專題7.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（舉一反三講義）【全國(guó)通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】 4【題型2點(diǎn)（線）共面問(wèn)題】 6【題型3點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題】 10【題型4等角定理】 14【題型5平面分空間問(wèn)題】 15【題型6異面直線的判定】 18【題型7異面直線所成的角】 21【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】 24【題型9立體幾何中的截面問(wèn)題】 251、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義(2)了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題2023年上海卷：第15題，5分2025年全國(guó)一卷：第17題，15分空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，主要分兩方面進(jìn)行考查，一是空間中點(diǎn)、線、面關(guān)系的命題的真假判斷；二是異面直線的判定和異面直線所成角問(wèn)題；常以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；也會(huì)以解答題的一小問(wèn)考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，難度中等.知識(shí)點(diǎn)1平面的基本事實(shí)及推論1．四個(gè)基本事實(shí)及基于基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論(1)四個(gè)基本事實(shí)及其表示①基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.②基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).③基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.④基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(2)四個(gè)基本事實(shí)的作用

基本事實(shí)1：①確定一個(gè)平面；②判斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面.

基本事實(shí)2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面.

基本事實(shí)3：①判斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線；③證明線共點(diǎn).基本事實(shí)4：①判斷兩條直線平行.(3)基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論推論自然語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.點(diǎn)A?a?a與A共面于平面α,且平面唯一.推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.a∩b=P?a與b共面于平面α,且平面唯一.推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.直線a//b?直線a,b共面于平面α,且平面唯一.2．等角定理(1)自然語(yǔ)言：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

(2)符號(hào)語(yǔ)言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.知識(shí)點(diǎn)2共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明方法1．共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)3平面分空間問(wèn)題1．平面分空間問(wèn)題一個(gè)平面將空間分成兩部分，那么兩個(gè)平面呢?三個(gè)平面呢?

(1)兩個(gè)平面有兩種情形：

①當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，將空間分成四部分，如圖(2).(2)三個(gè)平面有五種情形：

①當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當(dāng)三個(gè)平面相交于同一條直線時(shí)，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點(diǎn)時(shí)，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時(shí)，將空間分成七部分，如圖(5).知識(shí)點(diǎn)4空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1．空間中直線與直線的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系

我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖所示.2．空間中直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線與平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)3．空間中平面與平面的位置關(guān)系(1)兩種位置關(guān)系兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下：位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩個(gè)平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)兩個(gè)平面相交有一條公共直線(2)平行平面的畫法技巧

畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行.4．異面直線所成的角(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線a'//a，b'//b，把a(bǔ)'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：.【方法技巧與總結(jié)】1．證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.2．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】【例1】（24-25高一下·陜西西安·期末）下列命題正確的是（

）A．任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面 B．平面就是平行四邊形C．圓心和圓上兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面 D．梯形可確定一個(gè)平面【答案】D【解題思路】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及各項(xiàng)描述判斷正誤即可.【解答過(guò)程】由平面是無(wú)限延展的，而平面圖形有邊界，故A、B錯(cuò)；若圓心與圓上兩點(diǎn)共線，即在一條直徑上時(shí)，可確定無(wú)數(shù)個(gè)平面，C錯(cuò)；平面的基本性質(zhì)知，梯形可以確定一個(gè)平面，D對(duì).故選：D.【變式1-1】（24-25高二上·上海·階段練習(xí)）給出下面四個(gè)命題，其中錯(cuò)誤的命題個(gè)數(shù)是（

）①三個(gè)不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面；

②一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；③空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；

④兩條平行直線確定一個(gè)平面.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解題思路】利用平面公理及推論即可判斷.【解答過(guò)程】由三個(gè)不在同一直線不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，故②錯(cuò)誤；空間兩兩相交的三條不能交于同一點(diǎn)的直線確定一個(gè)平面，故③錯(cuò)誤；兩條平行直線確定一個(gè)平面，故④正確.故選：C.【變式1-2】（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命題正確的是（）A．三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C．兩條直線可以確定一個(gè)平面 D．長(zhǎng)方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長(zhǎng)方體【答案】D【解題思路】根據(jù)平面的基本性質(zhì)求解.【解答過(guò)程】三個(gè)不共線的點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，A錯(cuò)誤；一條直線和直線外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，B錯(cuò)誤；兩條異面直線不能確定平面，C錯(cuò)誤.長(zhǎng)方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長(zhǎng)方體，D正確.故選：D.【變式1-3】（24-25高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）下列不是基本事實(shí)的是（

）A．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線B．平行于同一條直線的兩條直線平行C．如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)D．經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面【答案】D【解題思路】根據(jù)基本事實(shí)判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，“如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線”是基本事實(shí)3，故A正確.對(duì)于B，“平行于同一條直線的兩條直線平行”是基本事實(shí)4，故B正確；對(duì)于C，“如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)”是基本事實(shí)2，故C正確；對(duì)于D，經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面是基本事實(shí)1的推論，故D錯(cuò)誤；故選：D.【題型2點(diǎn)（線）共面問(wèn)題】【例2】（24-25高二下·河南·階段練習(xí)）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B，C，D分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，A，B，C，D四點(diǎn)共面的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解題思路】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷點(diǎn)是否共面，并應(yīng)用平面的性質(zhì)畫出截面即可判斷.【解答過(guò)程】由正方體性質(zhì)，選項(xiàng)A，B，C中，A，B，C，D四點(diǎn)顯然不共面．對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖取E，F(xiàn)為正方體所在棱的中點(diǎn)，依次連接ADCEBF，易知ADCEBF為平面正六邊形，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面．故選：D.【變式2-1】（2025·吉林·模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1A．A,M,O三點(diǎn)共線 B．M,O,AC．B,B1,O,M四點(diǎn)共面 【答案】C【解題思路】由長(zhǎng)方體性質(zhì)易知A,A1,C1,C四點(diǎn)共面且OM,BB1是異面直線,再根據(jù)M與A1C、面ACC【解答過(guò)程】因?yàn)锳A則A,A因?yàn)镸∈A1則M∈平面ACC1又M∈平面AB1則點(diǎn)M在平面ACC1A1同理，O、A也在平面ACC1A1所以A,M,O三點(diǎn)共線；從而M,O,A1,A而點(diǎn)B不在平面ACC所以M,O,AB,B1,O,三點(diǎn)均在平面而點(diǎn)A不在平面BB所以直線AO與平面BB1D所以點(diǎn)M不在平面BB即B,B1故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；BC∥D1A所以BCD所以CA所以B,D故選項(xiàng)D正確.故選：C.【變式2-2】（24-25高一下·河北邯鄲·期末）如圖，在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，若直線EH，GF相交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)P必在平面ABD內(nèi) B．點(diǎn)P必在平面CBD內(nèi)C．點(diǎn)P必在直線BD上 D．直線FG與直線BD為異面直線【答案】D【解題思路】利用基本事實(shí)2,3可得正確的選項(xiàng).【解答過(guò)程】對(duì)于AB，因?yàn)橹本€EH在平面ABD內(nèi)，且P∈EH，所以點(diǎn)P必在平面ABD內(nèi)，故A正確；同理直線FG在平面CBD內(nèi)，且P∈FG，所以點(diǎn)P必在平面CBD內(nèi)，故B正確；由A，B選項(xiàng)得點(diǎn)P在平面ABD內(nèi)，也在平面CBD內(nèi)，對(duì)于CD，由基本事實(shí)3得點(diǎn)P在交線BD上，故C正確；直線FG與直線BD為相交直線，故D不正確，故選：D.【變式2-3】（24-25高三上·河北承德·期中）如圖，在下列正方體中，M，N為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，P，Q分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，M，N，P，Q四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解題思路】根據(jù)圖形及平行公理判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A：顯然P、Q、N在正方體的上底面，且三點(diǎn)不共線，M不在正方體的上底面，所以P、Q、N、M四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：如圖，MN//BA，即A、B、M、N四點(diǎn)共面，即Q、M、又P?平面ABMN，所以P、Q、N、M四點(diǎn)不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：顯然P、M、N在正方體的下底面，且三點(diǎn)不共線，Q不在正方體的下底面，所以P、Q、N、M四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：如圖，連接AC，則PQ//AC，又AC//所以P、Q、N、M四點(diǎn)共面，故D正確.故選：D.【題型3點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問(wèn)題】【例3】（2025·湖南·二模）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A．E,F,G,H四點(diǎn)共面 B．EF//GHC．EG,FH,AA1三線共點(diǎn) 【答案】D【解題思路】對(duì)于AB，利用線線平行的傳遞性與平面公理的推論即可判斷；對(duì)于C，利用平面公理判斷得EG，F(xiàn)H的交點(diǎn)P在AA【解答過(guò)程】對(duì)于AB，如圖，連接EF，GH，因?yàn)镚H是△A1B因?yàn)锽1E//C1所以EF//B1C1，所以EF對(duì)于C，如圖，延長(zhǎng)EG，F(xiàn)H相交于點(diǎn)P，因?yàn)镻∈EG，EG?平面ABB1A1，所以因?yàn)镻∈FH，F(xiàn)H?平面ACC1A1，所以因?yàn)槠矫鍭BB1A所以P∈AA1，所以對(duì)于D，因?yàn)镋B1=FC1又0<∠EGB1,∠FH故選：D.【變式3-1】（24-25高一下·河南開封·期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱D1C1

A．三點(diǎn)D1,O,BB．三點(diǎn)D1,O,BC．三點(diǎn)D1,O,BD．三點(diǎn)D1,O,B【答案】B【解題思路】連接AD1，BC1【解答過(guò)程】連接連接AD1，

∵O∈直線AE,AE?平面ABC1D又∵O∈平面BB1D1D，平面∴三點(diǎn)D1∵△ABO～△ED故選：B.【變式3-2】（24-25高三·全國(guó)·課后作業(yè)）在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，若EF∩GH＝P，則點(diǎn)P（

）A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上【答案】B【解題思路】由題意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，則P∈AC，可得答案．【解答過(guò)程】如圖，∵EF?平面ABC，GH?平面ACD，EF∩GH＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，即點(diǎn)P一定在直線AC上．故選：B．【變式3-3】（24-25高一下·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P，Q分別是棱AAA．l過(guò)點(diǎn)BB．l不一定過(guò)點(diǎn)BC．D1P的延長(zhǎng)線與DA的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在D．D1Q的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)在【答案】B【解題思路】作出輔助線，得到D1，P，B，Q四點(diǎn)共面，即B∈平面D1PBQ，又B∈平面ABCD，所以B∈l；作出輔助線，得到F∈平面D1PBQ，F(xiàn)∈【解答過(guò)程】連接PB，QB，如圖，因?yàn)镻，Q分別是棱AA1，由勾股定理得D1所以四邊形D1所以D1，P，B，Q四點(diǎn)共面，即B∈平面D又B∈平面ABCD，所以B∈l，故A結(jié)論正確，B結(jié)論錯(cuò)誤.如圖，延長(zhǎng)D1P與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)D1Q與因?yàn)镈1F?平面D1PBQ，所以因?yàn)镈F?平面ABCD，所以F∈平面ABCD，所以F∈l，同理E∈l，故C，D正確.故選：B.【題型4等角定理】【例4】（24-25高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）若AB//A′B′，BC//BA．45° B．135° C．45°或135° D．不能確定【答案】C【解題思路】根據(jù)空間等角定理判斷即可.【解答過(guò)程】因?yàn)锳B//A′B′所以∠A′B′C′=故選：C.【變式4-1】（2025高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角α的兩邊和角β的兩邊分別平行，且α=80°，則β=（）A．80° B．100°C．80°或100° D．不能確定【答案】C【解題思路】根據(jù)等角定理確定角α與角β的關(guān)系，即可得β.【解答過(guò)程】由等角定理可知角α的兩邊和角β的兩邊分別平行，則兩角相等或互補(bǔ)，故α=β或α+β=180°，所以β=100°或β=80°.故選：C.【變式4-2】（24-25高二·全國(guó)·課后作業(yè)）不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊分別平行，則這兩個(gè)三角形（

）A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似【答案】C【解題思路】根據(jù)等角定理，即可判斷選項(xiàng).【解答過(guò)程】根據(jù)等角定理可知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角，分別對(duì)應(yīng)相等，所以這兩個(gè)三角形一定相似或全等.故選：C.【變式4-3】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列命題：①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．其中正確的命題有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解題思路】對(duì)于①，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，據(jù)此判斷；對(duì)于②，根據(jù)等角定理判斷；對(duì)于③，空間兩條直線的垂直包括異面垂直，此時(shí)兩個(gè)角有可能不相等且不互補(bǔ)，據(jù)此判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于①，這兩個(gè)角也可能互補(bǔ)，故①錯(cuò)誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確；對(duì)于③，如圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個(gè)角不一定相等，也不一定互補(bǔ)，故③錯(cuò)誤．所以正確的命題有1個(gè)．故選：B.【題型5平面分空間問(wèn)題】【例5】（2024·四川內(nèi)江·三模）三個(gè)不互相重合的平面將空間分成n個(gè)部分，則n的最小值與最大值之和為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解題思路】求出三個(gè)不同平面分空間所成的部分?jǐn)?shù)即可得解.【解答過(guò)程】按照三個(gè)平面中平行的個(gè)數(shù)來(lái)分類：（1）三個(gè)平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成4部分；（2）兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面相交，如圖2，可將空間分成6部分；

（3）三個(gè)平面中沒(méi)有平行的平面：（i）三個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成7部分；（ii）三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，如圖4，可將空間分成8部分；（iii）三個(gè)平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成6部分，

所以三個(gè)不平面將空間分成4、6、7、8部分，n的最小值與最大值之和為12.故選：B.【變式5-1】（24-25高二上·四川樂(lè)山·階段練習(xí)）三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分的示意圖是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解題思路】根據(jù)空間中平面位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，三個(gè)平面將空間分成4個(gè)部分，不合題意；對(duì)于B，三個(gè)平面將空間分成6個(gè)部分，不合題意；對(duì)于C，三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分，符合題意；對(duì)于D，三個(gè)平面將空間分成8個(gè)部分，不合題意.故選：C.【變式5-2】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）三個(gè)不互相重合的平面將空間分成n個(gè)部分，則n不可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解題思路】作出圖形，可得出三個(gè)不互相重合的平面將空間所分成的部分?jǐn)?shù)，即可得出n的值.【解答過(guò)程】按照三個(gè)平面中平行的個(gè)數(shù)來(lái)分類：（1）三個(gè)平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成4部分；（2）兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面相交，如圖2，可將空間分成6部分；

（3）三個(gè)平面中沒(méi)有平行的平面：（i）三個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成7部分；（ii）三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，如圖4，可將空間分成8部分.

（iii）三個(gè)平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成6部分；

綜上，可以為4、6、7、8部分，不能為5部分，故選：B.【變式5-3】（24-25高一下·廣東廣州·期末）空間的1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)平面最多可將空間分別分成2個(gè)，4個(gè)，8個(gè)，15個(gè)區(qū)域，則空間的5個(gè)平面最多可將空間分成的區(qū)域個(gè)數(shù)是（

）A．25 B．26 C．28 D．30【答案】B【解題思路】利用特殊到特殊，通過(guò)簡(jiǎn)單情況的理解，逐步到復(fù)雜情況的分析，即可得解.【解答過(guò)程】

先研究直線分一個(gè)平面：1條直線分一個(gè)平面為2部分，2條直線分一個(gè)平面為4部分，3條直線分一個(gè)平面為7部分，這個(gè)7=1+1+2+3，4條直線分一個(gè)平面為11部分，這個(gè)11=1+1+2+3+4，5條直線分一個(gè)平面為16部分，這個(gè)16=1+1+2+3+4+5，由于空間的1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)平面最多可將空間分別分成2個(gè)，4個(gè)，8個(gè)區(qū)域，當(dāng)?shù)?平面與前面3個(gè)平面最多有3條交線，這3條交線把第4個(gè)平面分成7個(gè)區(qū)域，所以4個(gè)平面最多可將空間分成8+7=15個(gè)區(qū)域，當(dāng)?shù)?平面與前面4個(gè)平面最多有4條交線，這4條交線把第5個(gè)平面分成11個(gè)區(qū)域，所以5個(gè)平面最多可將空間分成15+11=26個(gè)區(qū)域，故選：B.【題型6異面直線的判定】【例6】（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖，ABCD?A1B

A．AB和C1D1 B．AA1和CC1 C．BD【答案】D【解題思路】根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)及直線與直線的位置關(guān)系即可判斷.【解答過(guò)程】因?yàn)锳BCD?A1B側(cè)棱延長(zhǎng)交于一點(diǎn)，所以AA1與同理BB1與DD1也相交，所以B,BA1D1故選：D.【變式6-1】（2025·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1DA．DD1 B．AC C．AD【答案】B【解題思路】根據(jù)異面直線的定義一一判斷即可.【解答過(guò)程】由正方體的性質(zhì)易知當(dāng)P為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，P而DD1//BB1，所以B,D,D因?yàn)锳A1//易知P∈平面ACC1A1，而B?平面ACC故BP與AC異面，故B符合題意；當(dāng)P、C1重合時(shí)，易知AB則四邊形ABC1D當(dāng)P、C1重合時(shí)，顯然B1C故選：B.【變式6-2】（24-25高一下·河北·期中）如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線AD是異面直線的是（

）

A．FG B．EH C．EF D．BC【答案】C【解題思路】根據(jù)正方體展開圖得到直觀圖，即可判斷.【解答過(guò)程】由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線AD是異面直線的是EF，其中AD//BC//EH//FG，所以AD與BC共面、AD與故選：C.

【變式6-3】（24-25高二上·上海浦東新·期末）如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=1,AD=2,AA1=3A．DD1 B．B1C C．【答案】D【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征及異面直線的意義，逐項(xiàng)判斷作答.【解答過(guò)程】在長(zhǎng)方體ABCD?ABB1//DD1，當(dāng)P是A1C1與B1當(dāng)點(diǎn)P與C1重合時(shí)，BP?平面BCC1B1當(dāng)點(diǎn)P與A1重合時(shí)，因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD?A1B1因?yàn)锳C?平面ABCD，B?AC,B∈平面ABCD，而P?平面ABCD，因此BP與AC是異面直線，D是.故選：D.【題型7異面直線所成的角】【例7】（2025·云南紅河·三模）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PC的中點(diǎn)，AB=PA=2，若四棱錐P?ABCD的外接球半徑為2，則AE與BC所成角的正弦值為（

）A．12 B．22 C．32【答案】B【解題思路】將四棱錐P?ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCD?PB1C1D1，設(shè)AD=m，根據(jù)條件可求得m=22，可得AE【解答過(guò)程】設(shè)AD=m，如圖所示，將四棱錐P?ABCD補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCD?PB則四棱錐P?ABCD的外接球半徑等于長(zhǎng)方體的外接球半徑，因?yàn)锳D=m，AB=PA=2，即R=22+又BC//AD，所以AE與BC所成的角即為∠EAD或其補(bǔ)角，由題意以及長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)特征知△PAC和△PDC均為直角三角形，所以AE=ED=12PC=2所以cos∠EAD=可知AE與BC所成的角為π4，所以AE與BC所成的角的正弦值為2故選：B．【變式7-1】（24-25高三下·黑龍江·階段練習(xí)）在正四面體ABCD中，M，N分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，則直線AN與CM所成角的余弦值為（

）A．13 B．33 C．23【答案】C【解題思路】將正四面體ABCD中置于正方體中，分析易得NE∥CM，可得∠ANE為直線AN與【解答過(guò)程】將正四面體ABCD中置于正方體中，如圖，易得CN//ME，所以四邊形CNEM為平行四邊形，則NE∥則異面直線AN與CM所成角即為直線AN與NE所成角，即∠ANE為直線AN與CM所成角（或補(bǔ)角），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則AE=DE=2,DN=2，AN=NE=在△ANE中，由余弦定理可得，cos∠ANE=因此直線AN與CM所成角的余弦值為23故選：C.【變式7-2】（（24-25高一下·廣東深圳·期末）在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=23A．33 B．34 C．63【答案】D【解題思路】作出輔助線，得到∠AD1B1即為【解答過(guò)程】連接B1D1，AB1，因?yàn)锽D//B1因?yàn)锳B=AD=23，A由勾股定理得AB1=A因此cos∠A故選：D．【變式7-3】（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知正四棱錐P?ABCD的所有棱長(zhǎng)均相等，E為棱PA的中點(diǎn)，則異面直線BE與PC所成角的余弦值為（

）A．63 B．?63 C．3【答案】C【解題思路】根據(jù)線線平行可得異面直線BE與PC所成角為∠BEO（或其補(bǔ)角），即可根據(jù)余弦定理求解.【解答過(guò)程】連接AC，取AC的中點(diǎn)O，連接BO,EO，由題意知，EO//PC，則異面直線BE與PC所成角為∠BEO（或其補(bǔ)角），在△BOE中，EO=1則cos∠BEO=則異面直線BE與PC所成角的余弦值為33故選：C．【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】【例8】（2025·天津·一模）已知m，n是兩條直線，α是一個(gè)平面，下列命題正確的是（

）A．若m//α，n//α，則m//n B．若m⊥α，m⊥n，則n//αC．若m⊥α，n?α，則m⊥n D．若m//α，m⊥n，則n⊥α【答案】C【解題思路】根據(jù)空間中線、面關(guān)系的判定和性質(zhì)逐一判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)A：平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系不確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若m⊥α，m⊥n，則n//α或n?α，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：根據(jù)線面垂直的定義可知，C正確；對(duì)D：若m//α，m⊥n，則直線n與平面α的位置關(guān)系不確定，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式8-1】（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)m,n是兩條不同的直線，α為平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若m⊥n,n∥α，則m⊥αB．若m∥n,n∥α，則m∥αC．若m⊥α,n∥α，則m⊥nD．若m∥α,n∥α，則m∥n【答案】C【解題思路】對(duì)于A，利用直線與平面的位置關(guān)系判斷；對(duì)于B，利用直線與平面的位置關(guān)系判斷；對(duì)于C，利用線面垂直的性質(zhì)定理判斷；對(duì)于D，利用直線與直線的位置關(guān)系判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A，若m⊥n,n∥α，則m∥α或m?α或m與α相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m∥n,n∥α，則m∥α或m?α，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m⊥α,n∥α，則m⊥n，故C正確；對(duì)于D，若m∥α,n∥α，則m∥n或m與n相交或m與n異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式8-2】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知α,β是兩個(gè)不重合的平面，m,n是兩條不同的直線，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．若m//n,n?α，則m//α B．若m//α,m//β,α∩β=n，則m//nC．若m⊥α,m⊥β，則α//β D．若α⊥β,m⊥α,n⊥β，則m⊥n【答案】A【解題思路】由線面的平行及垂直進(jìn)行判斷．【解答過(guò)程】對(duì)于A項(xiàng)，若m//n,n?α，則m//α或m?α．對(duì)于B，C，D項(xiàng)，顯然成立，故選:A.【變式8-3】（2025·天津·一模）已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若m//n，m//α，則n//α B．若m//n，α//β，m⊥α，則n⊥βC．若α⊥γ，β⊥γ，則α//β D．若α//β，m?α，n?β，則m//n【答案】B【解題思路】根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【解答過(guò)程】A.若m//n，m//α，則n//α或n?α，故A錯(cuò)誤；B.若m//n，α//β，m⊥α，則n⊥β，故B正確；C.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β或α與β相交，故C錯(cuò)誤；D.若α//β，m?α，n?β，則m//n或異面，故D錯(cuò)誤.故選：B.【題型9立體幾何中的截面問(wèn)題】【例9】（2025·陜西銅川·三模）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E,F,G分別為A．62 B．63 C．122【答案】D【解題思路】借助正方體截面的性質(zhì)可得該截面是邊長(zhǎng)為22【解答過(guò)程】如圖，過(guò)點(diǎn)G作EF的平行線交BB1于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)J作FG的平行線交A1過(guò)點(diǎn)I作EF的平行線交A1D1于點(diǎn)H，易知點(diǎn)J,I,H且都是其所在棱的中點(diǎn)，從而所得截面是邊長(zhǎng)為22所求面積S=6×1故選：D.【變式9-1】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)

A．32+25 B．9 C．2【答案】A【解題思路】作出正方體的截面圖形，求出周長(zhǎng)即可.【解答過(guò)程】

如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，A1G，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以GE//AC，又AA1//所以四邊形ACC所以AC//A1所以A1C1所以用過(guò)點(diǎn)A1，E，C1的平面截正方體，所得截面為梯形其周長(zhǎng)為22故選：A．【變式9-2】（2025·上海黃浦·二模）如圖，已知P,Q,R分別是正方體ABCD?A1B1C1DA．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【解題思路】根據(jù)題意，取A1D1的中點(diǎn)T，AA1的中點(diǎn)M，CC1【解答過(guò)程】解：如圖，取A1D1AA1的中點(diǎn)M，CC1的中點(diǎn)由正方體的性質(zhì)可知A1由中位線性質(zhì)可知PQ//AC,RT//A所以，PQ//MS//RT，所以，由點(diǎn)P,Q,R確定的平面β即為截面故選：D．【變式9-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2,A1A=3,P

A．3 B．732 C．156【答案】B【解題思路】根據(jù)正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離，進(jìn)而可得截面與截面面積.【解答過(guò)程】如圖，把正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離，（1），（2）

，（3）

（1）AP=26，（2）AP=25，（3）所以質(zhì)點(diǎn)從A到P的最短距離為32此時(shí)質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)DD1上靠近D1的三等分點(diǎn)S面ASP截正四棱柱所得截面為五邊形ASPQR，如圖，由AS=AR=RS=22，SP=PQ=QR=所以沿質(zhì)點(diǎn)A的最短運(yùn)動(dòng)路線截正四棱柱，

則所得截面的面積為：S△ARS故選：B.一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）在空間中，下列命題是真命題的是（

）A．三條直線最多可確定1個(gè)平面 B．三條直線最多可確定2個(gè)平面C．三條直線最多可確定3個(gè)平面 D．三條直線最多可確定4個(gè)平面【答案】C【解題思路】根據(jù)平面的性質(zhì)判斷即可.【解答過(guò)程】在空間中，三條直線最多可確定3個(gè)平面，例如：三棱錐S?ABC中的三個(gè)側(cè)面.故選：C.2．（2025·安徽合肥·二模）若空間中三條不同的直線a，b，c滿足a⊥c，b⊥c，則a//b是a，b，c共面的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解題思路】通過(guò)特例說(shuō)明a//b不能推出a，b，c共面，即充分性不成立；再由平面幾何知識(shí)得出同一平面內(nèi)的直線不平行必相交，推出a//b一定成立，即必要條件成立，兩者綜合即可得出結(jié)果.【解答過(guò)程】如圖所示：滿足a⊥c，b⊥c，且a//b，但是a?α,b?α,c?β，所以可知a//b是a，b，c共面的不充分條件；當(dāng)a，b，c共面時(shí)，由平面幾何知識(shí)可知同一平面內(nèi)的直線不平行必相交，又因?yàn)閍⊥c，b⊥c，所以必然有a//b，即a//b是a，b，c共面的必要條件，綜上可知a//b是a，b，c共面的必要不充分條件.故選：B.3．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知l,m,n是三條不重合的直線，α,β,γ是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若α⊥β,β⊥γ，則α∥γB．若l?α,m?α,l∥β,m∥β，則α∥βC．若l∥α,l∥β，則α∥βD．若l∥m,m?α,l?α，則l∥α【答案】D【解題思路】指出結(jié)論不成立的情況，可判斷ABC；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷D.【解答過(guò)程】對(duì)于A，若α⊥β,β⊥γ，則α,γ兩平面可能相交，A不正確；對(duì)于B，若l?α,m?α,l∥β,m∥β，因?yàn)橹本€l,m不一定相交，根據(jù)面面平行的判定定理知兩平面平行不一定成立，B不正確；對(duì)于C，若l∥α,l∥β，則α與β有可能相交，C不正確；對(duì)于D，若l∥m,m?α,l?α，由線面平行的判定定理可知l∥α，D正確．故選：D．4．（2025·山東濟(jì)南·三模）如圖，下列正方體中，M，N，P，Q分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線MN和PQ為異面直線的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解題思路】由已知，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征及平行公理推、情感教練的判定定理逐項(xiàng)分析判斷.【解答過(guò)程】對(duì)于A，如圖，PQ//CD//AB//MN，M,N,P,Q四點(diǎn)共面，A不是；對(duì)于B，如圖，MP//GH//EF//NQ，M,N,P,Q四點(diǎn)共面，B不是；對(duì)于C，如圖，MP//KL//NQ，M,N,P,Q四點(diǎn)共面，C不是；對(duì)于D，如圖，PQ∈平面MPQ，N?平面MPQ，M∈平面MPQ，M?直線PQ，則MN與PQ是異面直線，D是.故選：D.5．（2025·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）給出下列四個(gè)判斷：①若a，b為異面直線，則過(guò)空間任意一點(diǎn)P，總可以找到直線與a，b都相交．②對(duì)平面α，β和直線l，若α⊥β，l⊥β，則l∥α．③對(duì)平面α，β和直線l，若l⊥α，l//β，則α⊥β．④對(duì)直線l1，l2和平面α，若l1//α，l2//l1，且其中正確的判斷有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解題思路】由線面垂直，線面平行關(guān)系可判斷選項(xiàng)正誤.【解答過(guò)程】對(duì)于①，過(guò)直線b上一點(diǎn)作直線a′∥a，設(shè)過(guò)a′和b的平面為α，則當(dāng)點(diǎn)P在平面α內(nèi)，且不在直線b上時(shí)，找不到直線同時(shí)與a對(duì)于②，由題可得l可能在α內(nèi)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因l//β，則在β內(nèi)存在n，使l//n，則n⊥α，又n?β，則α⊥β，故③正確；對(duì)于④，因l1//α，l2//l1，則l2?α或l2故選：B.6．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為下底面圓弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上底面圓弧CD上且與E在軸截面同側(cè)，若CF=13CD，則異面直線AE與A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】D【解題思路】由圓與平行四邊形的性可得DM//FC和AN//FC，進(jìn)而得∠NAE或其補(bǔ)角即為異面直線【解答過(guò)程】如圖，在弧DC上取一點(diǎn)M，使得DM=13DC，過(guò)連接DM,AN，則由圓的對(duì)稱性可得DM//由圓柱的性質(zhì)知，AD//NM，AD=NM，所以四邊形所以AN//DM，所以所以∠NAE或其補(bǔ)角即為異面直線AE與CF所成角．因?yàn)镋為下底面圓弧AB的中點(diǎn)，AN=13AB，所以所以∠NAE=105°，所以異面直線AE與CF所成角為180°?105°=75°．故選；D.7．（2025·廣東茂名·一模）在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．413+32C．413+82【答案】B【解題思路】取D1C1的中點(diǎn)N，D1A1的中點(diǎn)M，連接MN、NF、【解答過(guò)程】如圖取D1C1的中點(diǎn)N，D1A1的中點(diǎn)M，連接則五邊形BEMNF為過(guò)點(diǎn)B,E,F的截面，取CF的中點(diǎn)J，DD1靠近D1的三等分點(diǎn)k，連接D1J則NF//D1J，又CJ//所以CK//D1又EK//BC且EK=BC，所以EKCB為平行四邊形，所以EB//所以N,F,B,E四點(diǎn)共面；取BB1、AA1靠近B、A的三等分點(diǎn)G、H，連接C1同理可證BF//C1G，D1所以B,F,M,E四點(diǎn)共面；所以N,F,B,E,M五點(diǎn)共面；又NF=ME=22+32所以截面周長(zhǎng)為613故選：B.8．（2024·四川南充·三模）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1，E、F、G、H分別為AB、A．AB．E、F、G、H四點(diǎn)共面C．設(shè)BC=2，則平面EFC1D．EF、GH、AA【答案】C【解題思路】根據(jù)線線平行及菱形對(duì)角線垂直判斷A，根據(jù)兩直線平行確定平面判斷B，作出截面四邊形，根據(jù)截面邊長(zhǎng)的大小判斷C，利用相交平面的公共點(diǎn)共線得三點(diǎn)共線可判斷D.【解答過(guò)程】如圖，連接AC1,A1C，由由AC=BC=AA1可知，側(cè)面所以A1C⊥AC連接HE,GF，因?yàn)镋、F、G、H分別為AB、BB1、CC所以HE//BC，GF//BC，所以GF//HE，所以E、延長(zhǎng)FE交A1A的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，連接PC1，交AC于Q點(diǎn)，連接設(shè)FE,FC1確定平面為α，則P,C1∈α則易知三棱柱的截面四邊形為FEQC1，在Rt△在Rt△BEF中，EF=22+1而C1Q>C由B知，GF//HE且HE≠GF，所以梯形的兩腰EF、GH所在直線必相交于一點(diǎn)因?yàn)镻′∈平面A1ABB又平面A1ABB1∩平面A1AC即EF、GH、AA1三線共點(diǎn)于故選：C.二、多選題9．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）下列基本事實(shí)敘述正確的是（

）A．經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面B．經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面C．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面D．經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面【答案】AB【解題思路】根據(jù)基本事實(shí)以及推論即可逐項(xiàng)判斷.【解答過(guò)程】根據(jù)基本事實(shí)以及推論，易知A，B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若三點(diǎn)共線，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若這個(gè)點(diǎn)在直線外，則確定一個(gè)平面，若這個(gè)點(diǎn)在直線上，可有無(wú)數(shù)平面，故D不正確；故選：AB.10．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知直線m和平面α，且m?α，則下列結(jié)論有可能錯(cuò)誤的是（

）A．過(guò)m存在一個(gè)平面β與α平行B．過(guò)m存在一個(gè)平面β與α垂直C．在α內(nèi)存在一條直線n與m平行D．在α內(nèi)存在一條直線n與m相交【答案】ACD【解題思路】利用線面的位置關(guān)系，結(jié)合各選項(xiàng)中條件，逐一判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，當(dāng)m與α相交時(shí)，無(wú)法過(guò)m作一個(gè)平面β與α平行，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，無(wú)論是m//α，還是m與α相交，都有過(guò)m存在一個(gè)平面β與α垂直，B正確；對(duì)于C，當(dāng)m與α相交時(shí)，在α內(nèi)無(wú)法作一條直線n與m平行，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)m//α?xí)r，在α內(nèi)不存在一條直線n與m相交，D錯(cuò)誤.故選：ACD.11．（2025·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD?A1B1C1DA．直線HG與直線A1B．直線EF,HG,DC交于同一點(diǎn)C．過(guò)A、G、D．動(dòng)點(diǎn)K在側(cè)面A1ADD1內(nèi)（含邊界），且KE=A【答案】BC【解題思路】根據(jù)題意畫出立體圖形，再依據(jù)平行直線共面、中位線性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)軌跡等知識(shí)逐一對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而選出正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】A選項(xiàng)，G，H分別是CC1,C1D1的中點(diǎn)，則HG∥CB選項(xiàng)，取DC中點(diǎn)為M，延長(zhǎng)DC,EF交于點(diǎn)N，連接EM，如圖1，因?yàn)锽C∥EM且BC=EM,F是BC的中點(diǎn)，所以CF∥EM,CF=12EM，且MC=CN．同理，延長(zhǎng)DC,HG交于點(diǎn)T即點(diǎn)N與點(diǎn)T重合，直線EF,HG,DC交于同一點(diǎn)，所以B正確；C選項(xiàng)，延長(zhǎng)D1G,DC交于點(diǎn)Q，連接AQ交BC于點(diǎn)P，如圖2，則同B選項(xiàng)，易證，P為所以四邊形APGD1為過(guò)點(diǎn)A,G,D所以截面周長(zhǎng)為32

圖1

圖2D選項(xiàng)，因?yàn)镋A⊥平面AA1D1D，所以|KE因此K的軌跡是以A為圓心，3為半徑的14圓，所以軌跡長(zhǎng)度為1故選：BC．三、填空題12．（24-25高一下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知m，n是兩條不同的直線，α表示平面，則下列命題中正確的是：（填序號(hào)）.①若m//α，m//n，則②若m//α，m⊥n，則③若m⊥α，n⊥α，則m//n；④若m⊥α，m⊥n，則n//【答案】③【解題思路】根據(jù)空間中線面的位置關(guān)系一一判斷即可.【解答過(guò)程】若m//α，m//n，則n//若m//α，m⊥n，則n//α或n?α或由線面垂直的性質(zhì)定理可知，③正確；若m⊥α，m⊥n，則n//α或故答案為：③.13．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P?ABC中，AC=3，BC=1，PA=PB=PC=AB=2，M為AC的中點(diǎn)，則異面直線BM與PA所成角的余弦值是【答案】5【解題思路】先根據(jù)異面直線所成角的定義確定∠DMB為異面直線BM與PA所成的角或其補(bǔ)角；再根據(jù)勾股定理求出BM，余弦定理求出cos∠DCB.，進(jìn)而得出BD2；最后在△BMD【解答過(guò)程】取PC的中點(diǎn)D，連接MD,BD，如圖所示：因?yàn)镸為AC的中點(diǎn)，D為PC的中點(diǎn)，則根據(jù)三角形的中位線定理可得DM∥PA，且DM=1所以∠DMB為異面直線BM與PA所成的角或其補(bǔ)角．因?yàn)樵凇鰽BC中，AC=3，BC=1，AB=2所以AB2=B又AM=MC=12AC=又在△PBC中，BC=1，PB=PC=2,所以由余弦定理可得：cos∠DCB=又因?yàn)樵凇鰾DC中，DC=BC=1，所以由余弦定理可得：BD則在△BMD中，由余弦定理可得，cos∠DMB=所以異面直線BM與PA所成角的余弦值為57故答案為：5714．（2025·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）金字塔在埃及和美洲等地均有分布，現(xiàn)在的尼羅河下游，散布著約80座金字塔遺跡，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔.如圖，胡夫金字塔可以近似看做一個(gè)正四棱錐，則該正四棱錐的5個(gè)面所在的平面將空間分成部分（用數(shù)字作答）．【答案】23【解題思路】假想一個(gè)沒(méi)有上頂?shù)恼襟w，該正方體會(huì)把空間分割成18塊，把四面進(jìn)行極限傾斜相交分析求解.【解答過(guò)程】假想一個(gè)沒(méi)有上頂?shù)恼襟w，該正方體會(huì)把空間分割成18塊，把四面進(jìn)行極限傾斜相交，如圖所示，在傾斜的過(guò)程中，在不管底面的情況下，4個(gè)側(cè)面在頂點(diǎn)以下的“水平范圍”內(nèi)最多可以切割出9個(gè)空間，與沒(méi)有傾斜極限的情況一樣，多出來(lái)的空間是交叉的切割出來(lái)的空間，在空間上是對(duì)稱的，四個(gè)傾斜的側(cè)面在空間中的延伸還是這樣的傾斜側(cè)面，如圖所示的對(duì)稱的錐面同樣會(huì)切割出9個(gè)空間，即頂點(diǎn)之上的4個(gè)延伸的傾斜的面同樣會(huì)切割出9個(gè)空間，但是四個(gè)空間和下面的四個(gè)傾斜的側(cè)面切出的是同一個(gè)，即標(biāo)記“×”的位置，所以在18的基礎(chǔ)上加9減4，即結(jié)果是23.故答案為：23.四、解答題15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=3，E是PD的中點(diǎn)，F(xiàn),M分別在PC,PB上，且PF=1(1)證明：E,F,A,M四點(diǎn)共面；(2)若CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD，求四棱錐P?AMFE的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)23【解題思路】（1）取CF的中點(diǎn)G，連接MG,DG，由三角形中位線定理得DG//EF，再根據(jù)線段間的關(guān)系得到MG//AD，MG=AD，從而得到四邊形ADGM為平行四邊形，即得AM//DG，最后利用平行線的傳遞性得到AM//EF，即可證得結(jié)論；（2）利用割補(bǔ)法將四棱錐P?AMFE的體積等價(jià)為2個(gè)三棱錐的體積之和，同時(shí)多次利用三棱錐體積之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．【解答過(guò)程】（1）證明：如圖所示，取CF的中點(diǎn)G，連接MG,DG，因?yàn)镋,F分別是PD,PG的中點(diǎn)，所以DG//EF，又因?yàn)镻M=23PB,PG=23又由AD//BC，AD=2，所以MG//AD，且MG=AD，所以四邊形ADGM為平行四邊形，所以AM//DG，因?yàn)镈G//EF，所以AM//EF，則E,F,A,M四點(diǎn)共面．（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AN//CD交BC于點(diǎn)N，則AN⊥BC,AN=2，可得S△ABC=1連接CM,CE，則V===216．（24-25高一下·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，已知正四面體P?ABC，M,N,Q,R分別是棱PA,PC,AB,BC的中點(diǎn)．

(1)證明：四邊形MNRQ為菱形；(2)求異面直線BM與QR所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)36【解題思路】（1）利用中位線即可求證四邊形MNRQ為平行四邊形，再求證MQ=MN即可；（2）根據(jù)異面直線所成角的定義找出∠BMN或其補(bǔ)角為所求角，在△MNB中利用余弦定理求得cos∠BMN【解答過(guò)程】（1）由題知，MN為△PAC的中位線，QR是△ABC的中位線，所以MN//AC，且MN=12AC故MN//QR，且MN=QR，故四邊形又MQ是△PAB的中位線，則MQ=1因?yàn)樵谡拿骟w中，PB=AC，所以MQ=MN，故四邊形MNRQ為菱形．（2）因?yàn)镼R//MN，所以∠BMN或其補(bǔ)角為異面直線BM與設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2a，則BM=BN=3