面內(nèi)一個(gè)基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若點(diǎn)P'在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ+μ=k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=1；②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k∈(0,1)；③當(dāng)直線AB在O點(diǎn)和等和線之間時(shí)，k∈(1,+∞)；④當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k=0；⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比.【題型1坐標(biāo)法解決平面向量線性運(yùn)算問題】【例1】（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測(cè)）若向量a=?1,0，b=0,1，則a+2A．?1,2 B．?1,1 C．0,1 D．1,2【答案】A【解題思路】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得結(jié)果.【解答過程】由a=?1,0，則a+2故選：A.【變式1-1】（2025·云南曲靖·二模）已知A?2,1,B?1,3,C3,4，若點(diǎn)D滿足ABA．2,2 B．3,1 C．1,3 D．5.5【答案】A【解題思路】設(shè)點(diǎn)Dx,y，求出AB,【解答過程】設(shè)點(diǎn)Dx,y，則AB=又AB=DC，所以所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為2,2，故選：A.【變式1-2】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量a=1,x?2，b=x,3，若a=λA．?3 B．?1 C．1 D．3【答案】D【解題思路】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)條件列出關(guān)于x的方程，結(jié)合λ>0求解即可.【解答過程】因?yàn)閍=λb，所以1,x?2=λ因?yàn)棣?gt;0，解得λ=1故選：D.【變式1-3】（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知向量w，v，u在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，將w繞著起點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到向量a，若u=ma?nv

A．?72 B．?12 C．【答案】A【解題思路】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示求解即可；【解答過程】

由圖可得a=EG，以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AE為設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，C0,3所以a=因?yàn)閡=ma?n所以3=2m?3n1=?2m+n所以m+n=?7故選：A.【題型2坐標(biāo)法解決平面向量數(shù)量積問題】【例2】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=2,4,b=m,8，若A．5 B．25 C．45 【答案】C【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)公式計(jì)算得出m=4，最后應(yīng)用模長(zhǎng)公式計(jì)算求解.【解答過程】因?yàn)閍?b=2m+32=40，所以m=4，所以故選：C.【變式2-1】（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知a為單位向量，b=?1,3，若|2a?b|=2A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【解題思路】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出a?【解答過程】依題意，|a|=1,|b|=2，由|2a則cos?a,b?=所以a與b的夾角為60°故選：B.【變式2-2】（2025·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a→=1,2，b→=3,?1，若向量c滿足c·A．2,1 B．1,2 C．?1,3 D．3,?1【答案】A【解題思路】設(shè)向量c的坐標(biāo)為x,y，運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算，聯(lián)立即可求解.【解答過程】設(shè)c=c·a=x+2y=4因此c=故選：A.【變式2-3】（2025·河北秦皇島·三模）在正方形ABCD中，P，Q分別為BC，CD的中點(diǎn)，若AC?AP=32A．12 B．?12 C．2【答案】B【解題思路】建系，設(shè)AB=2a，標(biāo)相關(guān)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【解答過程】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2a，則A0,0可得AC=因?yàn)锳C?AP=4所以AB?故選：B.【題型3坐標(biāo)法解決向量共線、垂直問題】【例3】（2025·湖北武漢·三模）在矩形ABCD中，A?1,0,Bx,1?x，若n=2,?3，且nA．?5 B．?15 C．1【答案】C【解題思路】由已知n⊥【解答過程】由題設(shè)知n⊥AB，且AB=(x+1,1?x)所以5x?1=0，即x=15故選：C.【變式3-1】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=λ?1,1,b=2,λ，若A．?2 B．?1 C．1 D．2【答案】B【解題思路】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算先求a?【解答過程】由題意有a?b=所以a?故選：B.【變式3-2】（2025·遼寧遼陽(yáng)·一模）已知向量AB=5,1，BC=m,9，CD=8,5.若A、C、A．54 B．?11 C．11 D．【答案】C【解題思路】求出向量AC，由題意可得AC//CD，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于【解答過程】因?yàn)橄蛄緼B=5,1，BC=所以，AC=因?yàn)锳、C、D三點(diǎn)共線，則AC//CD，所以，5m+5故選：C.【變式3-3】（2025·北京大興·三模）已知平面向量a=1,2，b=2,m，若a+A．?1 B．1 C．?1或1 D．4【答案】C【解題思路】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出m的值.【解答過程】因?yàn)閍→所以a→因?yàn)閍→+所以?3+m+2解得m=±1.故選：C.【題型4利用極化恒等式求值】【例4】（24-25高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一，即如圖所示，a?b=14AD2?BC2，我們稱為極化恒等式.已知在△ABC中，M是BC中點(diǎn)，AM=3A．?16 B．16 C．?8 D．8【答案】A【解題思路】可以把三角形補(bǔ)形為平行四邊形，AM=【解答過程】由題設(shè)，△ABC可以補(bǔ)形為平行四邊形ABDC，由已知得AM=3,BC=10,AB故選：A．【變式4-1】（2024·四川綿陽(yáng)·三模）如圖，在△ABC中，AF=BF=6,EF=5，則EA?EB=A．?11 B．?13 C．?15 D．15【答案】A【解題思路】根據(jù)極化恒等式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，直接求解即可.【解答過程】因?yàn)閍?故EA?EB=故選：A.【變式4-2】（24-25高一下·海南海口·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，其對(duì)稱中心O平分線段MN，且MN=2BC，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，則EM?EN=

A．1 B．3 C．?1 D．?3【答案】D【解題思路】根據(jù)條件轉(zhuǎn)化向量，再結(jié)合向量的運(yùn)算律，即可求解.【解答過程】由題可知MN=2BC=4，OM=2，OE=1，EM?EN=

故選：D.【變式4-3】（24-25高一下·江蘇蘇州·期中）閱讀一下一段文字：a+b2=a2+2a?b+b2，a?b(1)若AD＝6，BC＝4，求AB?(2)若AB?AC=4，F(xiàn)【答案】(1)32(2)7【解題思路】（1）根據(jù)“極化恒等式”列出式子計(jì)算即可（2）設(shè)AD=3m,BC=2n(m>0,n>0)，根據(jù)題目所給條件和“極化恒等式”列出關(guān)于m,n的方程組，解出【解答過程】（1）AB?（2）由題意，AD∵AB?AC=4，由（1）知AD∵FB?FC=?1，由①②解得：m2=∴E【題型5利用極化恒等式求最值（范圍）】【例5】（24-25高一下·福建泉州·期中）在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=2,AC=6，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC斜邊BCA．?10,0 B．?6,0 C．0,6 D．0,10【答案】A【解題思路】先將PB·PC轉(zhuǎn)化成【解答過程】由題AD=DB=DC=1所以由點(diǎn)P在△ABC斜邊BC的中線AD上得PD∈0,故PB=PD故選：A.【變式5-1】（2025·天津津南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，且AB=2，MC=MD=CD=1．若點(diǎn)N在線段CD（端點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)，則NA?NB的取值范圍是（A．?14,0 B．0，34 【答案】A【解題思路】連接MN，求出|NM【解答過程】連接MN，如圖，點(diǎn)N在線段CD（端點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)，

因?yàn)镸C=MD=CD=1，即△MCD是正三角形，于是32≤|NM|<1，而M為所以NA?故選：A.【變式5-2】（24-25高一下·江蘇南通·期中）正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D在邊AB上，且BD=2DA，三角形ABC的外接圓的一條弦MN過點(diǎn)D，點(diǎn)P為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最短時(shí)，PM?A．[?1,5] B．[?1,7]C．[0,2] D．[1,5]【答案】D【解題思路】設(shè)O為△ABC外接圓的圓心，結(jié)合垂徑定理和正弦定理，可得MN=22，再由極化恒等式推出PM?PN【解答過程】解：設(shè)O為△ABC外接圓的圓心，因?yàn)锽D=2DA，所以當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最短時(shí)，MN⊥OD，在△ABC中，由正弦定理知，外接圓半徑R=12?所以MN=2MD=2O因?yàn)镻M+PN2所以PM?因?yàn)辄c(diǎn)P為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合DQ⊥BC時(shí)，|PD當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，|PD在△BCD中，由余弦定理知，CD|所以|PD綜上，PD∈[所以PM?

故選：D．【變式5-3】（24-25高一下·河北邯鄲·階段練習(xí)）極化恒等式實(shí)現(xiàn)了向量與數(shù)量的轉(zhuǎn)化，閱讀以下材料，解答問題.1.極化恒等式：a?b=2.平行四邊形模式：如圖，平行四邊形ABCD，O是對(duì)角線交點(diǎn)，則AB?3.三角形模式：如圖，在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則AB?AC=(1)如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，其對(duì)稱中心O平分線段MN，且MN=2BC，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，求EM?(2)“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦.”太極和八卦組合成了太極八卦圖（如圖1）.某太極八卦圖的平面圖如圖2所示，其中正八邊形的中心與圓心重合，O是正八邊形的中心，MN是圓O的一條直徑，且正八邊形ABCDEFGH內(nèi)切圓的半徑為22+2，AB=MN=4.若點(diǎn)P(3)已知△ABC中，AB=4，AC=2，且|λAB+2?2λAC∣λ∈R的最小值為【答案】(1)?3(2)8+8(3)?【解題思路】（1）由極化恒等式即可求解；（2）連接PO，根據(jù)三角形模式可得PM?（3）由題意可得△ABE是等邊三角形，所以BC=23【解答過程】（1）MN=2BC=4,OM=2,OE=1.由極化恒等式可得：EM?（2）如圖，連接PO.因?yàn)镻M=PO+所以PM?因?yàn)檎诉呅蜛BCDEFGH內(nèi)切圓的半徑為22+2，所以22因?yàn)镸N=4，所以O(shè)M=2，所以即PN?PN的取值范圍是（3）令A(yù)D=λAB+則D,B,E三點(diǎn)共線（如圖），從而∣λAB+2?2λAC∣≥23的幾何意義表示點(diǎn)這說明△ABE是等邊三角形，BC為邊AE上的高，故BC=23取BC的中點(diǎn)M，則由向量極化恒等式可得PB?其中d為點(diǎn)M到邊AB的距離.即當(dāng)點(diǎn)P在垂足H（非端點(diǎn)）處時(shí)，PB?PC達(dá)到最小值【題型6等和線解決系數(shù)和問題】【例6】（24-25高一下·浙江寧波·期中）如圖，在△ABC中，已知BD=12DC，AE=2EC，P是線段AD與BE的交點(diǎn)，若A．37 B．67 C．1 【答案】B【解題思路】設(shè)AP=λAD且0<λ<1，應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義得AP=2λ3【解答過程】設(shè)AP=λAD且0<λ<1，則AP=λ(又AE=23由B,P,E共線，則2λ3+λ所以m+n=2λ故選：B.【變式6-1】（24-25高一下·山東青島·階段練習(xí)）如圖所示，△ABC中，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，若BE=xBA+12A．1 B．3 C．5 D．8【答案】A【解題思路】由題意可得BC=2BD，從而可得BE=x【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，則BC=2則BE=x因?yàn)锳,E,D三點(diǎn)共線，所以x+y=1x>0,y>0故選：A.【變式6-2】（24-25高一下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2，點(diǎn)P是△BCD內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界)，且AP=λAB+μAC，則A．1,3 B．1,2 C．2,3 D．1,4【答案】A【解題思路】分析可得當(dāng)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，B、P、C三點(diǎn)共線，此時(shí)λ+μ有最小值，分別延遲AB、AC至B',C'，使CC'=2AC,BB'【解答過程】當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)B、P、C三點(diǎn)共線，因?yàn)锳P=λAB+μAC，所以分別延遲AB、AC至B',C'，使因?yàn)镃C'所以△ABC與△AB'C因?yàn)椤鰾CD與△ABC的面積之比為2，且BC=BC，所以△BCD與△ABC的高之比為2:1，即△ABC與△AB'C所以D,B當(dāng)P位于D點(diǎn)時(shí)，AP=λ此時(shí)λ3+μ3=1所以當(dāng)點(diǎn)P在△BCD內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)時(shí)，λ+μ的取值范圍為1,3故選：A.【變式6-3】（24-25高一下·四川成都·期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是AB上的點(diǎn)且滿足AM=3MB，N是AC上的點(diǎn)且滿足AN=NC，CM與BN交于P點(diǎn)，且AP=λA．12 B．23 C．34【答案】D【解題思路】設(shè)BP=xBN,CP=yCM,x∈R,y∈【解答過程】設(shè)BP=x由AP=AB+又由AP=所以1?x=34y12因?yàn)锳P=λAB+μAC，所以故選：D.【題型7等和線解決其他系數(shù)問題】【例7】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)F．若AF=xAD+yABx,y∈RA．?13 B．0 C．1【答案】C【解題思路】由DE=12BC得DF=【解答過程】由四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點(diǎn)，知DE∥BC，且DE=1所以DF=12BF因?yàn)锳F=所以x=23，y=1故選：C．【變式7-1】（24-25高一下·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，若AF=λAB?μAD，則

A．?54 B．?14 C．【答案】C【解題思路】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合題意將AF用AB,AD表示，從而可求出【解答過程】因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，所以AF===3因?yàn)锳F=λAB?μ所以λ+μ=3故選：C.【變式7-2】（2025·河南許昌·三模）在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，且滿足BD=14BC，點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x，y滿足BE=xA．22 B．43 C．4+23【答案】D【解題思路】先根據(jù)平面向量基本定理及共線向量定理的推論，由三點(diǎn)A,E,D共線得x+4y=1，且x>0,y>0，再根據(jù)“1”的代換，運(yùn)用基本不等式可得答案.【解答過程】BE=x由A,E,D三點(diǎn)共線可得x+4y=1，且x>0,y>0，所以1x+2當(dāng)且僅當(dāng)4yx=2x故選：D.【變式7-3】（24-25高一下·安徽宿州·期中）在△ABC中，點(diǎn)D滿足BD=34BC，點(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上移動(dòng)，若AE=λA．[4,+∞) B．(4,+∞) C．【答案】B【解題思路】設(shè)AE=kAD,k>0，利用向量的線性運(yùn)算用k【解答過程】由點(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上，設(shè)AE=kAD,k>0

則AE=k(AB+因此t=(μ+2)所以(μ+2)2+λ2故選：B.一、單選題1．（2025·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=2,?1,b=x,2，若A．10 B．35 C．32 【答案】D【解題思路】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求出x=1，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解.【解答過程】由a⊥b，可得2x?2=0，解得∴b∴a?b故選：D.2．（24-25高三上·上海奉賢·期中）在△ABC中，BC=10，M為BC中點(diǎn)，AM=4，則AB?AC=A．?9 B．?16 C．9 D．16【答案】A【解題思路】由題意作圖，根據(jù)圖象，利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案.【解答過程】由題意可作圖如下：則AB=AM+MB，AC=AM+AB=AM故選：A.3．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=2,0，a?b=A．?35 B．75 C．2【答案】C【解題思路】根據(jù)已知向量a=2,0，a?b=3,?3，利用向量減法求出b和a?2b【解答過程】∵a∴b∴2b∴a∴a∴a∴cos故選：C.4．（2025·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊CD上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，記AG=λAB+μAD，則A．1712 B．1312 C．712【答案】A【解題思路】根據(jù)向量線性運(yùn)算可得AG→【解答過程】由題意可得AF→=1因?yàn)镚為EF的中點(diǎn)，所以AG→則λ=23,μ=故選：A.5．（2025·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知向量a=1,?A．b?a?C．2b?a=26 D．【答案】C【解題思路】根據(jù)向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算求出b?a，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷A；根據(jù)向量加減的坐標(biāo)運(yùn)算求出【解答過程】對(duì)于A，因?yàn)閍=1,?2,對(duì)于B，因?yàn)閍=1,?2,所以a+對(duì)于C，因?yàn)閍=1,?2,對(duì)于D，因?yàn)閍=1,?2,b在a方向上的投影向量為a?故選：C.6．（2025·河南·二模）在△ABC中，D是AC邊的中點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足BD=3BM，若AM=λAB+μA．12 B．23 C．34【答案】D【解題思路】由平面向量的基本定理結(jié)合圖形計(jì)算即可.【解答過程】因?yàn)锳M=AB+由①×2+②，得3AM即λ=23，μ=1故選：D.7．（24-25高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一.即如圖所示：a?b=14AD2?BC2，我們稱為極化恒等式.在△ABC中，M是A．32 B．-32 C．16 D．-16【答案】D【解題思路】由題設(shè)有|AM→|=3，|【解答過程】由題設(shè)，|AM|=3，AB?故選：D.8．（2025·甘肅酒泉·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=13EF，則AFA．34 B．18 C．?5【答案】A【解題思路】通過建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求出向量AF，BC的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求【解答過程】如圖，以BC所在直線為x軸，E為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，由題意可得E0,0，B?12,0則D?1設(shè)Fx,y，由DE=13所以x,y所以F34,?3所以AF?故選：A.二、多選題9．（25-26高三上·福建泉州·階段練習(xí)）設(shè)向量a→=7,?1，bA．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)與b夾角的余弦值為3D．a(chǎn)在b方向上的投影向量的坐標(biāo)為(6,?3)【答案】BCD【解題思路】利用平面向量模長(zhǎng)公式、兩向量垂直條件、兩向量夾角計(jì)算公式、投影向量計(jì)算公式逐項(xiàng)分析.【解答過程】對(duì)于A，∵a→=對(duì)于B，因a→則a?3b?對(duì)于C，因a=72則a與b夾角的余弦值為cosa對(duì)于D，a→故選：BCD.10．（24-25高一下·浙江·期中）已知△ABC的內(nèi)角A=π3，AB=5，AC=3，O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，設(shè)AO=mAB+nA．若OA+OB+B．若OA+OBC．若OA=OB=D．若OA=OB【答案】BC【解題思路】對(duì)A，B，對(duì)AO=mAB+nAC變形可得m+n?1OA=mOB+nOC，結(jié)合已知條件即可求解；對(duì)C，D，結(jié)合已知條件，首先利用數(shù)量積公式求出AO【解答過程】對(duì)于A，B，因?yàn)锳O=mAB+n所以m+n?1OA若OA+OB+由題易知點(diǎn)O不在BC上，即OB→∴1?m?n=m1?m?n=n，解得對(duì)于C，D，若OA=OB=OC，則故AO?同理，可得AO?由AO=mAB+n∴25m+152n=又AO?AC=m聯(lián)立10m+3n=55m+6n=3，解得m=715所以m+3n=715+3×故選：BC.11．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知矩形ABCD中，AB=10，BC=8，BM=λBC，DN=μDC，其中0≤λ，μ≤1，A．λ+μ是定值 B．若μ=35C．AM?AN>90【答案】BCD【解題思路】舉例可說明λ+μ不是定值，當(dāng)μ=35時(shí)，由MN=5可確定λ的值，再利用向量的線性運(yùn)算可求AN，設(shè)線段MN的中點(diǎn)P，則AM【解答過程】當(dāng)CM=5時(shí)，N與C重合，λ+μ=38+1=118，當(dāng)CN=51+1當(dāng)μ=35時(shí)，CN=4，而MN則AN=58AD取線段MN的中點(diǎn)P，因?yàn)镃P=12MN52，故點(diǎn)P在以C為圓心、52∵AP+PC當(dāng)點(diǎn)P在H處時(shí)，AP取得最大值100+8?AM?AN=(AM+AN2故選：BCD.三、填空題12．（25-26高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）已知平面向量a=(x,1)，b=(1?x,2x)，若a⊥(a+b【答案】10【解題思路】根據(jù)給定條件，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出x，再利用坐標(biāo)求出向量的模.【解答過程】由向量a=(x,1)，b=(1?x,2x)，得由a⊥(a+b)所以|a故答案為：10313．（24-25高三上·江蘇常州·階段練習(xí)）在△ABC中，AD為中線，AD=3,BC=2，則AB?AC等于【答案】8【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得到答案.【解答過程】因?yàn)锳D為中線，BC=2，則CD=1，可得AB故答案為：8.14．（2025·寧夏銀川·三模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB⊥AD，E是CD的中點(diǎn)，若AC=λBD+μAE，則λ+μ=【答案】1【解題思路】首先用AD→,DC→將向量【解答過程】AC→而AC→=AD→+所以λ+μ=1.故答案為：1.四、解答題15．（25-26高二上·廣西貴港·開學(xué)考試）已知非零向量a=x,0，b=(1)求x的值；(2)求向量a與b的夾角；(3)求向量a在b方向上的投影向量的模．【答案】(1)1(2)π(3)2【解題思路】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及模的計(jì)算公式，即可求得答案.（2）根據(jù)向量的夾角公式求解即可.（3）求出向量a在b方向上的投影向量，即可求得答案.【解答過程】（1）已知非零向量a=x,0，b=而a?b=1，故x?12+由于a=x,0為非零向量，故x≠0，故（2）結(jié)合（1）可知a=1,0，b=故cos?故向量a與b的夾角為π4（3）向量a在b方向上的投影向量為a?bb故向量a在b方向上的投影向量的模為1216．（24-25高一下·湖北武漢·期末）已知向量a=1,x?1，(1)若b⊥(a+(2)若向量c=1,2，b//a+【答案】(1)?4(2)5【解題思路】（1）先求a+b，再由關(guān)系b⊥（2）先求a+c，再由條件結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示列方程求【解答過程】（1）因?yàn)閍=1,x?1，所以a+因?yàn)閎⊥a+b，所以2×3+3x+2所以x=?4，所以x的值為?4，（2）因?yàn)閍=1,x?1，所以a+因?yàn)閎//a+c，所以2x+1所以x=2，所以a=1,1，又所以a?b=1×2+1×3=5，a所以cosa所以a與b的夾角的余弦值為52617．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在△ABC中，