2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在無(wú)人機(jī)技術(shù)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：本試卷共分為五個(gè)大題，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效?？荚嚂r(shí)間為120分鐘。一、設(shè)向量r=(x,y,z)，函數(shù)f(r)=ln(x2+y2+z2)。求?f(1,1,1)及?f(r)的大小。二、考慮以下微分方程初值問(wèn)題：xy'+y=xln(x)，y(1)=0。(1)求該微分方程的通解；(2)求上述初值問(wèn)題的特解。三、給定函數(shù)g(t)=e^(-t)*sin(t)，其中t≥0。(1)求g(t)的一階和二階拉普拉斯變換G(s)；(2)利用拉普拉斯變換解微分方程y''+y=sin(t)，y(0)=0,y'(0)=0。四、設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，其特征值為λ?=1,λ?=2,λ?=3。對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α?=(1,1,1)?,α?=(1,0,-1)?,α?=(1,-2,1)?。(1)求矩陣A；(2)求一個(gè)正交矩陣P，使得P?AP=對(duì)角矩陣。五、無(wú)人機(jī)進(jìn)行路徑規(guī)劃，需要從點(diǎn)A(0,0)飛行到點(diǎn)B(5,5)。假設(shè)無(wú)人機(jī)只能沿網(wǎng)格線飛行（只能向上、向右或向右上方移動(dòng)），且每一步移動(dòng)的距離為1單位。(1)寫(xiě)出用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解最短路徑長(zhǎng)度的遞推關(guān)系式和邊界條件；(2)求從A到B的最短路徑長(zhǎng)度，并描述該路徑。(3)若從A到B的飛行成本與路徑上的縱坐標(biāo)增量成正比，即成本為c*∑|Δy?|(c為正系數(shù)，Δy?為第i步縱坐標(biāo)的變化量)，求成本最低的路徑及其成本。試卷答案一、?f(r)=(2x/x2+y2+z2,2y/x2+y2+z2,2z/x2+y2+z2)，?f(1,1,1)=(1/3,1/3,1/3)。|?f(r)|=√((2x/(x2+y2+z2))2+(2y/(x2+y2+z2))2+(2z/(x2+y2+z2))2)=2√(x2+y2+z2)/(x2+y2+z2)=2/√(x2+y2+z2)。二、(1)原方程可化為y'+(1/x)y=ln(x)/x，通解為y=e^(-∫(1/x)dx)*[∫(ln(x)/x*e^(∫(1/x)dx))dx+C]=(1/x)*[∫ln(x)dx+C]=(1/x)*(xln(x)-x+C)=ln(x)-1+C/x。(2)由y(1)=0，得C=1，特解為y=ln(x)-1+1/x。三、(1)G(s)=L{e^(-t)sin(t)}=e^(-s)*L{sin(t)}=e^(-s)*(s/(s2+1))。(2)對(duì)方程兩邊取拉普拉斯變換，得s2Y(s)-sy(0)-y'(0)+Y(s)=s/(s2+1)。代入初始條件y(0)=0,y'(0)=0，得(s2+1)Y(s)=s/(s2+1)，Y(s)=s/(s2+1)2。求逆變換，得y(t)=L?1{Y(s)}=L?1{s/(s2+1)2}=tcos(t)-sin(t)。四、(1)將特征向量單位化：β?=(1/√3,1/√3,1/√3)?,β?=(1/√2,0,-1/√2)?,β?=(1/√6,-2/√6,1/√6)?。正交矩陣P=[β?,β?,β?]=(√3/3,√3/3,√3/3;√2/2,0,-√2/2;√6/6,-2√6/6,√6/6)。矩陣A=P*Λ*P?=[√3/3,√3/3,√3/3;√2/2,0,-√2/2;√6/6,-2√6/6,√6/6]*[(1);(2);(3)]*[√3/3,√2/2,√6/6;√3/3,0,-2√6/6;√3/3,-√2/2,√6/6]=(1/3,1/3,1/3;1/3,2/3,-2/3;1/3,-2/3,2/3)。(2)P?AP=P??AP=Λ=[(1);(2);(3)]=[(1);(2);(3)]。五、(1)設(shè)dp(m,n)為從(0,0)到(m,n)的最短路徑長(zhǎng)度。遞推關(guān)系式：dp(m,n)=min{dp(m-1,n),dp(m,n-1),dp(m-1,n-1)}+1(m,n>0)。邊界條件：dp(0,0)=0；dp(i,0)=i(i>0)；dp(0,j)=j(j>0)。(2)從(0,0)到(5,5)的最短路徑長(zhǎng)度為dp(5,5)=min{dp(4,5),dp(5,4),dp(4,4)}+1=min{5+4,5+4,5+4}+1=9。最短路徑可以通過(guò)從(4,4)向右移動(dòng)到(5,4)，或向上移動(dòng)到(4,5)，或先向右后向上到達(dá)(5,5)。(3)設(shè)路徑為(x?,y?),(x?,y?),...,(x?,y?)，其中x?=0,y?=0,x?=5,y?=5，且|x?-x???|+|y?-y???|=1。成本c*∑|Δy?|=c*∑|y???-y?|。要使成本最低，需∑|Δy?|最小。由于起點(diǎn)和終點(diǎn)縱坐標(biāo)相同(0和5)，且只能上下移動(dòng)，因此必須上下移動(dòng)偶數(shù)次（從0到5需要上升5格，即奇數(shù)次移動(dòng)，故無(wú)法實(shí)現(xiàn)成本最低，即無(wú)法到達(dá)終點(diǎn)）?；蛘呖紤]網(wǎng)格路徑，若路徑包含水平段和垂直段，水平段Δy=0，垂直段Δy=±1。要使∑|Δy?|最小，應(yīng)盡可能減少垂直移動(dòng)。最