2025年大學《生物統(tǒng)計學》專業(yè)題庫——生態(tài)學數(shù)據(jù)的時間序列分析方法考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.某種群的個體數(shù)量在每年年底的記錄形成了一個時間序列。該序列呈現(xiàn)逐年增長的趨勢，且每年年末的數(shù)量與上一年年末的數(shù)量正相關。這種時間序列最可能具有的特征是？A.平穩(wěn)性，無自相關性B.非平穩(wěn)性，具有顯著的正自相關性C.平穩(wěn)性，具有顯著的負自相關性D.非平穩(wěn)性，自相關性不顯著2.對于一個非平穩(wěn)的時間序列數(shù)據(jù)，在進行時間序列建模之前，通常需要進行怎樣的處理？A.對數(shù)據(jù)進行對數(shù)轉換B.對數(shù)據(jù)進行中心化處理C.對數(shù)據(jù)進行差分以消除趨勢或季節(jié)性D.對數(shù)據(jù)進行標準化處理3.自相關函數(shù)（ACF）和偏自相關函數(shù)（PACF）的主要區(qū)別在于？A.ACF在滯后k時衡量X對Y的影響，PACF在滯后k時衡量X對Y的影響，排除了中間滯后項的影響B(tài).ACF在滯后k時衡量X對Y的影響，PACF在滯后k時衡量Y對X的影響C.ACF只適用于平穩(wěn)序列，PACF只適用于非平穩(wěn)序列D.ACF是自回歸系數(shù)，PACF是移動平均系數(shù)4.如果一個時間序列的ACF和PACF都呈現(xiàn)拖尾（逐漸趨于零）和截尾（在某滯后階數(shù)后突變?yōu)榱悖┑奶卣?，則該序列最可能的模型是？A.ARIMA(p,0,q)B.ARIMA(0,1,q)C.ARIMA(p,1,0)D.ARIMA(p,1,q)5.在Box-Jenkins建模過程中，模型診斷的目的是什么？A.估計模型參數(shù)B.選擇模型的階數(shù)C.檢驗殘差是否為白噪聲，判斷模型是否恰當D.計算模型的預測區(qū)間6.對于一個季節(jié)性非平穩(wěn)的時間序列，如每年同月的數(shù)據(jù)，適合使用的模型是？A.ARIMA模型B.季節(jié)性ARIMA模型（SARIMA模型）C.指數(shù)平滑模型D.線性回歸模型7.某研究者想預測未來一個月某湖泊中浮游植物的數(shù)量。他收集了過去五年的月度數(shù)據(jù)，并發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)有明顯的增長趨勢和季節(jié)性波動。以下哪種模型最不適用于此預測任務？A.ARIMA(1,1,1)(1,1,1)12B.指數(shù)平滑三重法（Holt-Winters方法）C.線性趨勢外推D.ARIMA(0,1,1)(0,1,1)128.設時間序列模型為ARIMA(1,1,1)，其中參數(shù)φ=0.8,θ=0.5。則其一階自回歸系數(shù)（φ）和一階移動平均系數(shù)（θ）的值分別是？A.φ=0.8,θ=0.5B.φ=0.3,θ=-0.5C.φ=-0.8,θ=0.5D.φ=0.8,θ=-0.59.殘差分析是時間序列模型診斷中的重要步驟，以下哪種情況表明擬合的ARIMA模型可能不合適？A.殘差的ACF圖顯示存在顯著的自相關性B.殘差的均值接近于零C.殘差的方差隨時間變化而增大D.Ljung-BoxQ檢驗的p值顯著10.使用時間序列模型進行預測時，預測區(qū)間的寬度通常受哪些因素影響？A.只受模型參數(shù)的影響B(tài).只受樣本量的影響C.受模型參數(shù)、樣本量以及預測期長度的影響D.與樣本量無關，只與預測期長度有關二、填空題1.時間序列數(shù)據(jù)是按__________順序排列的觀測值集合。2.一個平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計特性（如均值、方差）不隨時間變化而變化。3.移動平均模型（MA）主要用來描述時間序列數(shù)據(jù)中的__________成分。4.差分運算的目的通常是將非平穩(wěn)序列轉換為__________序列。5.在ARIMA(p,d,q)模型中，參數(shù)d表示需要進行__________次差分以實現(xiàn)平穩(wěn)。6.自回歸模型（AR）假設當前觀測值與過去若干個__________的觀測值相關。7.對于季節(jié)性ARIMA模型SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s，參數(shù)s代表__________周期。8.模型識別階段，通常通過分析時間序列數(shù)據(jù)的__________函數(shù)和偏自相關函數(shù)來初步判斷模型的階數(shù)。9.時間序列預測的準確性通常隨著__________的增加而下降。10.在進行時間序列分析之前，應對原始數(shù)據(jù)進行觀察，判斷其是否具有__________，以及是否存在趨勢、季節(jié)性等成分。三、簡答題1.簡述平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列的主要區(qū)別，并舉例說明在生態(tài)學研究中可能遇到的非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。2.簡要說明自回歸模型（AR）的基本原理，并寫出AR(1)模型的數(shù)學表達式。3.在應用ARIMA模型進行預測時，預測值和預測誤差（殘差）之間有什么關系？四、計算題1.某地記錄了1960年至2010年每年末的某種昆蟲種群數(shù)量（單位：百萬），發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性增長趨勢。研究者對數(shù)據(jù)進行一階差分后，得到的新序列（記為ΔX_t）大致呈現(xiàn)平穩(wěn)性，且通過ACF和PACF分析，初步判斷ΔX_t適合用ARIMA(1,1,1)模型擬合。假設已獲得參數(shù)估計值：φ?=0.6,θ?=0.4，且新序列的均值為0。(1)寫出擬合的差分后序列的ARIMA(1,1,1)模型的表達式。(2)根據(jù)模型表達式，寫出原序列X_t的表達式（用ΔX_t表示）。(3)若已知2010年年末的原始種群數(shù)量X_2010=120百萬，請根據(jù)模型預測2011年年末的種群數(shù)量X_2011（僅要求寫出計算公式）。2.研究者收集了某河流每月平均濁度數(shù)據(jù)（單位：NTU），共12個月。數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的季節(jié)性波動，且無明顯趨勢。對原始數(shù)據(jù)進行季節(jié)差分（ΔsX_t=X_t-X_{t-s}）后，得到的序列ΔsX_t通過了平穩(wěn)性檢驗和殘差白噪聲檢驗（Ljung-Box檢驗p>0.05）。(1)基于以上信息，最適合用于擬合原始濁度數(shù)據(jù)的模型是什么？(2)簡述選擇該模型的原因。(3)如果模型擬合后得到的主要參數(shù)估計值為φ?=0.3（自回歸系數(shù)），請解釋該參數(shù)的實際意義。五、分析題某生態(tài)學家研究了某森林中某種樹種的年徑向生長量（單位：mm/年），記錄了1960年至2020年的數(shù)據(jù)。他發(fā)現(xiàn)生長量數(shù)據(jù)有明顯的增長趨勢，且每年生長量與上一年相似（有自相關性）。為了預測未來幾年的生長量，他計劃使用時間序列分析方法。(1)該生態(tài)學家面臨的時間序列數(shù)據(jù)可能具有哪些特性？請簡述。(2)如果該生態(tài)學家選擇使用ARIMA模型，他應該如何確定模型中的階數(shù)（p,d,q）？需要分析哪些統(tǒng)計量？(3)在模型擬合完成后，進行模型診斷時，他需要關注哪些方面？如果發(fā)現(xiàn)殘差存在自相關性，他應該如何處理？(4)與使用簡單線性回歸進行趨勢預測相比，使用ARIMA模型進行預測有哪些潛在的優(yōu)勢？試卷答案一、選擇題1.B解析：逐年增長的趨勢表明序列非平穩(wěn)。每年數(shù)量與上一年正相關，表明存在一階自相關性。故選B。2.C解析：非平穩(wěn)序列通常包含趨勢或季節(jié)性成分，差分操作旨在消除這些成分，使序列平穩(wěn)，從而適合進行時間序列建模。故選C。3.A解析：ACF衡量滯后k時X對Y的總影響（包括直接和間接），PACF衡量滯后k時X對Y的影響，排除了中間滯后項的間接影響。故選A。4.D解析：拖尾ACF和截尾PACF是ARMA(p,q)模型的典型特征。具體階數(shù)需根據(jù)滯后階數(shù)判斷，但符合ARIMA(p,1,q)的形式。故選D。5.C解析：模型診斷的核心是檢驗殘差序列是否為白噪聲，即是否只包含隨機誤差，這決定了所建模型是否恰當。故選C。6.B解析：季節(jié)性非平穩(wěn)數(shù)據(jù)包含固定的季節(jié)周期性變化和趨勢（或差分后平穩(wěn)），SARIMA模型通過引入季節(jié)性自回歸項、季節(jié)性差分項和季節(jié)性移動平均項來處理。故選B。7.C解析：線性趨勢外推假設未來增長模式與過去一致，但未考慮數(shù)據(jù)的季節(jié)性波動，對于有明顯季節(jié)性的數(shù)據(jù)，其預測效果通常不如考慮季節(jié)性的模型（如ARIMA或Holt-Winters）。故選C。8.A解析：ARIMA(1,1,1)模型包含一階自回歸項φ，一階差分，一階移動平均項θ。題目已給出φ=0.8,θ=0.5。故選A。9.A解析：若殘差ACF顯示顯著自相關性，說明模型未能充分捕捉數(shù)據(jù)中的依賴結構，殘差中仍有系統(tǒng)性信息，模型不合適。故選A。10.C解析：預測區(qū)間寬度受模型不確定性（參數(shù)估計精度）、樣本量（影響參數(shù)估計精度）以及預測期長度（距離當前時間越遠，不確定性累積越大）共同影響。故選C。二、填空題1.時間2.時間3.隨機4.平穩(wěn)5.差分6.前面7.季節(jié)8.自相關9.預測期10.平穩(wěn)性三、簡答題1.解析：平穩(wěn)時間序列的均值和方差恒定，且任意兩個時間點之間的協(xié)方差僅依賴于時間間隔，不隨時間推移而變化。非平穩(wěn)時間序列的均值、方差或協(xié)方差隨時間變化。生態(tài)學研究中可能遇到的非平穩(wěn)數(shù)據(jù)：①種群數(shù)量呈指數(shù)增長或衰減；②受氣候周期性影響的環(huán)境因子（如年降水量）；③測量儀器的漂移導致的數(shù)據(jù)趨勢。2.解析：自回歸模型（AR）假設時間序列當前時刻的值，依賴于過去若干個時刻值的線性組合，并加上一個白噪聲誤差項。AR(1)模型表示當前值依賴于前一個值。數(shù)學表達式為：X_t=φX_{t-1}+ε_t，其中φ是自回歸系數(shù)，ε_t是白噪聲。3.解析：根據(jù)ARIMA模型定義，預測值X_t+h可以表示為當前及過去若干觀測值的線性組合。而預測誤差（即實際值與預測值的差）為e_t+h=X_t+h-X?_t+h，其中X?_t+h是預測值。因此，預測誤差是當前及過去若干觀測值與模型預測值的差值，它反映了模型未能預測的隨機性部分。四、計算題1.解析：(1)擬合的差分后序列的ARIMA(1,1,1)模型表達式為：ΔX_t=φΔX_{t-1}+θε_{t-1}，其中ε_t是白噪聲。(2)由于ΔX_t=X_t-X_{t-1}，則X_t=ΔX_t+X_{t-1}。將ΔX_t的表達式代入，得到：X_t=φ(X_{t-1}-X_{t-2})+θε_{t-1}+X_{t-1}=(1+φ)X_{t-1}-φX_{t-2}+θε_{t-1}。(3)預測2011年年末種群數(shù)量X_2011。根據(jù)模型，X_2011=(1+φ)X_2010-φX_2009+θε_2009。由于通常假設ε_2009對X_2011的預測貢獻很小或忽略，且X_2009未知，若僅用模型結構表達，則X_2011=(1+φ)X_2010-φX_2009+θε_2009。更實用的單步預測是X?_2011=(1+φ)X_2010。計算公式為：X?_2011=(1+0.6)*120-0.6*X_2009。2.解析：(1)最適合用于擬合原始濁度數(shù)據(jù)的模型是季節(jié)性ARIMA模型，記為SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s。其中s為季節(jié)周期（此處為12個月）。(2)選擇原因：①數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的季節(jié)性波動；②原始數(shù)據(jù)經(jīng)過季節(jié)差分后變得平穩(wěn)（ΔsX_t平穩(wěn)）；③差分后的序列通過殘差白噪聲檢驗，表明季節(jié)差分有效去除了季節(jié)性和趨勢，留下隨機噪聲。這符合SARIMA模型的應用條件。(3)參數(shù)φ?=0.3的實際意義：它表示在SARIMA模型中，當前季節(jié)差分后的濁度ΔsX_t與其滯后一個季節(jié)（12個月）的季節(jié)差分值ΔsX_{t-12}之間的線性關系強度。具體來說，ΔsX_t的值對其12個月前的值ΔsX_{t-12}的回歸系數(shù)為0.3。五、分析題(1)解析：該時間序列數(shù)據(jù)可能具有：①非平穩(wěn)性，表現(xiàn)為年徑向生長量隨時間有明顯的增長趨勢；②自相關性，由于樹木生長具有連續(xù)性，當前年份的生長量可能與其前一年相似；③（可能）季節(jié)性，雖然題目未明確提及，但某些樹種的生長可能也受年周期氣候影響而有微弱的季節(jié)性波動（盡管題目未強調）。(2)解析：確定SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型階數(shù)需：①對原始序列X_t進行觀察，判斷其平穩(wěn)性。若非平穩(wěn)，進行差分d次使其平穩(wěn)，記錄差分次數(shù)d。本題已說明需一階差分。②對差分后序列ΔX_t（或ΔX_t'若需更多差分）計算ACF和PACF圖，觀察其拖尾和截尾情況，初步確定非季節(jié)性部分模型階數(shù)(p,q)。③考慮季節(jié)性，對差分平穩(wěn)后的序列（或原始序列）計算季節(jié)性ACF和PACF圖，觀察季節(jié)周期s（12個月）處的滯后項是否顯著，確定季節(jié)性自回歸階數(shù)P和季節(jié)性移動平均階數(shù)Q。④結合ACF、PACF和季節(jié)性特征，選擇合適的模型階數(shù)組合。(3)解析：模型診斷需關注：①殘差的均值是否為0；②殘差的方差是否恒定；③殘差的ACF和PACF圖是否在置信區(qū)間內基本為0（即呈現(xiàn)白噪聲特征）；④進行Ljung-BoxQ檢驗，其p值應大于顯著性水平（如0.05），表明殘差序列不存在自相關性。若發(fā)現(xiàn)殘差存在自相關性，說明模型未能捕捉數(shù)據(jù)中的某些依賴結構，處理方法