專題4.2等差數(shù)列的概念【六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差數(shù)列的基本量的求解】 2【題型2等差中項】 3【題型3等差數(shù)列的通項公式】 4【題型4等差數(shù)列的單調(diào)性】 6【題型5等差數(shù)列的判定與證明】 8【題型6利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題】 10【知識點1等差數(shù)列的概念與通項公式】1．等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.

(2)對等差數(shù)列概念的理解

①“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”.

②由概念可知，如果-()恒等于一個常數(shù)，那么數(shù)列{}就是等差數(shù)列.

③如果一個數(shù)列，不是從第2項起，而是從第3項或以后起，每一項與它的前一項的差是同一常數(shù)，那么這個數(shù)列不是等差數(shù)列.

④若數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差盡管都等于常數(shù)，但這些常數(shù)不都相等，那么這個數(shù)列不是等差數(shù)列.

⑤對于公差d，需要強調(diào)的是它是從第2項起，每一項與其前一項的差，不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.2．等差中項由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項，則有2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個數(shù)成等差數(shù)列.3．等差數(shù)列的通項公式(1)等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式為=+(n-1)d，其中為首項，d為公差.(2)等差數(shù)列通項公式的變形已知等差數(shù)列{}中的任意兩項，(n,m,m≠n)，則

-=(n-m)d【題型1等差數(shù)列的基本量的求解】【例1】已知數(shù)列an是公差為-2的等差數(shù)列，且a21=1，則首項a1=（

）A．41 B．43 C．-39 D．-43【解題思路】利用等差數(shù)列的通項公式求解.【解答過程】因為數(shù)列an所有a21=1=a故選：A.【變式1-1】在數(shù)列an中，a1=2，an+1?anA．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.【解答過程】由an+1?a所以an=4n?2，令4n?2=18，解得n=5，所以18是數(shù)列故選：C.【變式1-2】數(shù)列{an}是首項為?2的等差數(shù)列，若a2+A．a(chǎn)n=4n?6 C．a(chǎn)n=?4n?2 【解題思路】設(shè)公差為d，由a2+a【解答過程】解：設(shè)公差為d，則a2+a所以數(shù)列an的通項公式是a【變式1-3】首項為?20的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（

）A．d>209 B．d≤52 C．【解題思路】由題意可得a9≤0a【解答過程】因為首項為?20的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，所以a9≤0a10>0，即【題型2等差中項】【例2】已知a=12+1，b=12?1，則A．22 B．2 C．1 D．【變式2-1】已知m和2n的等差中項是4，2m和n的等差中項是5，則m和n的等差中項是（

）A．8 B．6 C．4.5 D．3【解題思路】利用等差中項的定義即求.【解答過程】∵m+2n=8，2m+n=10，∴3m+3n=18，∴m+n=6，∴m和n的等差中項是m+n2【變式2-2】在等差數(shù)列an中，若a3+a9A．13 B．26 C．39 D．52【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得到a3+a9=2【解答過程】因為an是等差數(shù)列，所以a3+所以a3【變式2-3】已知數(shù)列an滿足2an+1=an+an+2A．9 B．172 C．10 D．【解題思路】根據(jù)等差中項判斷an【解答過程】由2an+1=an所以a5?a3=2=2d?d=1所以a9=【題型3等差數(shù)列的通項公式】【例3】若數(shù)列an滿足a1=2，an+1?anA．n2+1 B．?n+3 C．n(n+3)2【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式求解.【解答過程】因為an+1?a所以an=2+(n?1)?1=n+1【變式3-1】在數(shù)列an中，a1=1，an+1=A．n B．n2 C．n+2 D．【解題思路】先把an+1=a【解答過程】由an+1=an+1得a所以數(shù)列bn是以b1=a1=1為首項，所以an=【變式3-2】已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足a1=1,aA．4043 B．4042 C．4045 D．4044【解題思路】由2Sn=Sn+1+Sn?1(n≥2)【解答過程】因為2S所以Sn?S所以數(shù)列{Sn}為公差為1的等差數(shù)列，所以S所以a2023【變式3-3】圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=AA．n B．n C．n+1 D．n+1【解題思路】由幾何關(guān)系得an2=an?12+1【解答過程】由題意知，OA1=A1A2=A2A3=…=【知識點2等差數(shù)列的性質(zhì)】 1．等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由等差數(shù)列的通項公式=+(n-1)d，可得=dn+(-d)，當d=0時，=為常數(shù)列，當d≠0時，=+(n-1)d是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次項系數(shù)就是等差數(shù)列的公差，因此等差數(shù)列{}的圖象是直線y=dx+(-d)上一群均勻分布的孤立的點.2．等差數(shù)列的單調(diào)性由等差數(shù)列的通項公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.

①當d>0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；

②當d<0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，如圖②所示；

③當d=0時，數(shù)列為常數(shù)列，如圖③所示.

因此，無論公差為何值，等差數(shù)列都不會是擺動數(shù)列.3．等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){}為等差數(shù)列，公差為d，則

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，則+=+.

(2)數(shù)列{+b}(,b是常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列.

(3)若{}是公差為d'的等差數(shù)列，{}與{}的項數(shù)一致，則數(shù)列{+(,為常數(shù))是公差為d+d'的等差數(shù)列.

(4)下標成等差數(shù)列且公差為m的項,,,(k,m)組成公差為md的等差數(shù)列.

(5)在等差數(shù)列{}中，若=m，=n，m≠n，則有=0.【題型4等差數(shù)列的單調(diào)性】【例4】已知等差數(shù)列an單調(diào)遞增且滿足a1+a8A．?∞,3 B．3,6 C．3，+∞ D．6,+∞【解題思路】設(shè)出公差，根據(jù)單調(diào)遞增，得到d>0，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到a1+【解答過程】因為an為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，因為數(shù)列an單調(diào)遞增，所以所以a1+a8=a【變式4-1】已知點1,5，2,3是等差數(shù)列an圖象上的兩點，則數(shù)列an為（A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．無法確定【解題思路】利用等差數(shù)列的圖象所在直線的斜率判斷.【解答過程】等差數(shù)列an的圖象所在直線的斜率k=則直線呈下降趨勢，故數(shù)列an故選：B.【變式4-2】在等差數(shù)列an中，a1=?11,?a5=?3A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【解題思路】根據(jù)題意求出an，根據(jù)等差數(shù)列an的各項符號得到數(shù)列【解答過程】解：依題意可得公差d=a5?所以當n≤6時，an<0，當n≥7時，因為T1=?11<0，T2T4=?11×(?9)×(?7)×(?5)=3465>0，T6=?10395×(?1)=10395>0，又當n≥6時，Tn=a1a2a所以數(shù)列Tn無最大項，數(shù)列Tn有最小項T【變式4-3】設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足S19>0，S20<0，則S1a1，S2A．S8a8 B．S9a9【解題思路】根據(jù)所給條件可分析等差數(shù)列遞減，且a10>0>a【解答過程】因為S19>0，S20<0，所以所以，a1>所以，0<S1a1<所以，S1a1【題型5等差數(shù)列的判定與證明】【例5】在數(shù)列an中，an是1與an【解題思路】由已知可得2an=1+【解答過程】證明：因為an是1與a所以2an=1+an所以1an+1?1=a【變式5-1】已知數(shù)列an中，a1=1(1)求a2,a(2)證明數(shù)列1a【解題思路】（1）根據(jù)給定的遞推公式，分別令n=1,2,3，即可求解a2【解答過程】（1）在數(shù)列an中，a1=1令n=1，得a2=2a12+a1=所以a2=23,（2）由an+1=2an2+an(n∈所以數(shù)列{1an}是以【變式5-2】已知數(shù)列an滿足a1=(1)證明：1an?1是等差數(shù)列，并求出a(2)證明：a1【解題思路】（1）由遞推公式可得an+1?1=1?an2an?3，兩邊取倒數(shù)，即可得到1（2）令Tn=a1a【解答過程】（1）由an+1=a∴1an+1?1∵a1=23，即1a1?1∴1an?1（2）令Tn=a1a①×②得Tn2<22n+2【變式5-3】對于數(shù)列an，定義Δan為數(shù)列(1)若數(shù)列an的通項公式an=(2)若數(shù)列an的首項是1，且滿足Δan【解題思路】（1）根據(jù)Δan=（2）依題意可得an+1【解答過程】（1）依題意Δan=∴Δ（2）因為Δan?an∴an+12n+1?an2n【題型6利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題】【例6】在等差數(shù)列an中，已知a1+a4【解題思路】利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【解答過程】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d∵a2a1+a4+則a3【變式6-1】在等差數(shù)列an(1)若a2+a(2)已知a1+2a【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q，則am【解答過程】（1）在等差數(shù)列an中,∴a2+a∴a9?1（2）∵a1+2a∴2a【變式6-2】（1）三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求這三個數(shù).（2）四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項的積為?8，求這四個數(shù).【解題思路】（1）設(shè)這三個數(shù)依次為a?d，a，a+d，根據(jù)已知條件列方程組，求得a和d的值即可得這三個數(shù)；（2）設(shè)這四個數(shù)依次為a?3d，a?d，a+d，a+3d(公差為2d>0)，根據(jù)已知條件列方程組，求得a和d的值即可得這四個數(shù).【解答過程】（1）設(shè)這三個數(shù)依次為a?d，a，a+d，由題意可得：a?d+a+a+d=9aa?d=6a+d，解得：a=3d=?1，所以這三個數(shù)依次為4（2）設(shè)這四個數(shù)依次為a?3d，a?d，a+d，a+3d(公差為2d>0)，由題意可得a?d+a+d=2a?3da+3d=?8，解得a=1d=1或a=1d=?1(舍)，故所求的四個數(shù)依次為?2，0，2【變式6-3】已知等差數(shù)列an的公