第02講等腰三角形中易漏解或多解的問(wèn)題（拓展提升）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)2.當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)3.求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)4.三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)稱：等腰三角的三線合一）圖形：如下所示；符號(hào)：在中，AB＝AC，1.求等腰三角形的周長(zhǎng)，要先考慮三角形的三邊是否能構(gòu)成三角形.2.等腰三角形中，底和腰不明確時(shí)，要分類討論，是多解問(wèn)題.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)例題：已知一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，且為腰長(zhǎng)．求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．【解析】①當(dāng)時(shí)，解得，則這個(gè)等腰三角形三條邊長(zhǎng)分別為3、3、4，能構(gòu)成三角形，此時(shí)這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為；②當(dāng)時(shí)，解，則這個(gè)等腰三角形三條邊長(zhǎng)分別為1、2、1，不能構(gòu)成三角形（舍去）．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為10．【變式訓(xùn)練】1．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是，，若，滿足，那么它的周長(zhǎng)是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或15【答案】C【解析】，，，，，解得：，，當(dāng)作腰時(shí)，三邊為3，3，5，符合三邊關(guān)系定理，周長(zhǎng)為：，當(dāng)作腰時(shí)，三邊為3，5，5，符合三邊關(guān)系定理，周長(zhǎng)為：，故選：C．2．等腰三角形的底邊長(zhǎng)與其腰長(zhǎng)的比值稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰的周長(zhǎng)為20，其中一邊長(zhǎng)為8，則它的“優(yōu)美比”為（

）A． B． C．或2 D．或【答案】D【解析】當(dāng)為腰長(zhǎng)時(shí)，∵等腰的周長(zhǎng)為20，∴的底邊長(zhǎng)為：，∴“優(yōu)美比”為；當(dāng)為底邊長(zhǎng)時(shí)，的腰長(zhǎng)為：，∴“優(yōu)美比”為；故選D．考點(diǎn)二、當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)例題：等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)是，則它的底角的度數(shù)是．【答案】或【解析】當(dāng)?shù)慕鞘堑捉菚r(shí)，則底角為，當(dāng)?shù)慕鞘琼斀菚r(shí)，則底角為，故答案為：或．【變式訓(xùn)練】1．如果等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為，那么其余的兩個(gè)角的度數(shù)是______．【答案】，或，【解析】①當(dāng)是頂角時(shí)，其余兩個(gè)角是底角且相等，則有：；②當(dāng)是底角時(shí)，則有：頂角為；故答案為：，或，．2．如圖，在中，，，點(diǎn)P在的三邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，頂角的度數(shù)是________．【答案】或或【解析】①如圖1，點(diǎn)P在上時(shí)，，頂角為，②∵，，∴，如圖2，點(diǎn)P在上時(shí)，若，頂角為，如圖3，若，則頂角為，若，則頂角為，綜上所述，頂角為或或．故答案為：或或．考點(diǎn)三、求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)例題：如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，若△APE是腰長(zhǎng)為的等腰三角形，則的長(zhǎng)為．【答案】或或【解析】，為的中點(diǎn)，，四邊形是長(zhǎng)方形，，，，有三種情況：，作的垂直平分線，交于，此時(shí)在的垂直平分線上，即，則，，即此種情況不存在；當(dāng)時(shí)，由勾股定理得：；當(dāng)時(shí)，有和兩種情況，過(guò)作于，由勾股定理得：，即；，所以的長(zhǎng)是或或，故答案為：或或．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，已知：，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的值為．【答案】或或【解析】在中，，由勾股定理得：，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，如圖所示，，則，即，當(dāng)時(shí)，如圖所示，，則，當(dāng)時(shí)，如圖所示，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得，，綜上所述：的值為或或，故答案為：或或．2．在中，，，，D是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若是等腰三角形，則的長(zhǎng)度是．【答案】9或或3【解析】①如圖1，若是等腰三角形，當(dāng)是底邊時(shí)D在的延長(zhǎng)線上，，，是直角三角形，，，，，，，．圖1②如圖2，當(dāng)為腰時(shí)，為另一個(gè)腰，所以，是直角三角形，，，，，．圖2③如圖3，當(dāng)是腰，為底時(shí)，，，，，，，，．圖3故答案為：9或或3考點(diǎn)四、三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)例題：在中，，邊上的中線把三角形的周長(zhǎng)分成和的兩部分，求三角形各邊的長(zhǎng)．【解析】如圖，

∵是邊上的中線，即，∴，若，則，又∵，聯(lián)立方程組:,解得：，三邊能夠組成三角形；若，則，又∵，聯(lián)立方程組,解得：，三邊能夠組成三角形；∴三角形的各邊長(zhǎng)為或．【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)三角形的頂角為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】如圖1，三角形是銳角三角形時(shí)，

∵，∴頂角；如圖2，三角形是鈍角時(shí)，

∵，∴頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：D．2．在中，，是邊上的高，，則．【答案】或/或【解析】如圖，當(dāng)在內(nèi)時(shí)

如圖，當(dāng)在外時(shí)

故答案為或過(guò)關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．若等腰三角形有一個(gè)角是，則它的底角是（

）A． B． C．或 D．或2．一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，則這個(gè)三角形的底角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或3．一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為，只知其中一邊的長(zhǎng)為，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．或4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．17 B．13 C．13或17 D．以上答案均不對(duì)二、填空題5．已知等腰三角形的一個(gè)外角是，則其底角的度數(shù)為．6．如圖，B是射線上動(dòng)點(diǎn)，，若為等腰三角形，則的度數(shù)可能是．7．在平面直角坐標(biāo)系中，，，若以為腰作等腰三角形，則在軸上滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)是8．在中，，點(diǎn)在邊上，若直線將分割成一個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰三角形，則的度數(shù)是．三、解答題9．如圖，中，，，，若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始，按的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，求的面積．(2)當(dāng)為何值時(shí)，把的面積分成相等的兩部分，并求出此時(shí)的長(zhǎng)；(3)當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形？10．定義：如果1條線段將一個(gè)三角形分割成2個(gè)等腰三角形，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個(gè)三角形的“三等腰線”．如圖（1），是的“雙等腰線”，、是的“三等腰線”．(1)請(qǐng)?jiān)趫D（2）中，作出的“雙等腰線”，并標(biāo)注相等角的度數(shù)①，

②，．(2)直角三角形的______就是它的“雙等腰線”(3)已知中，，和分別是的“三等腰線”，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，，請(qǐng)根據(jù)題意寫出度數(shù)的所有可能的值______．

第02講等腰三角形中易漏解或多解的問(wèn)題（拓展提升）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)2.當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)3.求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)4.三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)稱：等腰三角的三線合一）圖形：如下所示；符號(hào)：在中，AB＝AC，1.求等腰三角形的周長(zhǎng)，要先考慮三角形的三邊是否能構(gòu)成三角形.2.等腰三角形中，底和腰不明確時(shí)，要分類討論，是多解問(wèn)題.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、求等腰三角形的周長(zhǎng)時(shí)忽略構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系產(chǎn)生易錯(cuò)例題：已知一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，且為腰長(zhǎng)．求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．【解析】①當(dāng)時(shí)，解得，則這個(gè)等腰三角形三條邊長(zhǎng)分別為3、3、4，能構(gòu)成三角形，此時(shí)這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為；②當(dāng)時(shí)，解，則這個(gè)等腰三角形三條邊長(zhǎng)分別為1、2、1，不能構(gòu)成三角形（舍去）．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為10．【變式訓(xùn)練】1．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是，，若，滿足，那么它的周長(zhǎng)是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或15【答案】C【解析】，，，，，解得：，，當(dāng)作腰時(shí)，三邊為3，3，5，符合三邊關(guān)系定理，周長(zhǎng)為：，當(dāng)作腰時(shí)，三邊為3，5，5，符合三邊關(guān)系定理，周長(zhǎng)為：，故選：C．2．等腰三角形的底邊長(zhǎng)與其腰長(zhǎng)的比值稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若等腰的周長(zhǎng)為20，其中一邊長(zhǎng)為8，則它的“優(yōu)美比”為（

）A． B． C．或2 D．或【答案】D【解析】當(dāng)為腰長(zhǎng)時(shí)，∵等腰的周長(zhǎng)為20，∴的底邊長(zhǎng)為：，∴“優(yōu)美比”為；當(dāng)為底邊長(zhǎng)時(shí)，的腰長(zhǎng)為：，∴“優(yōu)美比”為；故選D．考點(diǎn)二、當(dāng)?shù)妊切沃醒偷撞幻髑蠼嵌葧r(shí)沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)例題：等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)是，則它的底角的度數(shù)是．【答案】或【解析】當(dāng)?shù)慕鞘堑捉菚r(shí)，則底角為，當(dāng)?shù)慕鞘琼斀菚r(shí)，則底角為，故答案為：或．【變式訓(xùn)練】1．如果等腰三角形的一個(gè)角的度數(shù)為，那么其余的兩個(gè)角的度數(shù)是______．【答案】，或，【解析】①當(dāng)是頂角時(shí)，其余兩個(gè)角是底角且相等，則有：；②當(dāng)是底角時(shí)，則有：頂角為；故答案為：，或，．2．如圖，在中，，，點(diǎn)P在的三邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，頂角的度數(shù)是________．【答案】或或【解析】①如圖1，點(diǎn)P在上時(shí)，，頂角為，②∵，，∴，如圖2，點(diǎn)P在上時(shí)，若，頂角為，如圖3，若，則頂角為，若，則頂角為，綜上所述，頂角為或或．故答案為：或或．考點(diǎn)三、求有關(guān)等腰三角形中的多解題沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)例題：如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，若△APE是腰長(zhǎng)為的等腰三角形，則的長(zhǎng)為．【答案】或或【解析】，為的中點(diǎn)，，四邊形是長(zhǎng)方形，，，，有三種情況：，作的垂直平分線，交于，此時(shí)在的垂直平分線上，即，則，，即此種情況不存在；當(dāng)時(shí)，由勾股定理得：；當(dāng)時(shí)，有和兩種情況，過(guò)作于，由勾股定理得：，即；，所以的長(zhǎng)是或或，故答案為：或或．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，已知：，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的值為．【答案】或或【解析】在中，，由勾股定理得：，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，如圖所示，，則，即，當(dāng)時(shí)，如圖所示，，則，當(dāng)時(shí)，如圖所示，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得，，綜上所述：的值為或或，故答案為：或或．2．在中，，，，D是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若是等腰三角形，則的長(zhǎng)度是．【答案】9或或3【解析】①如圖1，若是等腰三角形，當(dāng)是底邊時(shí)D在的延長(zhǎng)線上，，，是直角三角形，，，，，，，．圖1②如圖2，當(dāng)為腰時(shí)，為另一個(gè)腰，所以，是直角三角形，，，，，．圖2③如圖3，當(dāng)是腰，為底時(shí)，，，，，，，，．圖3故答案為：9或或3考點(diǎn)四、三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類討論產(chǎn)生易錯(cuò)例題：在中，，邊上的中線把三角形的周長(zhǎng)分成和的兩部分，求三角形各邊的長(zhǎng)．【解析】如圖，

∵是邊上的中線，即，∴，若，則，又∵，聯(lián)立方程組:,解得：，三邊能夠組成三角形；若，則，又∵，聯(lián)立方程組,解得：，三邊能夠組成三角形；∴三角形的各邊長(zhǎng)為或．【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)三角形的頂角為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】如圖1，三角形是銳角三角形時(shí)，

∵，∴頂角；如圖2，三角形是鈍角時(shí)，

∵，∴頂角，綜上所述，頂角等于或．故選：D．2．在中，，是邊上的高，，則．【答案】或/或【解析】如圖，當(dāng)在內(nèi)時(shí)

如圖，當(dāng)在外時(shí)

故答案為或過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．若等腰三角形有一個(gè)角是，則它的底角是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】當(dāng)為底角時(shí)：，滿足題意；當(dāng)是頂角時(shí)：它的底角的度數(shù)是；綜上：等腰三角形的底角度數(shù)為或；故選D．2．一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，則這個(gè)三角形的底角為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】①當(dāng)?shù)捉鞘琼斀堑?倍時(shí)，設(shè)頂角為x，則底角為，則：，解得：，所以底角為；②當(dāng)頂角是底角的2倍時(shí)，設(shè)底角為y，則頂角為，則：，解得：，所以底角為；綜上所述，底角的度數(shù)為：或．故選：A．3．一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為，只知其中一邊的長(zhǎng)為，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】若為等腰三角形的腰長(zhǎng)，則底邊長(zhǎng)為：，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，符合三角形的三邊關(guān)系；若為等腰三角形的底邊，則腰長(zhǎng)為：，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，符合三角形的三邊關(guān)系；該等腰三角形的腰長(zhǎng)為或，故選：D．4．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．17 B．13 C．13或17 D．以上答案均不對(duì)【答案】A【解析】∵，∴，，∴，，∵以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形，∴若以x的值為腰長(zhǎng)，則構(gòu)不成三角形，故排除，∴等腰三角形的腰長(zhǎng)為7，底邊長(zhǎng)為3，故此三角形的周長(zhǎng)為：．故選：A．二、填空題5．已知等腰三角形的一個(gè)外角是，則其底角的度數(shù)為．【答案】或【解析】∵等腰三角形的一個(gè)外角是，∴與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為，①當(dāng)80度為頂角時(shí)，底角的度數(shù)為，②當(dāng)80度為底角時(shí)，此時(shí)頂角的度數(shù)為，滿足題意；故答案為：或．6．如圖，B是射線上動(dòng)點(diǎn)，，若為等腰三角形，則的度數(shù)可能是．【答案】，或【解析】當(dāng)是頂角時(shí)，，∴；當(dāng)是底角，是頂角時(shí)，∴；當(dāng)、都是底角時(shí)，∴；綜上，的度數(shù)可能是，或，故答案為：，或．7．在平面直角坐標(biāo)系中，，，若以為腰作等腰三角形，則在軸上滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)是【答案】或或【解析】根據(jù)題意，作圖如下，∵，，∴，在中，，以為腰作等腰三角形，①，則是以為腰作等腰三角形，∴；②，則是以為腰作等腰三角形，∴AC2=5，且，∴，則；③，則是以為腰作等腰三角形，∴，∴，則，綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)是或或，故答案為：或或．8．在中，，點(diǎn)在邊上，若直線將分割成一個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰三角形，則的度數(shù)是．

【答案】或或【解析】如圖1中，當(dāng)，時(shí)，滿足條件．

如圖2中，當(dāng)，時(shí)，可得，．

如圖3中，當(dāng)，時(shí)，，

，故答案為：或或．三、解答題9．如圖，中，，，，若動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始，按的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，求的面積．(2)當(dāng)為何值時(shí)，把的面積分成相等的兩部分，并求出此時(shí)的長(zhǎng)；(3)