專題7.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】...........................................................................................................................4

【題型2點（線）共面問題】...................................................................................................................................6

【題型3點共線、線共點問題】.............................................................................................................................10

【題型4等角定理】.................................................................................................................................................14

【題型5平面分空間問題】.....................................................................................................................................15

【題型6異面直線的判定】.....................................................................................................................................18

【題型7異面直線所成的角】.................................................................................................................................21

【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】.....................................................................................24

【題型9立體幾何中的截面問題】.........................................................................................................................25

1、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)

系是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考

(1)借助長方體，在直觀認(rèn)識空

情況來看，主要分兩方面進(jìn)行考查，一

間點、直線、平面的位置關(guān)系

2023年上海卷：第15題，5分是空間中點、線、面關(guān)系的命題的真假

的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直

2025年全國一卷：第17題，15判斷；二是異面直線的判定和異面直線

線、平面的位置關(guān)系的定義

分所成角問題；常以選擇題、填空題的形

(2)了解四個基本事實和一個

式考查，難度較易；也會以解答題的一

定理，并能應(yīng)用定理解決問題

小問考查點、線、面的位置關(guān)系，難度

中等.

知識點1平面的基本事實及推論

1．四個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論

(1)四個基本事實及其表示

①基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.

②基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

③基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

④基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(2)四個基本事實的作用

基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.

基本事實2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面.

基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.

基本事實4：①判斷兩條直線平行.

(3)基本事實1和2的三個推論

推論自然語言圖形語言符號語言

經(jīng)過一條直線和這條直線

點Aa?a與A共面于平

推論1外一點，有且只有一個平

面α,且平面唯一.

面.?

經(jīng)過兩條相交直線，有且只a∩b=P?a與b共面于平

推論2

有一個平面.面α,且平面唯一.

經(jīng)過兩條平行直線，有且只直線a//b?直線a,b共面

推論3

有一個平面.于平面α,且平面唯一.

2．等角定理

(1)自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).

(2)符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或

∠AOB+∠A'O'B'=.

知識點2共面、共線、共點問題的證明方法

1．共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

知識點3平面分空間問題

1．平面分空間問題

一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢?三個平面呢?

(1)兩個平面有兩種情形：

①當(dāng)兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當(dāng)兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).

(2)三個平面有五種情形：

①當(dāng)三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當(dāng)兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當(dāng)三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).

知識點4空間點、線、面之間的位置關(guān)系

1．空間中直線與直線的位置關(guān)系

(1)三種位置關(guān)系

我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：

(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.

2．空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點

直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點

直線與平面相交有且只有一個公共點

直線與平面平行沒有公共點

3．空間中平面與平面的位置關(guān)系

(1)兩種位置關(guān)系

兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下：

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點

兩個平面平行沒有公共點

兩個平面相交有一條公共直線

(2)平行平面的畫法技巧

畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.

4．異面直線所成的角

(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a'//a，b'//b，把a(bǔ)'與b'所成的角叫做

異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：.

【方法技巧與總結(jié)】

1．證明點共線與線共點都需用到基本事實3.

2．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于異面直線所成的

角，也可能等于其補(bǔ)角.

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】

【例1】（24-25高一下·陜西西安·期末）下列命題正確的是（）

A．任何一個平面圖形都是一個平面B．平面就是平行四邊形

C．圓心和圓上兩點可確定一個平面D．梯形可確定一個平面

【答案】D

【解題思路】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及各項描述判斷正誤即可.

【解答過程】由平面是無限延展的，而平面圖形有邊界，故A、B錯；

若圓心與圓上兩點共線，即在一條直徑上時，可確定無數(shù)個平面，C錯；

平面的基本性質(zhì)知，梯形可以確定一個平面，D對.

故選：D.

【變式1-1】（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）給出下面四個命題，其中錯誤的命題個數(shù)是（）

①三個不同的點確定一個平面；②一條直線和一個點確定一個平面；

③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；④兩條平行直線確定一個平面.

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】C

【解題思路】利用平面公理及推論即可判斷.

【解答過程】由三個不在同一直線不同的點確定一個平面，故①錯誤；

一條直線和直線外一個點確定一個平面，故②錯誤；

空間兩兩相交的三條不能交于同一點的直線確定一個平面，故③錯誤；

兩條平行直線確定一個平面，故④正確.

故選：C.

【變式1-2】（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命題正確的是（）

A．三個點可以確定一個平面B．一條直線和一個點可以確定一個平面

C．兩條直線可以確定一個平面D．長方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長方體

【答案】D

【解題思路】根據(jù)平面的基本性質(zhì)求解.

【解答過程】三個不共線的點可以確定一個平面，A錯誤；

一條直線和直線外一點可以確定一個平面，B錯誤；

兩條異面直線不能確定平面，C錯誤.

長方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長方體，D正確.

故選：D.

【變式1-3】（24-25高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）下列不是基本事實的是（）

A．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線

B．平行于同一條直線的兩條直線平行

C．如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)

D．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面

【答案】D

【解題思路】根據(jù)基本事實判斷即可.

【解答過程】對于A，“如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線”是

基本事實3，故A正確.

對于B，“平行于同一條直線的兩條直線平行”是基本事實4，故B正確；

對于C，“如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)”是基本事實2，故C正確；

對于D，經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面是基本事實1的推論，故D錯誤；

故選：D.

【題型2點（線）共面問題】

【例2】（24-25高二下·河南·階段練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，A，B，C，D分別為所在棱的中點，

則在這四個正方體中，A，B，C，D四點共面的是（）．

A．B．

C．D．

【答案】D

【解題思路】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷點是否共面，并應(yīng)用平面的性質(zhì)畫出截面即可判斷.

【解答過程】由正方體性質(zhì)，選項A，B，C中，A，B，C，D四點顯然不共面．

對于D選項，如下圖取E，F(xiàn)為正方體所在棱的中點，依次連接ADCEBF，

易知ADCEBF為平面正六邊形，所以A，B，C，D四點共面．

故選：D.

【變式2-1】（2025·吉林·模擬預(yù)測）在長方體中，直線與平面的交點為為

線段的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）??????1?1?1?1?1???1?1?,?

A?．1?1三點共線B．四點異不共面

C．?,?,?四點共面D．?,?,?1,?四點共面

【答案】?C,?1,?,??,?1,?,?

【解題思路】由長方體性質(zhì)易知四點共面且是異面直線,再根據(jù)與、面、面

111111

的位置關(guān)系知在面?,?與,?面,?的交線上??,,同??理判斷、,即可判斷?各選?項?的正誤??.??

【?解?1答?1過程】????1?1??1?1??

因為，

則??1//??四1點共面.

因為?,?1,?1,?，

則?平∈面?1?，

又?∈平面???1?，1

則點?∈在平?面?1?1與平面的交線上，

同理，?、也?在??平1?面1?與?1平?1面的交線上，

所以??三點共線；???1?1??1?1

從而?,?,?四點共面,都在平面內(nèi)，

而點B?不,?在,?平1,面?內(nèi)，???1?1

所以四?點??不1?共1面，故選項B正確；

?,?三,?點1,均?在平面內(nèi)，

?而,點?1,A?不,在平面??內(nèi)1?，1?

所以直線AO與平??面1?1?相交且點O是交點，

所以點M不在平面??1?1?內(nèi)，

??1?1?

即:四點不共面，

故選?,項?1,C?,錯?誤；

，且，

?所?以∥?1?1為平??行=四?1邊?1形，

所以???1?1共面，

所以??1,??1四點共面，

故選項?,?D1,正?,確?.

故選：C.

【變式2-2】（24-25高一下·河北邯鄲·期末）如圖，在空間四邊形各邊，，，上分別取點，

，，，若直線，相交于點，則下列結(jié)論錯誤的是（?）????????????

????????

A．點必在平面內(nèi)B．點必在平面內(nèi)

C．點?必在直線???上D．直?線與直線???為異面直線

【答案】D???????

【解題思路】利用基本事實2,3可得正確的選項.

【解答過程】

對于AB，

因為直線在平面內(nèi)，且，所以點必在平面內(nèi)，故A正確；

同理直線??在平面???內(nèi)，且?∈??，所以點?必在平面???內(nèi)，故B正確；

由A，B選??項得點?在?平?面?內(nèi)∈，?也?在平面?內(nèi)，???

對于CD，???????

由基本事實3得點在交線上，故C正確；直線與直線為相交直線，

???????

故D不正確，

故選：D.

【變式2-3】（24-25高三上·河北承德·期中）如圖，在下列正方體中，M，N為正方體的兩個頂點，P，Q分

別為所在棱的中點，則在這四個正方體中，M，N，P，Q四點共面的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解題思路】根據(jù)圖形及平行公理判斷即可.

【解答過程】對于A：顯然、、在正方體的上底面，且三點不共線，不在正方體的上底面，

所以、、、四點不共?面，?故?A錯誤；?

對于?B：???

如圖，，即、、、四點共面，即、、三點共面，且三點不共線，

又平?面?//??，所?以?、?、?、四點不共面?，故?B?錯誤；

對于??C：顯?然??、?、在?正?方體?的下?底面，且三點不共線，不在正方體的下底面，

所以、、?、?四點?不共面，故C錯誤；?

對于?D：???

如圖，連接，則，又，所以，

所以、、??、四??點/共/?面?，故?D?/正/?確?.??//??

故選：?D?.??

【題型3點共線、線共點問題】

【例3】（2025·湖南·二模）如圖，在三棱柱中，分別為的中點，

則下列說法錯誤的是（）?????1?1?1?,?,?,???1,??1,?1?1,?1?1

A．四點共面B．

C．?,?,?,?三線共點D．??//??

【答案】?D?,??,??1∠???1=∠???1

【解題思路】對于AB，利用線線平行的傳遞性與平面公理的推論即可判斷；對于C，利用平面公理判斷得，

的交點在，從而可判斷；對于D，舉反例即可判斷.??

【?解?答過程?】對?于?1AB，如圖，連接，，

????

因為是的中位線，所以，

??△?1?1?1??//?1?1

因為，且，所以四邊形是平行四邊形，

所以?1?//?1?，所以?1?=?1?，所以?1??四?點1共面，故AB正確；

對于?C?，//如?1圖?1，延長??，//??相交于點?,?，,?,??

因為，平?面???，所以?平面，

因為?∈??，???平面???1?1，所以?∈平面???1?1，

因為平?∈面?????平面???1?1，?∈???1?1

所以???，1?所1以∩???1?1三=線?共?1點，故C正確；

對于?D∈，?因?為1??,?，?,當(dāng)??1時，，

111111

又??=??，則??≠??tan，∠?故??D錯≠誤ta.n∠???

π

0<∠???1,∠???1<2∠???1≠∠???1

故選：D.

【變式3-1】（24-25高一下·河南開封·期末）如圖，在正方體中，為棱的靠近上

1111111

的三等分點.設(shè)與平面的交點為，則（）?????????????

????1?1??

A．三點共線，且

B．三點?1,?,?共線，且??=2??1

C．三點?1,?,?不共線，且??=3??1

D．三點?1,?,?不共線，且??=2??1

【答案】B?1,?,???=3??1

【解題思路】連接，利用公理2可直接證得，并且由三角形相似得比例關(guān)系，從而求出結(jié)果.

【解答過程】連接?連?接1??，1，

??1??1

直線平面平面.

∵又?∈平面??,???，平??面?1?1,∴?∈平面???1?1直線

∴∵三?點∈??共1?線1.????1?1∩??1?1?=??1,∴?∈??1

?1,?,?.

∵故△選?：??B.～△??1?,∴??:??1=??:??1=3:1,∴??=3??1

【變式3-2】（24-25高三·全國·課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、

G、H四點，若EF∩GH＝P，則點P（）

A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上

C．既在直線AC上也在直線BD上D．既不在直線AC上也不在直線BD上

【答案】B

【解題思路】由題意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，則P∈AC，可得答案．

【解答過程】如圖，

∵EF平面ABC，GH平面ACD，EF∩GH＝P，

∴P∈?平面ABC，P∈平?面ACD，

又平面ABC∩平面ACD＝AC，

∴P∈AC，即點P一定在直線AC上．

故選：B．

【變式3-3】（24-25高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，P，Q分別是棱，

??????1?1?1?1??1

的中點，平面平面，則下列結(jié)論錯誤的是（）

??1?1??∩????=?

A．過點B

B．?不一定過點B

C．?的延長線與的延長線的交點在上

D．?1?的延長線與??的延長線的交點在?上

【答案】B?1????

【解題思路】作出輔助線，得到，P，B，Q四點共面，即平面，又平面，所以；

作出輔助線，得到平面?1，平面，故，?∈同理D?正1?確??.?∈?????∈?

【解答過程】連接?，∈，?如1?圖??，?∈?????∈?

????

因為P，Q分別是棱，的中點，

由勾股定理得??1??1，

所以四邊形?1?=是?菱1形?，=??=??

所以，P，?1B?，?Q?四點共面，即平面.

又?平1面，所以，故?A∈結(jié)論正?確1?，??B結(jié)論錯誤.

如圖?∈，延長????與的延?長∈?線交于點F，延長與的延長線交于點E.

因為平?1面???，所以平面，?1???

因為?1??平面?1??，?所以?平∈面?1?，??所以，

????????∈?????∈?

同理，故C，D正確.

故選：?∈B.?

【題型4等角定理】

【例4】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）若，，且，則等于（）

′′′′′′′

A．B．??C//．??或??//??∠D?．??不=能4確5°定∠???

【答案】C45°135°45°135°

【解題思路】根據(jù)空間等角定理判斷即可.

【解答過程】因為，，且，

′′′′

所以?或?//????//?.?∠???=45°

′′′′′′

故選：∠?C?.?=45°∠???=135°

【變式4-1】（2025高一下·全國·專題練習(xí)）已知角的兩邊和角的兩邊分別平行，且，則（）

A．B．???=80°?=

C．80°或D．1不0能0°確定

【答案】8C0°100°

【解題思路】根據(jù)等角定理確定角與角的關(guān)系，即可得.

【解答過程】由等角定理可知角的?兩邊和?角的兩邊分別平?行，則兩角相等或互補(bǔ)，

故或，所以?或?.

故選?=：?C.?+?=180°?=100°?=80°

【變式4-2】（24-25高二·全國·課后作業(yè)）不在同一個平面內(nèi)的兩個三角形的三組對應(yīng)邊分別平行，則這兩

個三角形（）

A．一定是全等三角形B．一定是相似但不全等的三角形

C．一定是相似或全等的三角形D．可能不全等或相似

【答案】C

【解題思路】根據(jù)等角定理，即可判斷選項.

【解答過程】根據(jù)等角定理可知，這兩個三角形的三個角，分別對應(yīng)相等，所以這兩個三角形一定相似或全

等.

故選：C.

【變式4-3】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）給出下列命題：

①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；

②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；

③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．

其中正確的命題有（）

A．0個B．1個C．2個D．3個

【答案】B

【解題思路】對于①，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補(bǔ)，據(jù)此判斷；

對于②，根據(jù)等角定理判斷；對于③，空間兩條直線的垂直包括異面垂直，此時兩個角有可能不相等且不

互補(bǔ)，據(jù)此判斷.

【解答過程】對于①，這兩個角也可能互補(bǔ)，故①錯誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確；

對于③，如圖所示，

BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個角不一定相等，也不一定互補(bǔ)，

故③錯誤．所以正確的命題有1個．

故選：B.

【題型5平面分空間問題】

【例5】（2024·四川內(nèi)江·三模）三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則的最小值與最大值之和為

（）??

A．11B．12C．13D．14

【答案】B

【解題思路】求出三個不同平面分空間所成的部分?jǐn)?shù)即可得解.

【解答過程】按照三個平面中平行的個數(shù)來分類：

（1）三個平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成部分；

（2）兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面4相交，如圖2，可將空間分成部分；

6

（3）三個平面中沒有平行的平面：

（i）三個平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成部分；

（ii）三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，如圖4，可將空間7分成部分；

（iii）三個平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成部分，8

6

所以三個不平面將空間分成、、、部分，的最小值與最大值之和為12.

故選：B.4678?

【變式5-1】（24-25高二上·四川樂山·階段練習(xí)）三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解題思路】根據(jù)空間中平面位置關(guān)系逐項判斷即可.

【解答過程】對于A，三個平面將空間分成4個部分，不合題意；

對于B，三個平面將空間分成6個部分，不合題意；

對于C，三個平面將空間分成7個部分，符合題意；

對于D，三個平面將空間分成8個部分，不合題意.

故選：C.

【變式5-2】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則不可能是（）

A．B．C．D．??

【答案】B4567

【解題思路】作出圖形，可得出三個不互相重合的平面將空間所分成的部分?jǐn)?shù)，即可得出的值.

【解答過程】按照三個平面中平行的個數(shù)來分類：?

（1）三個平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成部分；

（2）兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面4相交，如圖2，可將空間分成部分；

6

（3）三個平面中沒有平行的平面：

（i）三個平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成部分；

（ii）三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，如圖4，可將空間7分成部分.

8

（iii）三個平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成部分；

6

綜上，可以為、、、部分，不能為部分，

46785

故選：B.

【變式5-3】（24-25高一下·廣東廣州·期末）空間的1個，2個，3個，4個平面最多可將空間分別分成2個，

4個，8個，15個區(qū)域，則空間的5個平面最多可將空間分成的區(qū)域個數(shù)是（）

A．25B．26C．28D．30

【答案】B

【解題思路】利用特殊到特殊，通過簡單情況的理解，逐步到復(fù)雜情況的分析，即可得解.

【解答過程】

先研究直線分一個平面：

1條直線分一個平面為2部分，2條直線分一個平面為4部分，

3條直線分一個平面為7部分，這個，

4條直線分一個平面為11部分，這個7=1+1+2+3，

5條直線分一個平面為16部分，這個11=1+1+2+3+4，

由于空間的1個，2個，3個平面最多可16將=空1間+分1+別2分+成32+個4，+45個，8個區(qū)域，

當(dāng)?shù)?平面與前面3個平面最多有3條交線，這3條交線把第4個平面分成7個區(qū)域，

所以4個平面最多可將空間分成個區(qū)域，

當(dāng)?shù)?平面與前面4個平面最多有8+47條=交1線5，這4條交線把第5個平面分成11個區(qū)域，

所以5個平面最多可將空間分成個區(qū)域，

故選：B.15+11=26

【題型6異面直線的判定】

【例6】（2025·上?！つM預(yù)測）如圖，是正四棱臺，則下列各組直線中屬于異面直線的

是（）??????1?1?1?1

A．和B．和C．和D．和．

【答案】D???1?1??1??1??1?1??1?1??

【解題思路】根據(jù)棱臺的性質(zhì)及直線與直線的位置關(guān)系即可判斷.

【解答過程】因為是正四棱臺，所以，故A錯誤，

側(cè)棱延長交于一點?，??所?以??1?與1?1?1相交，故B錯誤，??//?1?1//?1?1

同理與也相交，所?以?1??1四點共面，所以與相交，故C錯誤，

?與?1是??異1面直線，故D?正,?確1,.?1,???1?1?

?故1選?1：D?.?

【變式6-1】（2025·上?！つM預(yù)測）如圖所示，在正方體中，點為線段上的動點，

則下列直線中，始終與直線異面的是（）??????1?1?1?1??1?1

??

A．B．C．D．

【答案】B??1????1?1?

【解題思路】根據(jù)異面直線的定義一一判斷即可.

【解答過程】由正方體的性質(zhì)易知當(dāng)為的中點時，為的中點，

而，所以共面，?則?1?、1在平面??1?1上，故A不符題意；

因為??1//??1，即?,?,?1,?共1面，????1???1?1

易知??1平//面??1?，,?而,?1,?1平面，，，

故?與∈異面??，?1故?1B符合?題?意；???1?1?∈?1?1????

當(dāng)?、??重?合時，易知，

則四?邊?形1是平行??四//邊?形1?，1,則??此=時?1?1，故C不符合題意；

當(dāng)、重??合?時1?，1顯然，相交，故?D?1不//符??合題意.

故選?：?B1.?1???

【變式6-2】（24-25高一下·河北·期中）如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列

直線中，與直線是異面直線的是（）

??

A．B．C．D．

【答案】C????????

【解題思路】根據(jù)正方體展開圖得到直觀圖，即可判斷.

【解答過程】由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線是異面直線的是，

其中，所以與共面、與共面、與?共?面．??

故選：??C/./??//??//??????????????

【變式6-3】（24-25高二上·上海浦東新·期末）如圖所示，長方體中，

1111

，P是線段上的動點，則下列直線中?，?始??終?與?直?線?B?P異面的是（）

??=1,??=2,??1=3?1?1

A．B．C．D．

【答案】D??1?1??1???

【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特征及異面直線的意義，逐項判斷作答.

【解答過程】在長方體中，

??????1?1?1?1

，當(dāng)是與的交點時，平面，與相交，A不是；

?當(dāng)?點1//與??1重合?時，?1?1平?1面?1，?與??相交?，??B1不?1是；????1

當(dāng)點?與?1重合時，?因?為?長方體???1?1???1?的對角面是矩形，此時，C不是；

因為??1平面，??平??面??1?1，?1而?1平面?1??，?因1此與是異??面//直?線1?，D是.

故選：??D?.????????,?∈??????????????

【題型7異面直線所成的角】

【例7】（2025·云南紅河·三模）在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點，

，若四棱錐的外接?球?半??徑?為?2，則?與???所成角的正??弦⊥值為（????）???

??=??=2??????????

A．B．C．D．

1236

【答案】B2224

【解題思路】將四棱錐補(bǔ)成長方體，設(shè)，根據(jù)條件可求得，可得

與所成的角即為????或??其補(bǔ)角，在????中?，?利?1用?1余?1弦定理??求=解?.?=22

【?解?答?過?程】設(shè)∠，??如?圖所示，將四棱△錐???補(bǔ)成長方體，

則四棱錐??=的?外接球半徑等于長方體的?外?接?球??半?徑，???????1?1?1

??????

因為，，即，所以．

222

2+2+?

又??=，?所?以?=與??=所2成的角?即=為2或=其2補(bǔ)角，?=22

由題??意//以??及長方體?結(jié)?構(gòu)?特?征知和∠???均為直角三角形，

所以，△???，△???

1

??=??=2??=2??=22

所以．

222

??+?????4+8?42

cos∠???=2?????=2×2×22=2

可知與所成的角為，所以與所成的角的正弦值為．

π2

故選：??B．??4????2

【變式7-1】（24-25高三下·黑龍江·階段練習(xí)）在正四面體ABCD中，M，N分別是棱AB，CD的中點，則

直線AN與CM所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

1326

【答案】C3333

【解題思路】將正四面體ABCD中置于正方體中，分析易得，可得為直線AN與CM所成角（或

補(bǔ)角），進(jìn)而結(jié)合余弦定理求解即可.??∥??∠???

【解答過程】將正四面體ABCD中置于正方體中，如圖，

易得，，

所以四??邊//形????為=平?行?四邊形，則，

則異面直線?A?N?與?CM所成角即為直線??A∥?N?與NE所成角，

即為直線AN與CM所成角（或補(bǔ)角），

設(shè)正∠?方?體?的棱長為2，則，，

在中，由余弦定理?可?得=，??=2,??=2??=??=6，

222

??+?????6+6?42

△???cos∠???=2?????=26?6=3

因此直線AN與CM所成角的余弦值為.

2

3

故選：C.

【變式7-2】（（24-25高一下·廣東深圳·期末）在長方體中，，，

則直線與所成角的余弦值為（）??????1?1?1?1??=??=23??1=2

??1??

A．B．C．D．

3366

3434

【答案】D

【解題思路】作出輔助線，得到即為和所成角，并由勾股定理求出各邊長，利用余弦定理求

出夾角余弦值.∠??1?1??1??

【解答過程】連接，，因為，所以即為和所成角，

因為?1?，1??1，??//?1?1∠??1?1??1??

由勾股??定=理?得?=23??1=2，，

22

1111

因此??=??=12+4=4??=??=??+??=26

222.

?1?+?1?1??1?16+24?166

cos∠??1?1=2?1???1?1=2×4×26=4

故選：D．

【變式7-3】（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均相等，為棱的

中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）?????????

????

A．B．C．D．

6633

【答案】C3?33?3

【解題思路】根據(jù)線線平行可得異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），即可根據(jù)余弦定理求解.

【解答過程】連接，取的中點，連?接???，∠???

由題意知，??，?????,??

則異面直線??與//??所成角為（或其補(bǔ)角），

在中?，???∠???，

113

△?????=2??=1,??=2??=2,??=2??=3

則，

222

??+?????3+1?23

cos∠???=2×??×??=23=3

則異面直線與所成角的余弦值為，

3

故選：C．????3

【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】

【例8】（2025·天津·一模）已知m，n是兩條直線，是一個平面，下列命題正確的是（）

A．若，，則B．若?，，則

C．若?//?，?//?，則?//?D．若?⊥?，?⊥?，則?//?

【答案】C?⊥?????⊥??//??⊥??⊥?

【解題思路】根據(jù)空間中線、面關(guān)系的判定和性質(zhì)逐一判斷即可.

【解答過程】對A：平行于同一個平面的兩條直線的位置關(guān)系不確定，故A錯誤；

對B：若，，則或，故B錯誤；

對C：根據(jù)?線⊥面?垂?直⊥的?定義可?/知/?，C?正?確?；

對D：若，，則直線與平面的位置關(guān)系不確定，故D錯誤.

故選：C.?//??⊥???

【變式8-1】（2025·云南·模擬預(yù)測）設(shè)是兩條不同的直線，為平面，則下列說法正確的是（）

A．若，則?,??

B．若?⊥?,?∥?，則?⊥?

C．若?∥?,?∥?，則?∥?

D．若?⊥?,?∥?，則?⊥?

【答案】C?∥?,?∥??∥?

【解題思路】對于A，利用直線與平面的位置關(guān)系判斷；對于B，利用直線與平面的位置關(guān)系判斷；對于C，

利用線面垂直的性質(zhì)定理判斷；對于D，利用直線與直線的位置關(guān)系判斷.

【解答過程】對于A，若，則或或與相交，故A錯誤；

對于B，若?，⊥則?,?∥?或?，∥?故B?錯?誤?；??

對于C，若?∥?,?∥?，則?∥?，故?C?正?確；

?⊥?,?∥??⊥?

對于D，若，則或與相交或與異面，故D錯誤.

故選：C.