專題1.1集合（舉一反三講義）

【全國(guó)通用】

【題型1元素與集合的關(guān)系】...................................................................................................................................2

【題型2集合中元素個(gè)數(shù)問(wèn)題】...............................................................................................................................3

【題型3子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題】.......................................................................................................................................3

【題型4判斷集合間的關(guān)系】...................................................................................................................................4

【題型5與集合間的關(guān)系有關(guān)的含參問(wèn)題】...........................................................................................................4

【題型6集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算】.......................................................................................................................5

【題型7與集合的運(yùn)算有關(guān)的含參問(wèn)題】...............................................................................................................5

【題型8集合中的新定義問(wèn)題】...............................................................................................................................5

1、集合

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

集合是高考數(shù)學(xué)的必考考點(diǎn)，新高考

2023年I卷：第1題，5分、Ⅱ卷：

對(duì)集合的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、

第2題，5分

頻率、題型、難度均變化不大.常見(jiàn)以

(1)集合的概念2024年新課標(biāo)I卷：第1題，5分

一元一次、一元二次不等式的形式，

(2)集合間的基本關(guān)系2025年全國(guó)一卷：第2題，5分

結(jié)合有限集、無(wú)限集來(lái)考查集合的交、

(3)集合的基本運(yùn)算2025年全國(guó)二卷：第3題，5分

并、補(bǔ)集等運(yùn)算，偶爾涉及集合的符

2025年北京卷：第1題，4分

號(hào)辨識(shí)，一般出現(xiàn)在高考的單選題的

2025年天津卷：第1題，5分

前3題中，以簡(jiǎn)單題為主.

知識(shí)點(diǎn)集合

1．集合與元素

(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性．

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)∈或?表示．

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．

(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

*

符號(hào)NN(或N＋)ZQR

2．集合的基本關(guān)系

(1)子集：若對(duì)于任意的x∈A都有x∈B，則A?B；

真子集：若?，且≠，則；

(2)ABABA?B

(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B；

(4)?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本運(yùn)算

表示

文字語(yǔ)言集合語(yǔ)言圖形語(yǔ)言記法

運(yùn)算

屬于A且屬于B的所有元素組

交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B

成的集合

屬于A或?qū)儆贐的元素組成的

并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B

集合

全集U中不屬于A的元素組成

補(bǔ)集的集合稱為集合A相對(duì)于集合{x|x∈U，x?A}?UA

U的補(bǔ)集

4．集合的運(yùn)算性質(zhì)

(1)AAA，A，ABBA．

(2)AAA，AA，ABBA．

(3)A(CUA)，A(CUA)U，CU(CUA)A．

【常用結(jié)論】

(1)若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n1個(gè)，非空子集有2n1個(gè)，非空真子集

有2n2個(gè)．

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．

(3)ABABAABBCUBCUA．

(4)CU(AB)(CUA)(CUB),CU(AB)(CUA)(CUB)．

【題型1元素與集合的關(guān)系】

【例1】（2025·遼寧·三模）已知集合，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

22

A．B．?=1,2C,?．=???∣?,?∈?D．

【變式11-1∈】?（2025·遼寧·二0?！剩?設(shè)集合3∈?.若，則?的3取∈?值范圍是（）

A．B．?=?|C2．??1>?2∈?D．?

?≤3?≥3?<3?>3

【變式1-2】（2025·陜西漢中·二模）已知集合，則（）

A．B．?C．=2?+3??∈?,D?．∈?

【變式1-33】?（?2025·河南·一?模2）+已5知3集?合?4∈?，若且?1+2，3則∈（?）

A．?=B?．∣3???2≤01∈?2??

12

3<?<3?<0

C．D．

122

3<?≤3?>3

【題型2集合中元素個(gè)數(shù)問(wèn)題】

【例2】（2025·全國(guó)一卷·高考真題）設(shè)全集是小于的正整數(shù)，集合，則中元素個(gè)

數(shù)為（）?={??9}?={1,3,5}???

A．0B．3C．5D．8

【變式2-1】（2025·內(nèi)蒙古赤峰·三模）已知集合，，則中元素的

3

個(gè)數(shù)為（）?=?,??=??=?,??=??∩?

A．1B．2C．3D．4

【變式2-2】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，則的元素個(gè)數(shù)為

（）?={1,2}?={2,4}?={??∣?∈?,?∈?}

A．1B．2C．3D．4

【變式2-3】（2025·安徽合肥·三模）已知集合，則圖中陰影部分所示集合的

元素個(gè)數(shù)為（）?={0,1,2,3,4,5},?={0,2,4,6,8}

A．2B．3C．4D．6

【題型3子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題】

【例3】（2025·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測(cè)）已知集合，，，則集合C

的子集有（）?=0,2?=?1,1,2?=???∈?,?∈?

A．64個(gè)B．63個(gè)C．16個(gè)D．15個(gè)

【變式3-1】（2025·安徽安慶·二模）若集合，當(dāng)時(shí)，集合的非空真

21

子集個(gè)數(shù)為（）?=?∣?2≤?<???,?∈??=2?

A．8B．7C．6D．4

【變式3-2】（2025·黑龍江·三模）已知集合，，，，則滿足的

集合C的個(gè)數(shù)為（）?={2,3}?={?|0<?<5?∈N}?????

A．2B．3C．4D．5

【變式3-3】（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若集合

*

且，則的子集的個(gè)數(shù)為（）?=0,1,2?=1,2,3?={?∈N?=??,?∈?

?A∈．?}8?B．16C．32D．64

【題型4判斷集合間的關(guān)系】

【例4】（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（）

??

?=???=2,?∈?,?=???=4,?∈?

A．B．C．D．

?=????????∩?=?

【變式4-1】（2025·寧夏吳忠·一模）已知集合，則（）

?1?1

?=??=2+4,?∈?,?=??=4+2,?∈?

A．B．

．?∩?=?．?=?

C?D?

【變式4?-2】?（2025·山西·三模）設(shè)集合?是?4與6的公倍數(shù)，，則（）

??

A．B．?=?∈C?．?D．}?=??=24?,?∈?

?∈????????=?

【變式4-3】（2025·天津·一模）已知集合，，

1?1?

?=??=?+6,?∈??=??=2?3,?∈??=??=2+

，則、、的關(guān)系滿足（）

1

6,?∈????

A．B．C．D．

?=??????=???????????

【題型5與集合間的關(guān)系有關(guān)的含參問(wèn)題】

【例5】（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，若，則（）

A．B．?=C0．,1或?=0,?+1,??D．1或????=

2002?22

【變式5-1】（2025·河南·二模）已知集合，，若，則a的取

31

值范圍為（）?=???2≤2?=??<?<?+2???

A．B．C．D．

【變式5-21】,2（2025·河南·模擬0,預(yù)1測(cè)）已知集合1,20,1，若，則實(shí)數(shù)的取值范

圍是（）?=??1≤?≤3,?=??,?????

A．B．C．D．

【變式5-3?】1（,02025·陜西銅川0·,三1模）已知集合?1,0∪0,1?2,0∪，0若,2，則實(shí)數(shù)的取

?={?∣?<?},?={?∣?2<?<3}????

值范圍為（）

A．B．

C．?∞,?2D．?∞,?2

3,+∞3,+∞

【題型6集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算】

【例6】（2025·全國(guó)二卷·高考真題）已知集合則（）

3

A．B?．={?4,0,1,2,8},?=?∣?=?,?∩?=

C．{0,1,2}D．{1,2,8}

【變式6{-21,】8}（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知集合{0,1}，，則（）

A．B．?C．=?∈?2<?<5D．?=1,2,3?∪?=

【變式6-23】（2025·廣東茂名1·,2二,3模）已知集合3,4,1,2,3,4，則

（）?={?∈N||?|≤2}?={?3,?2,?1,0,1,2,3}?∩?=

A．B．C．D．

【變式6-30】,1（,22025·天津·高考?2真,?題1）,0已,1,知2集合?2,21,2，則（）

A．B．?C．=1,2,3,4,5,?=1,3D．,?=2,3,5???∪?=

1,2,3,42,3,42,44

【題型7與集合的運(yùn)算有關(guān)的含參問(wèn)題】

【例7】（2025·山東威?！と＃┮阎?，若，則（）

A．0B．0或2?=C{1．,21,或?}2,?={1,?}D．?0∩或?=1??=

【變式7-1】（2025·貴州·二模）已知集合，，若，則的取值

范圍是（）?=??3≤?<3?=??<??∩?=??

A．B．C．D．

【變式7-2?】∞（,?20325·北京海淀?·3二,+?！蓿┮阎?∞,?33,+∞．若，且，

則（）?=?1,0,1,2,?={?∣?<?<2}?∈??∩?=1

?A=．B．0C．1D．2

【變式7-?3】1（2025·河南駐馬店·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，若

，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）?=??3<?<2,?=??<?<4?∪?=

??A3．<?<4B．?C．D．

?3,2?3,2?3,22,4

【題型8集合中的新定義問(wèn)題】

【例8】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，，定義

?=4,5,6?=1,2,3

，則集合的所有真子集的個(gè)數(shù)為（）

??A?．=32??=???,?∈?,?∈??B?．?31

C．30D．29

【變式8-1】（2025·黑龍江·二模）已知集合，，定義集合：，

則集合的非空子集的個(gè)數(shù)是（）個(gè)．?=1,2?=3,4???=?,??∈?,?∈?

A．?1?6?B．15C．14D．13

【變式8-2】（2025·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于集合A，B，定義A\B=且，則對(duì)于集合A={

，}，B={，}，且{?|?∈?，以?下?說(shuō)?}法正確的是（）?|?=6?+

5?A∈．N若在橫線?上|?填=入3?”∩+”，7則?C∈的N真子?集=有?2|?12﹣∈?1個(gè)?.?<1000}

B．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個(gè)數(shù)大于250.

C．若在橫線上填入”\”，則C的非空真子集有2153﹣2個(gè).

D．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個(gè)數(shù)為13.

【變式8-3】（2025·北京·高考?N真題）?已N知集合，從M中選取n

個(gè)不同的元素組成一個(gè)序列：?=1,2,3,，4,5其,6中,7,8,?=稱為?該,?序∣?列∈的?第,?i∈項(xiàng)?，若

1122????

該序列的相鄰項(xiàng)?,?滿足,?：,?,…,?,?或?,??=，1,則2,稱…,該?序列

??+1???=3,??+1???=4,

??,??,??+1,??+1?=1,2,…,??1

為K列．??+1???=4??+1???=3

(1)對(duì)于第1項(xiàng)為的K列，寫(xiě)出它的第2項(xiàng)．

(2)設(shè)為K列，且(3中,3)的項(xiàng)滿足：當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，：當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，.

判斷Γ，能Γ否同時(shí)為??,?中?的?=項(xiàng)1，,2并,…說(shuō),?明理由；??∈{1,2,7,8}??∈{3,4,5,6}

(3)證(明3,：2)由(M4,4的)全部元素組Γ成的序列都不是K列．

一、單選題

1．（2025·北京·高考真題）已知集合，則（）

A．B．?={?∣2C?．?1>5},?={1,2,3}D．?∩?=

{1,2,3}{2,3}{3}?

2．（2025·遼寧·二模）設(shè)集合.若，則的取值范圍是（）

A．B．?=?|2??1>C．?2∈??D．

．（?≤廣3東揭陽(yáng)二模）?已≥知3集合?<3?，>則3中元素的個(gè)數(shù)為（）

32025··22A

??

A．7B．9?=?,C?．?141+3≤1,?∈Z,?D∈．Z13

4．（2025·山西·三模）已知集合，，且，則的取值范

圍是（）?=?∣0≤?≤3?=?∣??1≤?≤?+1????

A．B．C．D．

1,2?∞,1∪2,+∞1,22,+∞

5．（2025·遼寧·三模）已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）

12

?=(?,?)?=2??,?=(?,?)?=?2??∩?

A．0B．1C．2D．4

6．（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（）

??

?=???=2,?∈?,?=???=4,?∈?

A．B．C．D．

7．（20?25=·湖?北武漢·模擬預(yù)?測(cè)?）?設(shè)集合?，??，則圖?中∩陰?影=部?分表示的集合為（）

?=3,4,5?=2,3,4,8

A．B．C．D．

8．（2025,8·山西臨汾·三模）3已,4知全集2,，5,8集合，3,4,5，則（）

A．B．?=1,2C,3．,4,5?=1,2D．?=1,3,5?∪???=

二、多選1題,2,41,2,31,2,3,51,2,3,4

9．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，下列結(jié)論正確的是（）

A．若，則?=??B?．≤若6?=，則2,3

C．若?=0，則?=?D．若?=0，則?可=以?取3

10．（2025·?河?南?新鄉(xiāng)·三?≤模2）已知非空數(shù)集M具有如下性?質(zhì)?：?①若?，則；②若，則.

?

?,?∈??∈??,?∈??+?∈?

下列說(shuō)法中正確的有（）

A．.B．.

C．若?1∈?，則.D．2若025∈?，則.

11．（2025?·,河?南∈?·三模）?已?∈知?全集?,?，∈集?合???∈?，，

2

，若，則（）?=??<4,?∈??=?1,2,??=?1,1,2,??=?3,?

1,2,3???

A．的取值有個(gè)B．

C．?3D．?∩?=?1,2所有子集的個(gè)數(shù)為

三、填空?題∪?=?3,?1,0,1,2,3???∩???4

12．（2025·上海青浦·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則.

13．（2025·甘肅慶陽(yáng)·二模）已知集合?={?∣2?≤1},?，=且{?1,0,