2025年大學(xué)《信息與計(jì)算科學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——信息與計(jì)算科學(xué)的實(shí)踐能力培養(yǎng)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)的特點(diǎn)及其在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。請(qǐng)結(jié)合你所學(xué)過(guò)的至少兩個(gè)具體算法或方法，說(shuō)明它們是如何應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的。二、給定以下函數(shù)f(x)=x^3-2x+1，使用二分法求其在區(qū)間[0,2]內(nèi)的根，要求誤差不超過(guò)10^-4。請(qǐng)寫(xiě)出迭代公式，并計(jì)算前兩次迭代得到的近似根。三、考慮求解線性方程組Ax=b，其中A是一個(gè)3x3的矩陣，b是一個(gè)3x1的向量。1.若使用雅可比迭代法求解，請(qǐng)說(shuō)明收斂性的判斷依據(jù)（需提及相關(guān)條件）。2.若矩陣A的主對(duì)角線元素嚴(yán)格占優(yōu)，請(qǐng)簡(jiǎn)述雅可比迭代法一定收斂的理由。四、編寫(xiě)一段程序代碼（使用C/C++或Python語(yǔ)言），實(shí)現(xiàn)快速排序（QuickSort）算法。要求對(duì)輸入的任意整數(shù)數(shù)組進(jìn)行排序。請(qǐng)說(shuō)明你選擇的基準(zhǔn)元素（pivot）選擇策略，并描述代碼的主要執(zhí)行流程。五、在科學(xué)計(jì)算中，數(shù)值積分是常用的方法之一。比較梯形法則和辛普森法則在計(jì)算定積分時(shí)的優(yōu)缺點(diǎn)。請(qǐng)分別說(shuō)明這兩種方法的基本思想，并分析它們的誤差階（即誤差與步長(zhǎng)的關(guān)系）。六、假設(shè)你需要設(shè)計(jì)一個(gè)程序來(lái)模擬一個(gè)簡(jiǎn)單的種群繁衍過(guò)程。種群初始規(guī)模為P0，繁殖率為r（每年增長(zhǎng)的百分比），環(huán)境承載力為K（種群能持續(xù)生存的最大規(guī)模）。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)算法，用迭代的方式模擬種群規(guī)模在N年后的變化情況。描述你的算法思路，并說(shuō)明需要考慮的邊界條件。七、給定一個(gè)包含n個(gè)整數(shù)的數(shù)組，其中可能存在重復(fù)元素。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)算法，找出數(shù)組中的所有重復(fù)元素，并統(tǒng)計(jì)每個(gè)重復(fù)元素出現(xiàn)的次數(shù)。要求算法的空間復(fù)雜度盡可能低。請(qǐng)描述你的算法思路。八、考慮求解常微分方程y'=f(t,y)，y(t0)=y0。請(qǐng)簡(jiǎn)述歐拉法（Euler'smethod）的基本思想，并給出其計(jì)算公式。分析歐拉法在數(shù)值求解中的誤差來(lái)源，并簡(jiǎn)要說(shuō)明如何改進(jìn)歐拉法以提高精度。試卷答案一、信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)是數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的交叉學(xué)科，它以計(jì)算機(jī)為工具，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決科學(xué)、工程及社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題。其特點(diǎn)在于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模、計(jì)算方法和算法實(shí)現(xiàn)。例如，數(shù)值分析中的算法可用于天氣預(yù)報(bào)中的大氣模型求解；數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及算法知識(shí)是搜索引擎索引構(gòu)建和排序的基礎(chǔ)；運(yùn)籌學(xué)算法則廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)調(diào)度、物流優(yōu)化等領(lǐng)域。以快速排序?yàn)槔?，它是一個(gè)高效的排序算法，其時(shí)間復(fù)雜度在平均情況下為O(nlogn)，廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)庫(kù)排序、文件整理等實(shí)際場(chǎng)景。以二分法求根為例，它利用函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)不斷縮小搜索區(qū)間來(lái)精確找到函數(shù)的零點(diǎn)，常用于工程中求解方程的根，如電路分析中的節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算等。二、二分法求根的基本思想是不斷將包含根的區(qū)間一分為二，并在新區(qū)間中保留根所在的子區(qū)間，直到區(qū)間足夠小滿(mǎn)足精度要求。對(duì)于f(x)=x^3-2x+1在[0,2]內(nèi)的根，迭代公式為：x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)其中f'(x)=3x^2-2。初始區(qū)間為[a,b]=[0,2]。第一次迭代：計(jì)算f(0)=1,f(2)=5,f'(x)在[0,2]內(nèi)為正，根在(0,2)。中點(diǎn)c1=(0+2)/2=1。計(jì)算f(1)=0^3-2*0+1=0。根在[1,1]，即x1=1。第二次迭代：區(qū)間已縮小到[1,1]，f(1)=0。根據(jù)誤差要求|f(x)|<10^-4，當(dāng)前f(x1)=0滿(mǎn)足精度。（若需繼續(xù)，則x2=1）三、1.雅可比迭代法收斂性的判斷依據(jù)主要是矩陣A的雅可比矩陣（由A的非對(duì)角元素構(gòu)成的矩陣）對(duì)應(yīng)的矩陣的譜半徑（即其特征值的絕對(duì)值的最大值）小于1。或者，對(duì)于具體問(wèn)題，可以判斷A是否嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)（主對(duì)角線元素大于其所在行其他元素絕對(duì)值之和）或不可約對(duì)角占優(yōu)，這兩種情況下雅可比迭代法保證收斂。2.若矩陣A的主對(duì)角線元素嚴(yán)格占優(yōu)，即對(duì)于矩陣A=[a_ij]_{3x3}，有|a_ii|>sum_{j!=i}|a_ij|foralli=1,2,3。這意味著在每一步迭代中，更新值x_i^{(k+1)}主要受到自身上一輪值x_i^{(k)}的影響，而其他x_j^{(k)}的影響被“稀釋”了。這種性質(zhì)保證了迭代過(guò)程能不斷逼近真正的解，因此雅可比迭代法一定收斂。四、```c++//示例代碼(C++)#include<vector>#include<algorithm>//std::swapvoidquickSort(std::vector<int>&arr,intlow,inthigh){if(low<high){//基準(zhǔn)元素選擇策略：選擇最后一個(gè)元素intpivot=arr[high];inti=low-1;for(intj=low;j<high;j++){if(arr[j]<pivot){i++;std::swap(arr[i],arr[j]);}}std::swap(arr[i+1],arr[high]);intpartitionIndex=i+1;//遞歸排序基準(zhǔn)元素左右兩側(cè)的子數(shù)組quickSort(arr,low,partitionIndex-1);quickSort(arr,partitionIndex+1,high);}}//使用示例://std::vector<int>data={3,6,8,10,1,2,1};//quickSort(data,0,data.size()-1);//for(autonum:data){std::cout<<num<<"";}//輸出排序后數(shù)組```主要執(zhí)行流程：選擇一個(gè)基準(zhǔn)元素（pivot），重新排列數(shù)組，使所有小于pivot的元素都在它的左邊，所有大于pivot的元素都在它的右邊（稱(chēng)為分區(qū)操作）。然后，遞歸地在基準(zhǔn)元素左右兩側(cè)的子數(shù)組上重復(fù)此過(guò)程，直到每個(gè)子數(shù)組的大小為1（即有序）。五、梯形法則是一種數(shù)值積分方法，它將積分區(qū)間[a,b]劃分為n個(gè)等寬的小區(qū)間[x_i,x_{i+1}]，在每個(gè)小區(qū)間上用線段（梯形）近似曲線，然后將所有梯形的面積相加得到積分的近似值。其基本思想是線性插值。其計(jì)算公式為：int_a^bf(x)dx≈(b-a)/2n*[f(a)+2*sum_{i=1}^{n-1}f(a+i*h)+f(b)]，其中h=(b-a)/n。梯形法則的誤差階為O(h^2)，即誤差與步長(zhǎng)的平方成正比。辛普森法則也是一種數(shù)值積分方法，它將積分區(qū)間[a,b]劃分為n個(gè)等寬的小區(qū)間（n必須為偶數(shù)），在每個(gè)小區(qū)間上用拋物線（二次多項(xiàng)式）近似曲線，然后將所有拋物線下的面積相加得到積分的近似值。其基本思想是二次插值。其計(jì)算公式為：int_a^bf(x)dx≈(b-a)/3n*[f(a)+4*sum_{i=1,3,5,...}f(a+i*h)+2*sum_{i=2,4,6,...}f(a+i*h)+f(b)]，其中h=(b-a)/n。辛普森法則的誤差階為O(h^4)，即誤差與步長(zhǎng)的四次方成正比。比較優(yōu)缺點(diǎn)：辛普森法則的誤差階更高，對(duì)于光滑函數(shù)，其精度遠(yuǎn)高于梯形法則，且通常需要較少的區(qū)間數(shù)即可達(dá)到較高精度。但辛普森法則要求區(qū)間數(shù)必須為偶數(shù)，且其推導(dǎo)和實(shí)現(xiàn)相對(duì)復(fù)雜一些。梯形法則實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，適用于所有連續(xù)函數(shù)，但精度較低，通常需要更多的區(qū)間數(shù)才能達(dá)到相同的精度。六、算法思路：設(shè)置初始種群規(guī)模P=P0，時(shí)間t=0，結(jié)束時(shí)間T=N。在每一時(shí)間步t，根據(jù)繁殖率r計(jì)算種群增長(zhǎng)量，并考慮環(huán)境承載力K的限制，更新種群規(guī)模P。具體步驟如下：1.初始化：P=P0,t=0。2.當(dāng)t<=N時(shí)，執(zhí)行以下操作：a.計(jì)算增長(zhǎng)后的種群規(guī)模：P_new=P*(1+r)。b.應(yīng)用環(huán)境承載力限制：如果P_new>K，則P=K；否則，P=P_new。c.時(shí)間步進(jìn)：t=t+1。3.輸出：N年后的種群規(guī)模P。需要考慮的邊界條件：初始種群規(guī)模P0必須為非負(fù)數(shù)；繁殖率r的取值通常在0到1之間（表示增長(zhǎng)率）；環(huán)境承載力K必須為正數(shù)且大于等于初始種群規(guī)模；模擬時(shí)間N必須為非負(fù)整數(shù)。七、算法思路：利用哈希表（或字典）來(lái)記錄每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)。遍歷數(shù)組中的每個(gè)元素，對(duì)于每個(gè)元素x，檢查哈希表中是否已存在鍵為x的條目。1.如果存在，則將該條目的值（出現(xiàn)次數(shù)）加1。2.如果不存在，則在哈希表中創(chuàng)建一個(gè)鍵為x、值為1的條目。遍歷完成后，哈希表中的每個(gè)鍵值對(duì)(x,count)即表示元素x在數(shù)組中出現(xiàn)的次數(shù)。這種方法的空間復(fù)雜度主要取決于不同元素的數(shù)量，最壞情況下為O(n)，平均情況下接近O(n)（假設(shè)哈希表沖突少）。八、歐拉法是求解一階常微分方程初值問(wèn)題y'=f(t,y),y(t0)=y0的一種簡(jiǎn)單的數(shù)值方法。其基本思想是利用微分方程在點(diǎn)(t_k,y_k)處的切線近似，即用直線段連接點(diǎn)(t_k,y_k)和點(diǎn)(t_{k+1},y_{k+1})來(lái)近似曲線y(t)。假設(shè)步長(zhǎng)為h，則t_{k+1}=t_k+h。歐拉法的計(jì)算公式為：y_{k+1}=y_k+h*f(t_k,y_k)。誤差來(lái)源主要有兩個(gè)方面：一是函數(shù)f(t,y)在區(qū)間[t_k,t_{k+1}]上的變化無(wú)法用單點(diǎn)的斜率