2025年大學(xué)《行星科學(xué)》專業(yè)題庫——行星科學(xué)中的數(shù)學(xué)模型研究考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述開普勒第三定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式及其物理意義。假設(shè)地球繞太陽公轉(zhuǎn)的半長軸為1天文單位（AU），周期為1年。火星繞太陽公轉(zhuǎn)的半長軸為1.52AU，請利用開普勒第三定律估算火星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期，并說明單位。二、在行星物理研究中，常使用密度分層模型來描述天體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。假設(shè)一個天體的質(zhì)量分布滿足$\rho(r)=\rho_0\left(1-\frac{r}{R}\right)$，其中$\rho_0$是中心密度，$R$是天體半徑，$r$是從中心向外的半徑。請推導(dǎo)出此密度分布下，天體內(nèi)部任意半徑$r$處的總質(zhì)量$M(r)$的表達(dá)式。三、行星大氣逃逸速度是指大氣分子克服天體引力逃逸到無限遠(yuǎn)所需的最小初始速度。其表達(dá)式為$v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，其中$G$是萬有引力常數(shù)，$M$是天體質(zhì)量，$R$是天體半徑。試解釋公式中各物理量的含義。若要估算地球大氣失重，需要將大氣分子的平均熱運動速度（可近似為麥克斯韋速度分布的平均值，約為幾千米每秒）與地球的逃逸速度進(jìn)行比較。請簡要說明比較的思路，并指出影響大氣是否失重的關(guān)鍵因素。四、數(shù)值模擬是研究復(fù)雜行星現(xiàn)象的重要手段。在模擬行星大氣環(huán)流時，常簡化為一維模型，假設(shè)大氣只在垂直方向上存在溫度和密度的變化。一個簡單的熱力學(xué)模型假設(shè)大氣溫度$T(z)$隨高度$z$按照指數(shù)規(guī)律變化：$T(z)=T_0e^{-z/H}$，其中$T_0$是地表溫度，$H$是尺度高度。若已知地表溫度$T_0=288$K，尺度高度$H=7000$米，請計算海拔5000米處的大氣溫度。并簡述該模型忽略了哪些主要因素。五、在行星科學(xué)研究中，常通過分析行星光譜來推斷其大氣成分。假設(shè)一個行星大氣對特定波長的輻射具有朗伯-比爾吸收定律的行為，即透過率$I(\lambda)=I_0e^{-\tau(\lambda)}$，其中$I_0$是入射輻射強(qiáng)度，$\tau(\lambda)$是該波長的吸收截面。若觀測到某行星在特定波長$\lambda_1$處的透過率為0.8，在另一波長$\lambda_2$處（該波長不被吸收）的透過率為1.0，請說明如何利用這些信息估算該波長$\lambda_1$處的吸收截面$\tau(\lambda_1)$。如果發(fā)現(xiàn)吸收強(qiáng)度與大氣密度成正比，請進(jìn)一步說明如何推斷大氣中存在哪種成分（需結(jié)合該成分的物理化學(xué)性質(zhì)進(jìn)行簡要解釋）。六、行星的放射性元素衰變是其內(nèi)部熱能的主要來源之一。放射性元素镎-239(Np-239)的半衰期約為2.41億年，它衰變過程中釋放的能量可用于加熱行星內(nèi)部。假設(shè)一個處于熱演化晚期的行星內(nèi)部含有$N_0$個Np-239原子，請寫出描述Np-239數(shù)量隨時間$t$變化的微分方程（設(shè)衰變是唯一減少Np-239數(shù)量的因素）。若已知該行星內(nèi)部當(dāng)前的Np-239數(shù)量為其初始數(shù)量的10%，請利用該微分方程（無需求解，只需建立并說明）估算該行星內(nèi)部由Np-239衰變產(chǎn)生的放射性熱貢獻(xiàn)隨時間變化的趨勢（例如，是持續(xù)減少、保持不變還是先減少后趨于穩(wěn)定？），并簡要說明理由。試卷答案一、開普勒第三定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}$，其中$T$是行星公轉(zhuǎn)周期，$a$是行星軌道半長軸，$G$是萬有引力常數(shù)，$M$是中心天體（太陽）質(zhì)量。該定律表明所有行星繞太陽公轉(zhuǎn)的平方與其軌道半長軸的立方之比恒為常數(shù)。利用此定律估算火星周期：設(shè)地球周期$T_{地}=1$年，半長軸$a_{地}=1$AU；火星周期$T_{火}$，半長軸$a_{火}=1.52$AU。根據(jù)定律$\frac{T_{地}^2}{a_{地}^3}=\frac{T_{火}^2}{a_{火}^3}$，得$T_{火}^2=T_{地}^2\left(\frac{a_{火}}{a_{地}}\right)^3=1^2\left(\frac{1.52}{1}\right)^3=3.51^2$，故$T_{火}=\sqrt{3.51^2}=3.51$年。單位為年。二、天體內(nèi)部任意半徑$r$處的總質(zhì)量$M(r)$是半徑$r$內(nèi)部的所有物質(zhì)的積分。由密度定義$\rho(r)=\frac{dM}{dV}$，其中$dV$是體積元。對于球?qū)ΨQ分布，體積元$dV=4\pir^2dr$。因此，$dM=\rho(r)dV=\rho_0\left(1-\frac{r}{R}\right)4\pir^2dr$。積分得到$M(r)=\int_0^r4\pi\rho_0\left(1-\frac{r'}{R}\right)r'^2dr'=4\pi\rho_0\left[\int_0^rr'^2dr'-\frac{1}{R}\int_0^rr'^3dr'\right]$。計算積分：$\int_0^rr'^2dr'=\frac{r^3}{3}$，$\int_0^rr'^3dr'=\frac{r^4}{4}$。代入得$M(r)=4\pi\rho_0\left[\frac{r^3}{3}-\frac{1}{R}\frac{r^4}{4}\right]=\frac{4\pi\rho_0}{12}\left[4r^3-3r^4/R\right]=\frac{\pi\rho_0}{3}\left(4r^3-\frac{3r^4}{R}\right)$。三、公式$v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$中，$G$是萬有引力常數(shù)，$M$是天體質(zhì)量，$R$是天體半徑，$v_{esc}$是逃逸速度。該公式來源于將天體對質(zhì)量為$m$的物體的引力勢能$U=-\frac{GMm}{R}$轉(zhuǎn)化為動能$\frac{1}{2}mv_{esc}^2$并令其等于逃逸所需的引力勢能（在無窮遠(yuǎn)處為零）的過程，即$0+\frac{1}{2}mv_{esc}^2=-\frac{GMm}{R}$，解得$v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$。比較思路是將大氣分子的平均熱運動速度（如麥克斯韋分布的平均值）與該天體的逃逸速度$v_{esc}$進(jìn)行對比。如果平均熱運動速度$v_{avg}$大于$v_{esc}$，大氣分子有足夠動能克服引力逃逸；反之，則無法逃逸。關(guān)鍵因素包括：天體質(zhì)量$M$（質(zhì)量越大，$v_{esc}$越大）、天體半徑$R$（半徑越小，$v_{esc}$越大），以及大氣溫度（溫度越高，$v_{avg}$越大）。地球質(zhì)量大、半徑大，且逃逸速度（約11.2km/s）遠(yuǎn)大于其大氣分子的平均熱運動速度，因此大氣得以保留。四、計算海拔5000米處的大氣溫度：根據(jù)$T(z)=T_0e^{-z/H}$，代入$T_0=288$K，$z=5000$米，$H=7000$米，得$T(5000)=288e^{-5000/7000}=288e^{-5/7}$。使用計算器計算$e^{-5/7}\approxe^{-0.7143}\approx0.489$，故$T(5000)\approx288\times0.489\approx141$K。該模型簡化了大氣運動，假設(shè)只有垂直方向變化，忽略了水平方向的動量傳遞、科里奧利力、地形影響以及大氣成分的垂直分布不均勻性等。五、根據(jù)朗伯-比爾定律$I(\lambda)=I_0e^{-\tau(\lambda)}$，若在波長$\lambda_2$處沒有吸收，則$\tau(\lambda_2)=0$，此時$I(\lambda_2)=I_0$。在波長$\lambda_1$處，透過率$I(\lambda_1)=0.8I_0$。代入定律公式得$0.8I_0=I_0e^{-\tau(\lambda_1)}$。兩邊除以$I_0$并取自然對數(shù)，得$\ln(0.8)=-\tau(\lambda_1)$。計算$\ln(0.8)\approx-0.2231$，故$\tau(\lambda_1)\approx0.2231$。吸收截面$\tau(\lambda_1)$與大氣密度成正比意味著吸收強(qiáng)度與大氣柱密度（單位面積上從地面到大氣層頂?shù)目傎|(zhì)量）成正比。不同大氣成分在特定波長的吸收特性是獨特的。如果在波長$\lambda_1$處觀測到的吸收強(qiáng)度與大氣密度成正比，且該波長的吸收特征與已知氣體（如二氧化碳、水汽、甲烷等）的吸收光譜匹配，則可以推斷大氣中存在該成分。六、Np-239數(shù)量隨時間$t$變化的微分方程為$\frac{dN}{dt}=-\lambdaN$，其中$N$是Np-239原子數(shù)量，$\lambda$是衰變常數(shù)。衰變常數(shù)與半衰期$T_{1/2}$的關(guān)系為$\lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}=\frac{\ln2}{2.41\times10^8\text{年}}\approx2.88\times10^{-9}\text{年}^{-1}$。由題意，$N(t)/N_0=0.1$，代入公式$\ln(N(t)/N_0)=-\lambdat$，得$\ln(0.1)=-\lambdat$。計算$\ln(0.1)\approx-2.3026$，故$-2.3026\approx-2.88\times10^{-9}t$，解得$t\approx\frac{2.3026}{