2021年高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題專題復(fù)習(xí)附解析一、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題1．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)存在兩個不同的零點B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．當(dāng)時，方程有且只有兩個實根D．若時，，則的最小值為【答案】ABC【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值以及函數(shù)的圖象，最后直接判斷選項．【詳解】對于A．，解得，所以A正確；對于B．，當(dāng)時，，當(dāng)時，或，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確．對于C．當(dāng)時，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；對于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選：ABC.【點睛】易錯點點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，極值點，以及函數(shù)的圖象，首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，判斷零點兩側(cè)的正負，得到函數(shù)的單調(diào)性，本題易錯的地方是是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，但當(dāng)時，，所以圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯了，那選項容易判斷錯了．2．已知偶函數(shù)對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中不成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和對稱性可知為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，即可得，從而可判斷ABD選項，由可判斷C選項.【詳解】因為偶函數(shù)對于任意的滿足，所以構(gòu)造函數(shù)，則，∴為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，，，，由函數(shù)單調(diào)性可知，即，對于AB，，故AB錯誤；對于C，，，故C錯誤；對于D，，即，故D正確；故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造對應(yīng)的新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大小，考查學(xué)生的邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.3．已知，則下列正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)證明其在單調(diào)遞減，即可得即可判斷選項A；作出和的函數(shù)圖象可判斷選項B；作出，的圖象可判斷選項C；構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷其在上的單調(diào)性即可判斷選項D，進而可得正確選項.【詳解】對于選項A：因為，所以，令，，在單調(diào)遞減，所以，即，所以即，可得，故A正確，對于選項B：由圖象可得，恒成立，故選項B正確；對于選項C：要證，令，，是奇函數(shù)，，是偶函數(shù)，令，則，因為在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞增，而單調(diào)遞增，由符合函數(shù)的單調(diào)性可知在單調(diào)遞增，其函數(shù)圖象如圖所示：由圖知當(dāng)時恒成立，故選項C正確；對于選項D：令，，，所以在單調(diào)遞減，所以，即，可得，故選項D不正確.故選：ABC【點睛】思路點睛：證明不等式恒成立（或能成立）一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進而可求出結(jié)果；有時也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.4．設(shè)函數(shù)，，下列命題，正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減B．不等關(guān)系成立C．若時，總有恒成立，則D．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)【答案】AC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項的正誤；由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性比較、的大小關(guān)系，可判斷B選項的正誤；分析得出函數(shù)在上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出的取值范圍，可判斷C選項的正誤；分析出方程在上有兩個根，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，函數(shù)的定義域為，則.由，可得，由，可得.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，A選項正確；對于B選項，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，，即，又，所以，，整理可得，B選項錯誤；對于C選項，若時，總有恒成立，可得，構(gòu)造函數(shù)，則，即函數(shù)為上的減函數(shù)，對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，其中，.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，，C選項正確；對于D選項，，則，由于函數(shù)有兩個極值點，令，可得，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，當(dāng)時，，如下圖所示：當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點.所以，實數(shù)的取值范圍是，D選項錯誤.故選：AC.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.5．函數(shù)有兩個極值點、，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．若，則只有一個零點 D．存在，使得【答案】ACD【分析】利用極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項的正誤；取，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷B選項的正誤；分、兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可判斷C選項的正誤；計算出函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，可判斷D選項的正誤.【詳解】，則.對于A選項，由題意可知，關(guān)于的二次方程有兩個不等的實根，則，可得，A選項正確；對于B選項，當(dāng)時，且當(dāng)時，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，B選項錯誤；對于C選項，當(dāng)時，由，可得或；由，可得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，由，可得，此時，函數(shù)的極大值為，極小值為，且，如下圖所示：由圖可知，此時函數(shù)有且只有一個零點，且零點在區(qū)間內(nèi)；當(dāng)時，由，可得或；由，可得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，單調(diào)遞增區(qū)間為，由，可得，此時，函數(shù)的極小值為，極大值為，且，如下圖所示：由圖可知，此時函數(shù)有且只有一個零點，且零點在區(qū)間內(nèi)，C選項正確；對于D選項，由題意可知，、是方程的兩根，由韋達定理可得，，，取，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，，，D選項正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.6．若直線與曲線滿足下列兩個條件：（i）直線在點處與曲線相切；（ii）曲線在附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點處“切過”曲線.下列命題正確的是（）A．直線在點處“切過”曲線B．直線在點處“切過”曲線C．直線在點處“切過”曲線D．直線在點處“切過”曲線【答案】ACD【分析】分別求出每個選項中命題中曲線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出曲線在點處的切線方程，再由曲線在點處兩側(cè)的函數(shù)值對應(yīng)直線上的點的值的大小關(guān)系是否滿足（ii），由此可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，由，可得，則，所以，曲線在點處的切線方程為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，滿足曲線在點附近位于直線兩側(cè)，A選項正確；對于B選項，由，可得，則，而直線的斜率不存在，所以，直線在點處不與曲線相切，B選項錯誤；對于C選項，由，可得，則，所以，曲線在點處的切線方程為，設(shè)，則，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.滿足曲線在點附近位于直線兩側(cè)，C選項正確；對于D選項，由，可得，，所以，曲線在點處的切線方程為，當(dāng)時，設(shè)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.滿足曲線在點附近位于直線兩側(cè)，D選項正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)新定義，解題的關(guān)鍵就是理解新定義，并把新定義進行轉(zhuǎn)化，一是求切線方程，二是判斷在切點兩側(cè)函數(shù)值與切線對應(yīng)的函數(shù)值的大小關(guān)系，從而得出結(jié)論.7．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則對任意、，其中，則下列不等式中一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】構(gòu)造，由有，即在上單調(diào)遞減，根據(jù)各選項的不等式，結(jié)合的單調(diào)性即可判斷正誤.【詳解】由知：，令，則，∴在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時，；當(dāng)時，；A：，有，，所以；B:由上得成立，整理有；C：由，所以，整理得；D：令且時，，，，有，，所以無法確定的大小.故選：ABC【點睛】思路點睛：由形式得到，1、構(gòu)造函數(shù)：，即.2、確定單調(diào)性：由已知，即可知在上單調(diào)遞減.3、結(jié)合單調(diào)性，轉(zhuǎn)化變形選項中的函數(shù)不等式，證明是否成立.8．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論，其中正確的是（）A．曲線在處的切線方程為B．恰有2個零點C．既有最大值，又有最小值D．若且，則【答案】BD【分析】本題首先可根據(jù)以及判斷出A錯誤，然后根據(jù)當(dāng)時的函數(shù)單調(diào)性、當(dāng)時的函數(shù)單調(diào)性、以及判斷出B正確和C錯誤，最后根據(jù)得出，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可證得，D正確.【詳解】函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，A項：，，則曲線在處的切線方程為，即，A錯誤；B項：當(dāng)時，，函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)是減函數(shù)，因為，，所以函數(shù)恰有2個零點，B正確；C項：由函數(shù)的單調(diào)性易知，C錯誤；D項：當(dāng)、時，因為，所以，因為在上為減函數(shù)，所以，，同理可證得當(dāng)、時命題也成立，D正確，故選：BD.【點睛】本題考查函數(shù)在某點處的切線求法以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點處的切線以及函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)值即切線斜率，若導(dǎo)函數(shù)值大于，則函數(shù)是增函數(shù)，若導(dǎo)函數(shù)值小于，則函數(shù)是減函數(shù)，考查函數(shù)方程思想，考查運算能力，是難題.9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時，在單調(diào)遞增B．當(dāng)時，在處的切線為軸C．當(dāng)時，在存在唯一極小值點，且D．對任意，在一定存在零點【答案】AC【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及零點，分別對四個選項逐個分析，可選出答案.【詳解】對于A，當(dāng)時，，，因為時，，即，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，當(dāng)時，，，則，，即切點為，切線斜率為，故切線方程為，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，，因為，所以，所以存在唯一，使得成立，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在存在唯一極小值點，由，可得，因為，所以，則，故C正確；對于選項D，，，令，得，，，則，令，得，則，令，得，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，令，得，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以時，取得極小值，極小值為，在的極小值中，最小，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為，當(dāng)時，即時，函數(shù)與無交點，即在不存在零點，故D錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、零點、最值，及切線方程的求法，考查學(xué)生的推理能力與計算求解能力，屬于難題.10．當(dāng)時，恒成立，則整數(shù)的取值可以是（）.A． B． C