人教版數(shù)學(xué)九年級全冊壓軸題專題精選匯編專題根的判別式與韋達定理一．選擇題1．（2021春?九龍坡區(qū)期末）若實數(shù)a使關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜ B．a(chǎn)＜且a≠﹣1 C．a(chǎn)＞ D．a(chǎn)＞且a≠﹣12．（2021春?潛山市期末）利用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0時，應(yīng)先將其變形為（）A．（x+）2＝ B．（x﹣）2＝ C．（x﹣）2＝ D．（x+）2＝3．（2021春?上城區(qū)期末）下列方程的根是無理數(shù)的是（）A．（x+）（x﹣）＝﹣4 B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2 C．x2+4x﹣3＝0 D．2x2﹣7x＝04．（2021春?拱墅區(qū)期末）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．k≥ B．k≥且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠15．（2021春?合肥期末）若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，則a2+b2的值為（）A．4 B．﹣4 C．﹣1 D．4或﹣16．（2021春?安徽期末）已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的兩個根，則（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值為（）A．4 B．9 C．12 D．157．（2021?廬陽區(qū)校級一模）已知三個實數(shù)a，b，c滿足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，則下列結(jié)論成立的是（）A．a(chǎn)＞0，b2≥4ac B．a(chǎn)＞0，b2≤4ac C．a(chǎn)＜0，b2≥4ac D．a(chǎn)＜0，b2≤4ac8．（2020秋?市中區(qū)期中）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則其中正確的（）A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③9．（2018?咸寧模擬）實數(shù)a，b，c滿足a﹣b+c＝0，則（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤010．（2018?鞍山）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜二．填空題11．（2021?湖北）關(guān)于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有兩個實數(shù)根α，β，且＝1，則m＝．12．（2021?南京）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣3x+k＝0的兩個根，且x1＝2x2，則k＝．13．（2021?徐州二模）已知一元二次方程x2﹣5x+c＝0有一個根為4，則另一個根為．14．（2021春?吳興區(qū)校級期中）若關(guān)于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是．15．（2020?大慶）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列結(jié)論：①當(dāng)a＞﹣1時，方程有兩個不相等的實根；②當(dāng)a＞0時，方程不可能有兩個異號的實根；③當(dāng)a＞﹣1時，方程的兩個實根不可能都小于1；④當(dāng)a＞3時，方程的兩個實根一個大于3，另一個小于3．以上4個結(jié)論中，正確的個數(shù)為．16．（2020?金牛區(qū)校級模擬）已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解．17．（2020秋?常州期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的有（填序號）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：則4m2+5mn+n2＝0；③若p，q滿足pq＝2，則關(guān)于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，則必有2b2＝9ac．18．（2020秋?奈曼旗月考）一個等腰三角形的底邊長是6，腰長是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一個根，則此三角形的周長是．19．（2019?簡陽市模擬）設(shè)α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的兩根，則（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝．20．（2020?黃州區(qū)校級模擬）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有實根，則＝三．解答題21．（2021春?浦江縣期末）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2﹣7x+1＝0（用公式法解）．22．（2021春?當(dāng)涂縣期末）（1）計算（﹣2）．（2）解方程（x+5）（x﹣3）＝2（x﹣3）．23．（2021春?高郵市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0兩根為x1，x2．（1）已知x1﹣x2＝0，求a的值；（2）化簡：﹣|2﹣a|．24．（2020秋?大余縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．25．（2020秋?興國縣期末）已知關(guān)于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)α，β是方程的兩個實數(shù)根，是否存在實數(shù)m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，請求出來；若不存在，請說明理由．26．（2020秋?來賓期末）已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一個根．27．（2021春?太湖縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若k為正整數(shù)，且該方程的兩個根都是整數(shù)，求k的值并求出方程的兩個整數(shù)根．28．（2020?浙江自主招生）已知關(guān)于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）：（1）若k＝3，求方程的解；（2）若方程恰有兩個不同解，求實數(shù)k的取值范圍． 29．（2020秋?鞏義市期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）判斷這個一元二次方程的根的情況；（2）若等腰三角形的一邊長為3，另兩條邊的長恰好是這個方程的兩個根，求這個等腰三角形的周長及面積．人教版數(shù)學(xué)九年級全冊壓軸題專題精選匯編專題根的判別式與韋達定理一．選擇題1．（2021春?九龍坡區(qū)期末）若實數(shù)a使關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜ B．a(chǎn)＜且a≠﹣1 C．a(chǎn)＞ D．a(chǎn)＞且a≠﹣1【思路引導(dǎo)】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根知（﹣3）2﹣4×（a+1）×1＞0且a+1≠0，解之即可．【完整解答】∵關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴（﹣3）2﹣4×（a+1）×1＞0且a+1≠0，解得a＜且a≠﹣1，故選：B．2．（2021春?潛山市期末）利用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0時，應(yīng)先將其變形為（）A．（x+）2＝ B．（x﹣）2＝ C．（x﹣）2＝ D．（x+）2＝【思路引導(dǎo)】移項，配方，再變形即可得出選項．【完整解答】x2﹣x﹣1＝0，移項，得x2﹣x＝1，配方，得x2﹣x+（）2＝1+（）2，即（x﹣）2＝，故選：B．3．（2021春?上城區(qū)期末）下列方程的根是無理數(shù)的是（）A．（x+）（x﹣）＝﹣4 B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2 C．x2+4x﹣3＝0 D．2x2﹣7x＝0【思路引導(dǎo)】先求出選項中每個方程的解，再逐個判斷即可．【完整解答】A．（x+）（x﹣）＝﹣4，x2﹣5＝﹣4，x2＝1，x＝±1，即方程的根是有理數(shù)，不是無理數(shù)，故本選項不符合題意；B．（2x﹣1）2＝（3x+1）2，開方得：2x﹣1＝±（3x+1），解得：x1＝﹣2，x2＝0，即方程的根是有理數(shù)，不是無理數(shù)，故本選項不符合題意；C．x2+4x﹣3＝0，x2+4x＝3，配方，得x2+4x+4＝3+4，（x+2）2＝7，開方，得x+2＝，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣，即方程的根是無理數(shù)，故本選項符合題意；D．2x2﹣7x＝0，x（2x﹣7）＝0，x＝0或2x﹣7＝0，，解得：x1＝0，x2＝，即方程的根是有理數(shù)，不是無理數(shù)，故本選項不符合題意；故選：C．4．（2021春?拱墅區(qū)期末）若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍為（）A．k≥ B．k≥且k≠1 C．k≥0 D．k≥0且k≠1【思路引導(dǎo)】根據(jù)根的判別式得出k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，再求出k的范圍即可．【完整解答】∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有實數(shù)根，∴k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k﹣3）≥0，解得：k≥且k≠1，故選：B．5．（2021春?合肥期末）若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，則a2+b2的值為（）A．4 B．﹣4 C．﹣1 D．4或﹣1【思路引導(dǎo)】設(shè)y＝a2+b2，用十字相乘法因式分解，解關(guān)于y的一元二次方程，求出它的值，對小于0的值要舍去．【完整解答】設(shè)y＝a2+b2（y≥0），則由原方程得到y(tǒng)（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值為4．故選：A．6．（2021春?安徽期末）已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的兩個根，則（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值為（）A．4 B．9 C．12 D．15【思路引導(dǎo)】由α、β是方程x2+2017x+1＝0的兩個根，可得α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，在將（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）進行適當(dāng)?shù)淖冃危纯汕蟪鼋Y(jié)果．【完整解答】∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的兩個根，∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）＝（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）＝9αβ＝9，故選：B．7．（2021?廬陽區(qū)校級一模）已知三個實數(shù)a，b，c滿足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，則下列結(jié)論成立的是（）A．a(chǎn)＞0，b2≥4ac B．a(chǎn)＞0，b2≤4ac C．a(chǎn)＜0，b2≥4ac D．a(chǎn)＜0，b2≤4ac【思路引導(dǎo)】設(shè)y＝ax2+bx+c，由題意可得b2﹣4ac≥0，再由a+c＝﹣b，a+c＞b，ab＜0，得a、b的符號．【完整解答】設(shè)y＝ax2+bx+c，∵a+b+c＝0，a﹣b+c＞0∴方程ax2+bx+c＝0有實數(shù)根，即b2﹣4ac≥0．由題意知，a+c＝﹣b，a+c＞b，∴﹣b＞b，即b＜0，又∵ab＜0，∴a＞0．故選：A．8．（2020秋?市中區(qū)期中）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則其中正確的（）A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③【思路引導(dǎo)】按照方程的解的含義、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、等式的性質(zhì)、一元二次方程的求根公式等對各選項分別討論，可得答案．【完整解答】①若a+b+c＝0，則x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正確；②∵方程ax2+c＝0有兩個不相等的實根，∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，則方程ax2+bx+c＝0的判別式△＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有兩個不相等的實根，故②正確；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一個根，則ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正確；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正確．故選：B．9．（2018?咸寧模擬）實數(shù)a，b，c滿足a﹣b+c＝0，則（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0【思路引導(dǎo)】根據(jù)根的判別式，一元二次方程有兩個相等或不相等的實數(shù)根時，b2﹣4ac≥0．【完整解答】設(shè)一元二次方程為ax2+bx+c＝0當(dāng)x＝﹣1時，原方程化為a﹣b+c＝0所以一元二次方程為ax2+bx+c＝0有實數(shù)根，所以b2﹣4ac≥0．故選：C．10．（2018?鞍山）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜【思路引導(dǎo)】根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．【完整解答】∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有實數(shù)根，∴k≠0且△＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得：k≤且k≠0．故選：C．二．填空題11．（2021?湖北）關(guān)于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有兩個實數(shù)根α，β，且＝1，則m＝3．【思路引導(dǎo)】根據(jù)△的意義得到△≥0，即（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，可得m≥0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，再將＝1變形得到關(guān)于m的方程，解方程即可求解．【完整解答】∵關(guān)于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有兩個實數(shù)根α，β，∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，解得m≥0，α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，∵＝1，即＝1，∴＝1，解得m1＝0，m2＝3，經(jīng)檢驗，m1＝0不合題意，m2＝3符合題意，∴m＝3．故答案為：3．12．（2021?南京）設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣3x+k＝0的兩個根，且x1＝2x2，則k＝2．【思路引導(dǎo)】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x2＝1，將其代入已知方程，列出關(guān)于k的方程，解方程即可．【完整解答】根據(jù)題意，知x1+x2＝3x2＝3，則x2＝1，將其代入關(guān)于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．解得k＝2．故答案是：2．13．（2021?徐州二模）已知一元二次方程x2﹣5x+c＝0有一個根為4，則另一個根為1．【思路引導(dǎo)】設(shè)方程的另一個根為x2，根據(jù)兩根之和得出x2+4＝5，解之可得答案．【完整解答】設(shè)方程的另一個根為x2，則x2+4＝5，解得x2＝1，故答案為：1．14．（2021春?吳興區(qū)校級期中）若關(guān)于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是k＜6且k≠2．【思路引導(dǎo)】先根據(jù)關(guān)于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根得出關(guān)于k的不等式組，求出k的取值范圍即可．【完整解答】∵關(guān)于x的方程（k﹣2）x2﹣4x+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：k＜6且k≠2．故答案為：k＜6且k≠2．15．（2020?大慶）已知關(guān)于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列結(jié)論：①當(dāng)a＞﹣1時，方程有兩個不相等的實根；②當(dāng)a＞0時，方程不可能有兩個異號的實根；③當(dāng)a＞﹣1時，方程的兩個實根不可能都小于1；④當(dāng)a＞3時，方程的兩個實根一個大于3，另一個小于3．以上4個結(jié)論中，正確的個數(shù)為3．【思路引導(dǎo)】根據(jù)判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可．【完整解答】∵x2﹣2x﹣a＝0，∴△＝4+4a，∴①當(dāng)a＞﹣1時，△＞0，方程有兩個不相等的實根，故①正確，②當(dāng)a＞0時，兩根之積＜0，方程的兩根異號，故②錯誤，③方程的根為x＝＝1±，∵a＞﹣1，∴方程的兩個實根不可能都小于1，故③正確，④當(dāng)a＞3時，由（3）可知，兩個實根一個大于3，另一個小于3，故④正確，故答案為3．16．（2020?金牛區(qū)校級模擬）已知關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m為常數(shù)，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解x3＝0，x4＝﹣3．【思路引導(dǎo)】把后面一個方程中的x+2看作整體，相當(dāng)于前面一個方程中的x求解．【完整解答】∵關(guān)于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0變形為a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣3．故答案為：x3＝0，x4＝﹣3．17．（2020秋?常州期中）如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法，正確的有②③④（填序號）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：則4m2+5mn+n2＝0；③若p，q滿足pq＝2，則關(guān)于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，則必有2b2＝9ac．【思路引導(dǎo)】①求出方程的解，再判斷是否為倍根方程，②根據(jù)倍根方程和其中一個根，可求出另一個根，進而得到m、n之間的關(guān)系，而m、n之間的關(guān)系正好適合，③當(dāng)p，q滿足pq＝2，則px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，求出兩個根，再根據(jù)pq＝2代入可得兩個根之間的關(guān)系，進而判斷是否為倍根方程，④用求根公式求出兩個根，當(dāng)x1＝2x2，或2x1＝x2時，進一步化簡，得出關(guān)系式，進行判斷即可．【完整解答】①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正確；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，當(dāng)x2＝1時，m+n＝0，當(dāng)x2＝4時，4m+n＝0，∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正確；③∵pq＝2，則：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣q，∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，因此是倍根方程，故③正確；④方程ax2+bx+c＝0的根為：x1＝，x2＝，若x1＝2x2，則，＝×2，即，﹣×2＝0，∴＝0，∴＝0，∴3＝﹣b∴9（b2﹣4ac）＝b2，∴2b2＝9ac．若2x1＝x2時，則，×2＝，即，則，×2﹣＝0，∴＝0，∴﹣b+3＝0，∴b＝3，∴b2＝9（b2﹣4ac），∴2b2＝9ac．故④正確，故答案為：②③④18．（2020秋?奈曼旗月考）一個等腰三角形的底邊長是6，腰長是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一個根，則此三角形的周長是14．【思路引導(dǎo)】先求出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理判斷能否組成三角形，再求出即可．【完整解答】解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，當(dāng)腰為3時，三角形的三邊為3，3，6，3+3＝6，此時不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不行；當(dāng)腰為4時，三角形的三邊為4，4，6，此時符合三角形三邊關(guān)系定理，三角形的周長為4+4+6＝14，故答案為：14．19．（2019?簡陽市模擬）設(shè)α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的兩根，則（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝﹣6056．【思路引導(dǎo)】根據(jù)α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的兩實數(shù)根，把x＝α與x＝β代入得到關(guān)系式，利用根與系數(shù)得到關(guān)系式，原式變形后代入計算即可求出值．【完整解答】∵α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的兩實數(shù)根，∴α2+2013α﹣2＝0，β2+2013β﹣2＝0，α+β＝﹣2013，αβ＝﹣2，則（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝（α2+2013α﹣2+3α+1）（β2+2013β﹣2+3β+1）＝（3α+1）（3β+1）＝9αβ+3（α+β）+1＝﹣18﹣6039+1＝﹣6056．故答案為：﹣6056．20．（2020?黃州區(qū)校級模擬）若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有實根，則＝﹣．【思路引導(dǎo)】由二次方程有實根，得到△≥0，即△＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，通過代數(shù)式變形可得兩個非負(fù)數(shù)的和小于或等于0，從而得到a，b的方程組，解方程組即可求出它們的比．【完整解答】∵方程有實根，∴△≥0，即△＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，化簡得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，∴a+2b＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝﹣，所以＝﹣．故答案為﹣．三．解答題21．（2021春?浦江縣期末）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2﹣7x+1＝0（用公式法解）．【思路引導(dǎo)】（1）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．【完整解答】（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，解得：x1＝5，x2＝﹣1；（2）x2﹣7x+1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．22．（2021春?當(dāng)涂縣期末）（1）計算（﹣2）．（2）解方程（x+5）（x﹣3）＝2（x﹣3）．【思路引導(dǎo)】（1）先化簡括號內(nèi)的二次根式，再計算括號內(nèi)二次根式的加減，最后計算除法即可；（2）利用因式分解法求解即可．【完整解答】（1）原式＝（3+﹣2）÷＝2÷＝2；（2）∵（x+5）（x﹣3）＝2（x﹣3），∴（x+5）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，則（x﹣3）（x+3）＝0，∴x﹣3＝0或x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3．23．（2021春?高郵市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0兩根為x1，x2．（1）已知x1﹣x2＝0，求a的值；（2）化簡：﹣|2﹣a|．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，列出關(guān)于a的方程，解方程即可求解；（2）根據(jù)判別式可求a的取值范圍，再化簡即可求解．【完整解答】Δ＝（2a﹣1）2﹣4（a2+1）＝﹣4a﹣3≥0，解得a≤﹣，（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0兩根為x1，x2，∴x1+x2＝2a﹣1，x1x2＝a2+1，∵x1﹣x2＝0，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝0，即（2a﹣1）2﹣4（a2+1）＝﹣4a﹣3＝0，解得a＝﹣；（2）﹣|2﹣a|＝1﹣a﹣（2﹣a）＝﹣1．24．（2020秋?大余縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．【思路引導(dǎo)】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，從而可判斷三角形的形狀；（2）根據(jù)判別式的意義得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根據(jù)勾股定理可判斷三角形的形狀；（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得a＝b＝c，方程化為x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．【完整解答】（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，則a＝b，所以△ABC為等腰三角形；（2）△ABC為直角三角形；理由：根據(jù)題意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC為直角三角形；（3）∵△ABC為等邊三角形，∴a＝b＝c，∴方程化為x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．25．（2020秋?興國縣期末）已知關(guān)于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)α，β是方程的兩個實數(shù)根，是否存在實數(shù)m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，請求出來；若不存在，請說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)判別式的意義得到△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，然后解不等式即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，利用α2+β2﹣αβ＝6得到（α+β）2﹣3αβ＝6，則（2m﹣1）2﹣3m2＝6，然后解方程后利用（1）中m的范圍確定m的值．【完整解答】（1）根據(jù)題意得△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）存在．根據(jù)題意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，∵α2+β2﹣αβ＝6，∴（α+β）2﹣3αβ＝6，即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，∵m≤；∴m的值為﹣1．26．（2020秋?來賓期末）已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一個根．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)根的判別式判斷可得；（2）將x＝1代入原方程求出a的值，將a代入原方程可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【完整解答】（1）∵△＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）將x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，解得a＝，將a＝代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，即（x﹣1）（2x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣，∴該方程的另一個根﹣．27．（2021春?太湖縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若k為正整數(shù)，且該方程的兩個根都是整數(shù)，求k的值并求出方程的兩個整數(shù)根．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍；（2）找出k的取值范圍中的正整數(shù)解出k的值，再利用求根公式得出方程的解為x＝﹣1±，由方程的解為整數(shù)，得到5﹣2k為完全平方數(shù)，則k的值為2，進而求出方程的兩個整數(shù)根．【完整解答】（1）根據(jù)題意得：△＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，解得：k＜；（2）由k為正整數(shù)，得到k＝1或2，利用求根公式表示出方程的解為x＝﹣1±，∵方程的解為整數(shù)，∴5﹣2k為完全平方數(shù)，則k的值為2，將k＝2代入x＝﹣1±，得x1＝0，x2＝﹣2．28．（2020?浙江自主招生）已知關(guān)于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）：（1）若k＝3，求方程的解；（2）若方程恰有兩個不同解，求實數(shù)k的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）將k＝3代入原方程，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)把原方程化成兩個一元二次方程進行解答；（2）由于x＝