2025年高等數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考試試題一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）函數(shù)$f(x)=\frac{\ln(2-x)}{\sqrt{x^2-1}}$的定義域為（）A.$(-\infty,-1)\cup(1,2)$B.$(-\infty,-1]\cup[1,2)$C.$(-\infty,-1)\cup(1,2]$D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$下列極限計算正確的是（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}=1$B.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x=e^2$C.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=0$D.$\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=1$函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2+1,\quadx\leq0\ax+b,\quadx>0\end{cases}$在$x=0$處可導(dǎo)，則$a,b$的值分別為（）A.$a=0,b=1$B.$a=1,b=0$C.$a=0,b=0$D.$a=1,b=1$曲線$y=x^3-3x^2+2$在點$(1,0)$處的切線方程為（）A.$y=-3x+3$B.$y=3x-3$C.$y=-x+1$D.$y=x-1$設(shè)$y=\ln(\cosx)$，則$dy=$（）A.$\tanxdx$B.$-\tanxdx$C.$\cotxdx$D.$-\cotxdx$函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$在區(qū)間$[-2,2]$上的最大值為（）A.3B.5C.7D.9下列函數(shù)中，在區(qū)間$(-1,1)$內(nèi)單調(diào)遞減的是（）A.$f(x)=x^3$B.$f(x)=\sinx$C.$f(x)=e^{-x}$D.$f(x)=\ln(x+2)$設(shè)$f(x)$的一個原函數(shù)為$e^{2x}$，則$\intf'(x)dx=$（）A.$e^{2x}+C$B.$2e^{2x}+C$C.$4e^{2x}+C$D.$\frac{1}{2}e^{2x}+C$定積分$\int_{-1}^{1}(x^3\cosx+|x|)dx=$（）A.0B.$\frac{1}{2}$C.1D.2曲線$y=x^2$與直線$y=2x$所圍成的平面圖形的面積為（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{4}{3}$C.2D.$\frac{8}{3}$二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=$________．函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$的拐點坐標(biāo)為________．設(shè)$y=x^x$，則$y'=$________．$\int\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx=$________．若廣義積分$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx$收斂，則$p$的取值范圍是________．三、計算題（本大題共6小題，每小題10分，共60分）計算極限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^3}$．解答步驟：原式$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx(\frac{1}{\cosx}-1)}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx(1-\cosx)}{x^3\cosx}$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{x^2}{2}}{x^3\cdot1}=\frac{1}{2}$（等價無窮小替換：$\sinx\simx$，$1-\cosx\sim\frac{x^2}{2}$，$\cosx\to1$）設(shè)函數(shù)$y=y(x)$由方程$x^2+y^2-xy=1$確定，求$\frac{dy}{dx}$及$\frac{d^2y}{dx^2}$在點$(1,1)$處的值．解答步驟：對方程兩邊求導(dǎo)：$2x+2y\frac{dy}{dx}-(y+x\frac{dy}{dx})=0$，整理得$\frac{dy}{dx}=\frac{y-2x}{2y-x}$代入$(1,1)$：$\frac{dy}{dx}|{(1,1)}=\frac{1-2}{2-1}=-1$再求二階導(dǎo)數(shù)：對$\frac{dy}{dx}$求導(dǎo)并代入$(1,1)$，得$\frac{d^2y}{dx^2}|{(1,1)}=-2$求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$的單調(diào)區(qū)間和極值．解答步驟：$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$，令$f'(x)=0$得$x=-1$或$x=3$當(dāng)$x\in(-\infty,-1)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$x\in(-1,3)$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)$x\in(3,+\infty)$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增．極大值$f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+5=10$，極小值$f(3)=3^3-3\cdot3^2-9\cdot3+5=-22$計算不定積分$\intx\cos2xdx$．解答步驟：使用分部積分法：設(shè)$u=x$，$dv=\cos2xdx$，則$du=dx$，$v=\frac{1}{2}\sin2x$原式$=\frac{1}{2}x\sin2x-\frac{1}{2}\int\sin2xdx=\frac{1}{2}x\sin2x+\frac{1}{4}\cos2x+C$計算定積分$\int_{0}^{\pi}x\sinxdx$．解答步驟：分部積分：設(shè)$u=x$，$dv=\sinxdx$，則$du=dx$，$v=-\cosx$原式$=-x\cosx|{0}^{\pi}+\int{0}^{\pi}\cosxdx=-\pi(-1)+0+(\sinx)|_{0}^{\pi}=\pi+0=\pi$求曲線$y=e^x$，$y=e^{-x}$與直線$x=1$所圍成的平面圖形的面積．解答步驟：聯(lián)立方程得交點$(0,1)$，積分區(qū)間為$[0,1]$，面積$S=\int_{0}^{1}(e^x-e^{-x})dx$$S=(e^x+e^{-x})|_{0}^{1}=(e+\frac{1}{e})-(1+1)=e+\frac{1}{e}-2$四、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10元，已知總收益$R$（元）與年產(chǎn)量$x$（單位）的關(guān)系為$R(x)=\begin{cases}40x-0.5x^2,\quad0\leqx\leq40\800,\quadx>40\end{cases}$，問年產(chǎn)量為多少時，總利潤最大？最大利潤是多少？解答步驟：總成本$C(x)=2000+10x$，總利潤$L(x)=R(x)-C(x)$當(dāng)$0\leqx\leq40$時，$L(x)=40x-0.5x^2-2000-10x=-0.5x^2+30x-2000$$L'(x)=-x+30$，令$L'(x)=0$得$x=30$，此時$L(30)=-0.5\times900+30\times30-2000=-1550$（虧損）當(dāng)$x>40$時，$L(x)=800-2000-10x=-1200-10x$，單調(diào)遞減，利潤為負(fù)故最大利潤在$x=0$時取得，此時$L(0)=-2000$（即停產(chǎn)時虧損最小）設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，且$\int_{0}^{1}f(x)dx=2$，求$\int_{0}^{1}xf'(x)dx$，其中已知$f(1)=1$．解答步驟：分部積分：$\int_{0}^{1}xf'(x)dx=xf(x)|{0}^{1}-\int{0}^{1}f(x)dx=1\cdotf(1)-0-2=1-2=-1$五、證明題（本大題共1小題，10分）證明：當(dāng)$x>0$時，$e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$．證明：令$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$，則$f(0)=0$$f'(x)=e^x-1-x$，$f''(x)=e^x-1$當(dāng)$x>0$時，$f''(x)=e^x-1>0$，故$f