2025年高等數(shù)學不定積分綜合計算題一、基礎題型解析1.冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)積分例1：計算不定積分$\intx^2\arctanx,dx$解答：使用分部積分法，設$u=\arctanx$，$dv=x^2dx$，則$du=\frac{1}{1+x^2}dx$，$v=\frac{x^3}{3}$。根據(jù)分部積分公式$\intu,dv=uv-\intv,du$：[\begin{align*}\intx^2\arctanx,dx&=\frac{x^3}{3}\arctanx-\int\frac{x^3}{3(1+x^2)}dx\&=\frac{x^3}{3}\arctanx-\frac{1}{3}\int\left(x-\frac{x}{1+x^2}\right)dx\&=\frac{x^3}{3}\arctanx-\frac{1}{3}\left(\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)\right)+C\&=\frac{x^3}{3}\arctanx-\frac{x^2}{6}+\frac{1}{6}\ln(1+x^2)+C\end{align*}]2.三角函數(shù)積分例2：計算不定積分$\int\sin^3x\cos^2x,dx$解答：利用三角函數(shù)恒等變形，拆分$\sin^3x=\sinx(1-\cos^2x)$：[\begin{align*}\int\sin^3x\cos^2x,dx&=\int\sinx(1-\cos^2x)\cos^2x,dx\&=\int(\cos^2x-\cos^4x)\sinx,dx\&=-\int(\cos^2x-\cos^4x)d(\cosx)\&=-\left(\frac{\cos^3x}{3}-\frac{\cos^5x}{5}\right)+C\&=-\frac{\cos^3x}{3}+\frac{\cos^5x}{5}+C\end{align*}]二、換元積分法應用1.第一換元法（湊微分法）例3：計算不定積分$\int\frac{\ln(\lnx)}{x\lnx}dx$解答：令$t=\ln(\lnx)$，則$dt=\frac{1}{x\lnx}dx$，原式轉化為：[\intt,dt=\frac{t^2}{2}+C=\frac{[\ln(\lnx)]^2}{2}+C]2.第二換元法（根式代換）例4：計算不定積分$\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx,(x>1)$解答：令$x=\sect$，$dx=\sect\tant,dt$，則$\sqrt{x^2-1}=\tant$：[\begin{align*}\int\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}dx&=\int\frac{\sect\tant}{\sect\tant}dt\&=\int1,dt=t+C=\arccos\frac{1}{x}+C\end{align*}]三、分部積分法進階1.循環(huán)積分型例5：計算不定積分$\inte^x\sinx,dx$解答：設$u=\sinx$，$dv=e^xdx$，則$du=\cosxdx$，$v=e^x$：[\inte^x\sinx,dx=e^x\sinx-\inte^x\cosx,dx]對右側積分再次使用分部積分，設$u=\cosx$，$dv=e^xdx$：[\inte^x\cosx,dx=e^x\cosx+\inte^x\sinx,dx]聯(lián)立兩式解得：[\inte^x\sinx,dx=\frac{e^x(\sinx-\cosx)}{2}+C]2.有理函數(shù)積分例6：計算不定積分$\int\frac{x^2+1}{x^3+4x^2+5x+2}dx$解答：分母因式分解：$x^3+4x^2+5x+2=(x+1)^2(x+2)$，設：[\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x+2}]通分后比較系數(shù)得$A=3$，$B=-2$，$C=-2$，積分拆分如下：[\begin{align*}\int\frac{x^2+1}{x^3+4x^2+5x+2}dx&=3\int\frac{1}{x+1}dx-2\int\frac{1}{(x+1)^2}dx-2\int\frac{1}{x+2}dx\&=3\ln|x+1|+\frac{2}{x+1}-2\ln|x+2|+C\end{align*}]四、綜合題型與技巧1.分段函數(shù)積分例7：設$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq0\\sinx,&x>0\end{cases}$，求$\intf(x)dx$解答：分段積分并保證原函數(shù)連續(xù)性：當$x\leq0$時，$\intx^2dx=\frac{x^3}{3}+C_1$當$x>0$時，$\int\sinxdx=-\cosx+C_2$由$x=0$處連續(xù)性得$\frac{0^3}{3}+C_1=-\cos0+C_2\RightarrowC_1=C_2-1$，取$C_1=C$，則$C_2=C+1$，故：[\intf(x)dx=\begin{cases}\frac{x^3}{3}+C,&x\leq0\-\cosx+C+1,&x>0\end{cases}]2.抽象函數(shù)積分例8：已知$f'(e^x)=xe^x$，且$f(1)=0$，求$f(x)$解答：令$t=e^x$，則$x=\lnt$，$f'(t)=t\lnt$，積分得：[f(t)=\intt\lntdt=\frac{t^2}{2}\lnt-\frac{t^2}{4}+C]由$f(1)=0$得$C=\frac{1}{4}$，故$f(x)=\frac{x^2}{2}\lnx-\frac{x^2}{4}+\frac{1}{4}$五、易錯點與拓展1.常見錯誤分析例：計算$\int\sin2xdx$時，錯解為$\frac{1}{2}\cos2x+C$，正確結果應為$-\frac{1}{2}\cos2x+C$（注意負號）。關鍵點：換元后需同步調整系數(shù)與符號，避免遺漏常數(shù)項。2.物理應用拓展例：已知物體速度$v(t)=t^2+\sint$（單位：m/s），初始位移$s(0)=0$，求位移函數(shù)$s(t)$。解答：[s(t)=\intv(t)dt=\int(t^2+\sint)dt=\frac{t^3}{3}-\cost+C]由$s(0)=0$得$C=