第一部分

考點(diǎn)通關(guān)練第二章

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用微專(zhuān)題訓(xùn)練——導(dǎo)數(shù)中的交匯與創(chuàng)新型問(wèn)題題號(hào)12345難度★★★★★★★★★★★★★★★對(duì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題——α旋轉(zhuǎn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題——L切線(xiàn)導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的交匯問(wèn)題導(dǎo)數(shù)與集合、數(shù)列的交匯問(wèn)題以高等數(shù)學(xué)為背景的導(dǎo)數(shù)創(chuàng)新問(wèn)題——微分中值定理2．設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間I，若存在x0∈I，使得曲線(xiàn)y＝f(x)在x＝x0處的切線(xiàn)l與y＝f(x)的圖象只有唯一的公共點(diǎn)，則稱(chēng)y＝f(x)為“L函數(shù)”，切線(xiàn)l為y＝f(x)的一條“L切線(xiàn)”．(1)判斷y＝x－1是否是函數(shù)y＝lnx的一條“L切線(xiàn)”，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)g(x)＝e2x－6x，求證：y＝g(x)存在無(wú)窮多條“L切線(xiàn)”；(3)設(shè)f(x)＝x3＋ax2＋1(0<x<c)，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a和正數(shù)c，y＝f(x)都是“L函數(shù)”．(2)證明：因?yàn)間(x)＝e2x－6x，所以g′(x)＝2e2x－6，則點(diǎn)(x2，g(x2))處的切線(xiàn)l的方程為y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)，將點(diǎn)(x2，g(x2))處的切線(xiàn)l的方程與y＝g(x)聯(lián)立，得g(x)－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)，記h(x)＝g(x)－g(x2)－g′(x2)(x－x2)，則直線(xiàn)l為y＝g(x)的一條“L切線(xiàn)”?函數(shù)h(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x2(此時(shí)，一個(gè)x2對(duì)應(yīng)一條“L切線(xiàn)”)，顯然x2是h(x)的零點(diǎn)，故只要h(x)沒(méi)有其他零點(diǎn)，此時(shí)h′(x)＝g′(x)－g′(x2)＝2e2x－2e2x2，當(dāng)x<x2時(shí)，h′(x)<0，當(dāng)x>x2時(shí)，h′(x)>0，則h(x)在(－∞，x2)上單調(diào)遞減，在(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，故此時(shí)x2為h(x)唯一的極小值點(diǎn)(也是最小值點(diǎn))，而h(x2)＝0，故h(x)無(wú)其他零點(diǎn)，故直線(xiàn)l為y＝g(x)的一條“L切線(xiàn)”，因?yàn)閤2的任意性，故函數(shù)y＝g(x)存在無(wú)窮多條“L切線(xiàn)”．(3)證明：因?yàn)閒(x)＝x3＋ax2＋1(x∈(0，c))，則f′(x)＝3x2＋2ax，設(shè)點(diǎn)Q(x0，y0)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，解：(1)由f′(x)＝cosx，可得f′(0)＝1，又f(0)＝0，所以曲線(xiàn)y＝f(x)在x＝0處的切線(xiàn)方程為y＝x.由于f′(x＋2π)＝1＋acos(x＋2π)＝1＋acosx＝f′(x)，故所有的單調(diào)遞增區(qū)間經(jīng)過(guò)適當(dāng)平移可重合，同理，所有的單調(diào)遞減區(qū)間經(jīng)過(guò)適當(dāng)平移可重合．顯然f(x1)<f(x1＋2π)<f(x1＋4π)<…，所以要想集合M中有且僅有兩個(gè)元素，則需f(b1)＝f(x1)或f(b2)＝f(x1＋2π)或f(b3)＝f(x1＋4π)，…，f(bk)＝f(x1＋2(k－1)π)，k∈N*.因?yàn)閒(x＋2π)－f(x)＝x＋2π＋asin(x＋2π)－x－asinx＝2π，所以f(bk)－f(bk－1)＝2π，