2025年高等數(shù)學(xué)信息素養(yǎng)考查試題一、選擇題（每小題4分，共40分）設(shè)函數(shù)(f(x)=\begin{cases}\frac{\ln(1+ax)}{x},&x\neq0\2,&x=0\end{cases})在(x=0)處連續(xù)，則(a)的值為（）A.1B.2C.3D.4當(dāng)(x\to0)時，以下無窮小量中階數(shù)最高的是（）A.(1-\cos(\sqrt{x}))B.(x-\sinx)C.(e^{x^2}-1-x^2)D.(\sqrt{1+x^3}-1)設(shè)(z=f(x^2-y^2,e^{xy}))，其中(f)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy})等于（）A.(-4xyf_{11}''+(xe^{xy}-2y)f_{12}''+xye^{2xy}f_{22}''+ye^{xy}f_2')B.(-4xyf_{11}''+(xe^{xy}-2y)f_{12}''+xye^{2xy}f_{22}''+e^{xy}(1+xy)f_2')C.(2xf_1'+ye^{xy}f_2')D.(-2yf_1'+xe^{xy}f_2')反常積分(\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln(1+x)}{x(1+x)}dx)的值為（）A.(\frac{(\ln2)^2}{2})B.((\ln2)^2)C.(\frac{\ln2}{2})D.(\ln2)設(shè)級數(shù)(\suma_n)收斂，(\sumb_n)絕對收斂，則級數(shù)(\suma_nb_n)（）A.絕對收斂B.條件收斂C.可能發(fā)散D.收斂性不確定設(shè)(A)為3階實對稱矩陣，滿足(A^2=A)且(r(A)=2)，則(A)的特征值為（）A.1,1,0B.1,0,0C.2,1,0D.1,-1,0設(shè)(D)為(x^2+y^2\leq1)在第一象限的部分，(\iint_D\frac{x+y}{1+x^2+y^2}dxdy=)（）A.(\frac{\pi}{4}(\ln2))B.(\frac{\pi}{2}(\ln2))C.(\frac{\pi}{4}(1+\ln2))D.(\frac{\pi}{2}(1+\ln2))微分方程(y''-2y'+5y=e^x\sin2x)的特解形式為（）A.(e^x(A\cos2x+B\sin2x))B.(xe^x(A\cos2x+B\sin2x))C.(e^x(Ax\cos2x+Bx\sin2x))D.(x^2e^x(A\cos2x+B\sin2x))設(shè)向量組(\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(2,3,4),\alpha_3=(3,4,5))，則該向量組的秩為（）A.1B.2C.3D.0設(shè)(f(x))在([0,1])上連續(xù)，在((0,1))內(nèi)可導(dǎo)，(f(0)=0)，(f(1)=1)，則存在(\xi\in(0,1))使得（）A.(f'(\xi)=2\xi)B.(f'(\xi)=\frac{1}{\xi})C.(f'(\xi)=\frac{1}{1-\xi})D.(f'(\xi)=2f(\xi))二、填空題（每小題5分，共30分）曲線(y=x\ln(1+\frac{1}{x}))（(x>0)）的水平漸近線方程為__________。設(shè)(f(x))可導(dǎo)且(f(0)=0)，(f'(0)=2)，則(\lim_{x\to0}\frac{\int_0^xf(t)dt}{x-\sinx}=)__________。設(shè)(A=\begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\1&1&1\end{pmatrix})，則(A^{2025}=)__________。冪級數(shù)(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(x-1)^n}{n\cdot3^n})的收斂域為__________。設(shè)曲面(\Sigma:z=x^2+y^2)（(z\leq1)）取下側(cè)，則(\iint_{\Sigma}x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy=)__________。設(shè)(L)為從((0,0))到((2,\pi))的曲線(y=\frac{\pi}{2}x)，計算(\int_L(e^y+y\cosx)dx+(xe^y+\sinx)dy=)__________。三、解答題（共80分）（12分）設(shè)(f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2})，求：（1）(f(x))的麥克勞林展開式及收斂域；（2）(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n)的值。（12分）設(shè)(z=z(x,y))由方程(e^{xyz}+x+y+z=3)確定，且(z(1,1)=1)，求：（1）(\frac{\partialz}{\partialx})在((1,1))處的值；（2）(z(x,y))在((1,1))處的二階泰勒展開式（保留到二次項）。（14分）計算不定積分(\int\frac{x^2\arctanx}{1+x^2}dx)。（14分）求微分方程(y''+2y'+5y=e^{-x}\cos2x)的通解。（14分）設(shè)(A)為3階矩陣，(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)是線性無關(guān)的3維向量組，滿足(A\alpha_1=\alpha_1+\alpha_2)，(A\alpha_2=\alpha_2+\alpha_3)，(A\alpha_3=\alpha_3+\alpha_1)。（1）求(A)在基(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)下的矩陣(B)；（2）求(A)的特征值；（3）判斷(A)是否可相似對角化。（16分）已知函數(shù)(f(x))在([0,1])上連續(xù)，在((0,1))內(nèi)可導(dǎo)，且(f(0)=0)，(f(1)=1)。證明：（1）存在(c\in(0,1))使得(f(c)=1-c)；（2）對任意正整數(shù)(k)，存在(\xi\in(0,1))使得(f'(\xi)=k(1-\xi)^{k-1}[f(\xi)-(1-\xi)]+1)。四、綜合應(yīng)用題（共20分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為(x)和(y)（單位：百件），總成本函數(shù)為(C(x,y)=x^2+2y^2-xy+10)（單位：萬元），市場對兩種產(chǎn)品的需求函數(shù)分別為(x=30-2p_1)，(y=20-p_2)（其中(p_1,p_2)為單價，單位：萬元/百件）。（1）求利潤函數(shù)(L(x,y))；（2）求利潤最大化時的產(chǎn)量(x,y)及最大利潤；（3）若企業(yè)受資源限制，總產(chǎn)量(x+y=10)（百件），求此時的最大利潤及對應(yīng)的產(chǎn)量。（10分）設(shè)函數(shù)(u(x,y,z)=xyz+x^2+y^2+z^2)