2025年高等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)無限可能試題一、函數(shù)、極限與連續(xù)選擇題（每題5分，共5題）設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{\sin(\pix)}{e^{2x}-1}$在$x=0$處連續(xù)，則$f(0)$的值為（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$\frac{1}{2}$D.$1$已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{1+a_n^2}$，則$\lim_{n\to\infty}a_n$等于（）A.$0$B.$1$C.$\sqrt{2}$D.不存在函數(shù)$f(x)=\frac{x^3-3x+2}{|x-1|}$的間斷點(diǎn)類型為（）A.$x=1$為可去間斷點(diǎn)B.$x=1$為跳躍間斷點(diǎn)C.$x=1$為無窮間斷點(diǎn)D.無間斷點(diǎn)當(dāng)$x\to0$時(shí)，下列無窮小量中與$x^2$等價(jià)的是（）A.$\tanx-\sinx$B.$e^{x^2}-1$C.$\sqrt{1+x^2}-1$D.$\ln(1+x)-x$設(shè)$f(x)$為定義在$\mathbb{R}$上的奇函數(shù)，且當(dāng)$x>0$時(shí)，$f(x)=x^2+e^x$，則$f(x)$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)（）A.等于$-1$B.等于$1$C.不存在D.等于$0$填空題（每題5分，共3題）$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{\sin^2x}-\frac{\cos^2x}{x^2}\right)=$_________曲線$y=(x-1)e^{\frac{\pi}{2}+\arctanx}$的漸近線方程為_________設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\int_0^x\sint^2dt}{x^3},&x\neq0\a,&x=0\end{cases}$在$x=0$處連續(xù)，則$a=$_________二、一元函數(shù)微分學(xué)解答題（共4題，共50分）9.（12分）設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上二階可導(dǎo)，且$f(0)=f(1)=0$，$\max_{0\leqx\leq1}f(x)=2$。證明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$f''(\xi)\leq-16$。10.（13分）已知曲線$C:y=x^3-3x^2+2x$，過點(diǎn)$P(2,2)$作曲線$C$的切線，求切線方程及切線與曲線$C$所圍成圖形的面積。11.（12分）設(shè)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本函數(shù)為$C(x)=2000+10x+0.01x^2$（元），需求函數(shù)為$x=500-5p$（其中$p$為單價(jià)，單位：元；$x$為產(chǎn)量，單位：件）。（1）求利潤(rùn)函數(shù)$L(x)$；（2）求最大利潤(rùn)及此時(shí)的產(chǎn)量和單價(jià)。12.（13分）設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)=0$。證明：存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)-2f(\xi)=0$。三、一元函數(shù)積分學(xué)計(jì)算題（每題10分，共3題）計(jì)算定積分$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^3x}{\sinx+\cosx}dx$求反常積分$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$的值設(shè)$f(x)$為連續(xù)函數(shù)，且滿足$f(x)=x^2+\int_0^1xf(t)dt$，求$f(x)$的表達(dá)式應(yīng)用題（15分）已知拋物線$y=x^2$與直線$y=mx(m>0)$交于$O(0,0)$和$A(m,m^2)$兩點(diǎn)，將此平面圖形繞$x$軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體。（1）求該旋轉(zhuǎn)體的體積$V(m)$；（2）當(dāng)$m$為何值時(shí)，$V(m)$取得最大值，并求出最大值。四、多元函數(shù)微積分學(xué)解答題（共3題，共40分）17.（13分）設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$由方程$x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z-10=0$確定，求$f(x,y)$的極值。18.（13分）計(jì)算二重積分$\iint_D(x^2+y^2)dxdy$，其中$D$是由曲線$x^2+y^2=2y$，$x^2+y^2=4y$及直線$x-\sqrt{3}y=0$，$y-\sqrt{3}x=0$所圍成的平面區(qū)域。19.（14分）設(shè)曲線積分$\int_L(x^4+4xy^k)dx+(6x^{k-1}y^2-5y^4)dy$與路徑無關(guān)，求：（1）常數(shù)$k$的值；（2）當(dāng)$L$為從點(diǎn)$A(0,0)$到點(diǎn)$B(1,2)$的任意路徑時(shí)，該曲線積分的值。五、無窮級(jí)數(shù)解答題（共2題，共25分）20.（12分）求冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n(2n-1)}x^{2n}$的收斂域及和函數(shù)。21.（13分）將函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+3x+2}$展開成$(x+4)$的冪級(jí)數(shù)，并指出收斂區(qū)間。六、常微分方程解答題（共2題，共25分）22.（12分）求微分方程$y''-3y'+2y=2e^x$的通解。23.（13分）設(shè)曲線$L$位于$xOy$平面的第一象限內(nèi)，$L$上任一點(diǎn)$M(x,y)$處的切線與$y$軸相交于點(diǎn)$A$，已知$|MA|=|OA|$，且$L$過點(diǎn)$\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$，求曲線$L$的方程。七、數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用（20分）某公司計(jì)劃設(shè)計(jì)一個(gè)容積為$V$的圓柱形儲(chǔ)油罐，已知頂部和底部的材料成本為$a$元/平方米，側(cè)面材料成本為$b$元/平方米。（1）建立總造價(jià)與底面半徑之間的函數(shù)關(guān)系；（2）求總造價(jià)最低時(shí)的底面半徑和高；（3）若$V=1000$立方米，$a=200$元/平方米，$b=100$元/平方米，計(jì)算最低總造價(jià)（精確到1元）。八、證明題（15分）設(shè)函數(shù)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，在$(0,1)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(0)=0$，$f(1)=1$。證明：（1）存在$\xi\in(0,1)$，使得$f(\xi)=1-\xi$；（2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)$\eta,\zeta\in(0,1)$，使得$f'(\eta)f'(\zeta)=1$。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、函數(shù)、極限與連續(xù)A2.B3.A4.B5.B$\frac{4}{3}$7.$y=e^\pi(x-2)$和$y=x-2$8.$\frac{1}{3}$二、一元函數(shù)微分學(xué)證明：由最值定理知存在$c\in(0,1)$使$f(c)=2$，在$[0,c]$和$[c,1]$上分別應(yīng)用泰勒公式$f(0)=f(c)-f'(c)c+\frac{f''(\xi_1)}{2}c^2=0$$f(1)=f(c)+f'(c)(1-c)+\frac{f''(\xi_2)}{2}(1-c)^2=0$兩式相加得$\frac{f''(\xi_1)}{2}c^2+\frac{f''(\xi_2)}{2}(1-c)^2=-2$取$\xi=\xi_1$或$\xi_2$使$f''(\xi)=\min{f''(\xi_1),f''(\xi_2)}$，則$f''(\xi)\leq\frac{-4}{c^2+(1-c)^2}\leq-16$（當(dāng)$c=\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)）切線方程：$y=2x-2$和$y=-x+4$，面積$S=\frac{9}{2}$（1）$L(x)=-0.03x^2+90x-2000$（2）當(dāng)$x=1500$件，$p=70$元時(shí)，最大利潤(rùn)$L=65500$元三、一元函數(shù)積分學(xué)$\frac{\pi-2}{4}$14.$\frac{\pi}{2}$15.$f(x)=x^2+\frac{2}{3}x$（1）$V(m)=\frac{\pim^5}{30}$（2）當(dāng)$m=2$時(shí)，$V_{\text{max}}=\frac{16\pi}{15}$四、多元函數(shù)微積分學(xué)極大值$f(1,-1)=6$，極小值$f(1,-1)=-2$$\frac{15\pi}{2}$19.（1）$k=3$（2）$-11$五至八題參考答案略本試題嚴(yán)格遵循2025年數(shù)學(xué)考試大綱要求，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，突出能力立意。在題型設(shè)計(jì)上，既保留了基礎(chǔ)題，如選擇題第1-5題、填空題第6-8題等考查基礎(chǔ)知識(shí)的題目，也設(shè)置了如證明題第25題、數(shù)學(xué)建模題第24題等考