2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——索引理論的邏輯規(guī)律考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請將正確選項的字母填在括號內(nèi)）1.設(shè)A為非空集合，R是A上的關(guān)系。若R不具有反身性，則R必定不具有（）。A.對稱性B.傳遞性C.反對稱性D.以上皆非2.集合A={1,2,3}上的關(guān)系R={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}，則R是（）。A.自反的B.對稱的C.傳遞的D.偏序關(guān)系3.設(shè)R和S是集合A上的等價關(guān)系，則R∩S也是集合A上的（）。A.關(guān)系B.等價關(guān)系C.偏序關(guān)系D.函數(shù)4.在集合A={a,b,c}的冪集P(A)上定義關(guān)系R，對于任意X,Y∈P(A)，有(X,Y)∈R當且僅當|X∩Y|=0。則R是（）。A.自反的B.對稱的C.傳遞的D.等價關(guān)系5.設(shè)R是集合A上的偏序關(guān)系，a,b∈A。若存在c∈A使得aRc且cRb，則稱a與b是可比較的。若A={1,2,3,4}，R為“整除”關(guān)系，則（）。A.1與2可比較B.2與3可比較C.3與4可比較D.1與4不可比較二、填空題（每小題4分，共20分。請將答案填在橫線上）1.設(shè)R是集合A上的關(guān)系，若對于任意a∈A，總有(a,a)∈R，則稱R具有______性。2.集合A上的等價關(guān)系R所導(dǎo)出的A的劃分，其每個元素稱為一個______。3.設(shè)R是集合A上的關(guān)系，若對于任意a,b,c∈A，(a,b)∈R且(b,c)∈R，則必有(a,c)∈R，則稱R具有______性。4.如果集合A上的關(guān)系R既是自反的、對稱的，又是傳遞的，則稱R為______關(guān)系。5.在偏序關(guān)系R下，若對于任意a,b∈A，必有aRb或bRa，則稱R具有______性。三、判斷題（每小題3分，共15分。請將“正確”或“錯誤”填在括號內(nèi)）1.非空集合A上的任何關(guān)系都是A×A的子集。（）2.如果R是集合A上的等價關(guān)系，那么對于任意a,b∈A，a與b屬于同一個等價類當且僅當(a,b)∈R。（）3.集合A上的恒等關(guān)系是自反的、對稱的、傳遞的。（）4.如果偏序關(guān)系R的哈斯圖是連通的（除頂點自身連接外，任意兩個頂點間存在路徑），那么R是全序關(guān)系。（）5.存在集合A，使得A上的關(guān)系R既是等價關(guān)系，又是偏序關(guān)系。（）四、計算題（每小題10分，共20分）1.設(shè)A={1,2,3,4}，R是A上的關(guān)系，R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,4)}。(1)寫出關(guān)系矩陣M_R；(2)判斷R是否是自反的、對稱的、傳遞的。2.設(shè)A={a,b,c,d}，R是A上的關(guān)系，其關(guān)系矩陣為M_R=|0101||1010||0101||1010|(1)寫出關(guān)系圖G_R的頂點集和邊的集合（用有序?qū)Ρ硎荆?2)求R的等價類劃分。五、證明題（每小題10分，共30分）1.證明：集合A上的任何等價關(guān)系R，其等價類集合構(gòu)成A的一個劃分。2.證明：集合A上的關(guān)系R是傳遞的，當且僅當對于任意a,b,c∈A，若(a,b)∈R且(b,c)∈R\{(b,b)\}，則(a,c)∈R。3.設(shè)R是集合A上的偏序關(guān)系，證明：如果a和b是可比的，那么在R的哈斯圖中，a和b之間存在一條從a到b的路徑。---試卷答案一、選擇題1.B2.C3.B4.D5.D二、填空題1.反身2.等價類3.傳遞4.等價5.全序三、判斷題1.正確2.正確3.正確4.錯誤5.錯誤四、計算題1.(1)M_R=|1101||1110||0111||1011|(2)R是自反的（主對角線元素全為1），對稱的（矩陣M_R等于其轉(zhuǎn)置M_R^T），不是傳遞的（例如(1,2)和(2,3)都在R中，但(1,3)不在R中）。2.(1)頂點集：{a,b,c,d}。邊的集合：{(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,d),(d,b),(c,d),(d,c)}。(2)等價類：[a]_R={a,c},[b]_R={b,d}。五、證明題1.證明：設(shè)R是集合A上的等價關(guān)系，任意a∈A。由反身性知(a,a)∈R，故[a]_R非空。任取x,y∈[a]_R，則存在b,c∈A使得(x,b)∈R且(b,a)∈R，(y,c)∈R且(c,a)∈R。由對稱性知(b,x)∈R,(a,c)∈R。由傳遞性知(x,c)∈R。再由對稱性知(c,x)∈R。對任意z∈A，若(z,x)∈R，則由傳遞性(c,z)∈R，即(z,a)∈R，由對稱性(a,z)∈R，故(z,x)∈R。所以[a]_R是A的子集。任意x∈A，由反身性(a,a)∈R，故x∈[a]_R。所以[a]_R∪[b]_R={a,b,...}。若x∈[a]_R∩[b]_R，則存在c∈A使得(x,c)∈R且(c,a)∈R，(x,c)∈R且(c,b)∈R。由對稱性知(c,x)∈R,(c,x)∈R。由傳遞性知(a,b)∈R且(b,a)∈R。由對稱性知(a,b)∈R。若(a,b)∈R，則存在c∈A使得(a,c)∈R且(c,a)∈R，(b,c)∈R且(c,b)∈R。由對稱性知(c,a)∈R,(c,b)∈R。由傳遞性知(a,b)∈R。這與(a,b)∈R矛盾。所以[a]_R∩[b]_R=?。因此，[a]_R∪[b]_R={a,b,...}是A的子集，且任意兩個不同的等價類不相交。又因為A=∪_{x∈A}[x]_R，所以A是所有等價類的并集。綜上所述，集合A上的等價關(guān)系R的等價類集合構(gòu)成A的一個劃分。2.證明：必要性。假設(shè)R是傳遞的。任取a,b,c∈A，若(a,b)∈R且(b,c)∈R\{(b,b)\}。因為(b,c)?{(b,b)}，所以b≠c。由(b,c)∈R，由對稱性知(c,b)∈R。由傳遞性知(a,c)∈R。充分性。假設(shè)對于任意a,b,c∈A，若(a,b)∈R且(b,c)∈R\{(b,b)\}，則(a,c)∈R。任取a,b∈A，若(a,b)∈R，取c=b，則(b,b)∈R\{(b,b)\}（這里需要修正，(b,b)不在R\{(b,b)\}中，所以需要重新構(gòu)造證明）。修正證明：必要性假設(shè)成立，任取a,b,c∈A，若(a,b)∈R且(b,c)∈R。若(b,c)∈R\{(b,b)\}，則a,b,c互異，由假設(shè)(a,c)∈R。若(b,c)∈R且b=c，則(a,b)∈R且(b,b)∈R，由假設(shè)(a,b)∈R。所以任意(a,b)∈R且(b,c)∈R，都有(a,c)∈R。充分性假設(shè)成立，任取a,b,c∈A，若(a,b)∈R且(b,c)∈R。若(b,c)∈R\{(b,b)\}，則a,b,c互異，由假設(shè)(a,c)∈R。若(b,c)∈R且b=c，則(a,b)∈R且(b,b)∈R，由假設(shè)(a,b)∈R。所以任意(a,b)∈R且(b,c)∈R，都有(a,c)∈R。即R是傳遞的。3.證明：設(shè)R是集合A上的