答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁福建省恒一教育集團(tuán)2025—2026學(xué)年高三上學(xué)期開門聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．焦點(diǎn)在軸上，焦距為4且離心率為2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．5．已知向量滿足，若向量在向量上的投影向量為，則（

）A． B． C． D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，爬到軸后又爬到圓上，則它爬行的最短路程是（

）A． B．4 C．8 D．7．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．8．英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出了一種求方程近似解的方法——牛頓迭代法.如圖所示，設(shè)是的根，選取作為初始近似值，過點(diǎn)作曲線的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，稱是的一次近似值；過點(diǎn)作曲線的切線，則該切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值.重復(fù)以上過程，得到的近似值序列，其中，稱是的次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解，則下列說法不正確的是（

）A．若取初始近似值為1，則該方程的二次近似解為B．若取初始近似值為2，則該方程的二次近似解為C．D．二、多選題9．已知函數(shù)則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．的最大值為C．在區(qū)間單調(diào)遞增 D．曲線關(guān)于對(duì)稱10．若，則（

）A．B．C．D．11．“黃金雙曲線”是指離心率為“黃金分割比”的倒數(shù)的雙曲線（“黃金分割比”為）．若黃金雙曲線的左右兩頂點(diǎn)分別為，虛軸上下兩端點(diǎn)分別為，左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線任意一條不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的弦，為的中點(diǎn)．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的離心率為，則下列說法正確的有（

）A． B．C．直線與雙曲線的一條漸近線垂直 D．三、填空題12．若拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．13．已知平面向量，，若，則.14．已知等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比相等，且，，，則；若數(shù)列和的所有項(xiàng)合在一起，從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使得成立的的最小值為．四、解答題15．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足．(1)求角；(2)若，為的中點(diǎn)且，求．16．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，為前n項(xiàng)和，且，，成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求證：；(3)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．如圖，在圓錐中，是底面的直徑，且，該圓錐的側(cè)面積為.已知點(diǎn)是母線的中點(diǎn)，點(diǎn)，在底面圓周上，且的長為，.(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.18．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了《圓錐曲線論》，此書中有許多關(guān)于平面軌跡的問題，例如：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，求的最小值．19．若函數(shù)的定義域、值域都是有限集合，則稱為集合上的有限完整函數(shù)．已知是定義在有限集合上的有限完整函數(shù)．(1)求的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，均有，求滿足條件的的個(gè)數(shù)；(3)設(shè)存在一系列函數(shù)且．若這些函數(shù)滿足，，，，則稱為閉環(huán)函數(shù)．若存在，使得，則稱為“階閉環(huán)函數(shù)”．證明：存在一個(gè)閉環(huán)函數(shù)既是3階閉環(huán)函數(shù)，也是4階閉環(huán)函數(shù)（用列表法表示的映射關(guān)系）．《福建省恒一教育集團(tuán)2025—2026學(xué)年高三上學(xué)期開門聯(lián)考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ADBAAAADACACD題號(hào)11答案ACD1．A【分析】根據(jù)交集的概念，找出同時(shí)滿足集合和集合條件的的取值范圍即可．【詳解】因?yàn)榧?，，所以．故選：A．2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方、除法運(yùn)算求得，進(jìn)而求得的虛部.【詳解】由，得，所以，所以的虛部為.故選：D.3．B【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷即得.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：，由可得，而由不能推出，如，但沒有意義，所以是的必要不充分條件.故選：B4．A【分析】由已知得，再由離心率和關(guān)系求，得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意，，，解得，，所以，故該雙曲線方程為．故選：A.5．A【分析】利用投影向量的定義列式，結(jié)合題設(shè)求得，根據(jù)兩向量的夾角范圍即可求得該角.【詳解】因向量在向量上的投影向量為，由題意，，即，因，則.故選：A.6．A【分析】根據(jù)將軍飲馬模型，求得對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)距離公式，可得答案.【詳解】由圓，得圓心，半徑，易得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，如圖，所求的最短路程即為到圓上的點(diǎn)的最短距離．故選：A.7．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義可排除選項(xiàng)C，D；結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，，即可排除選項(xiàng)B，進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.故選：A.8．D【分析】根據(jù)題中牛頓迭代法求方程近似解的方法，將初始值代入公式計(jì)算，逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則.取初始近似值，則，，故選項(xiàng)A正確；取初始近似值，則，，故選項(xiàng)B正確；根據(jù)題意，可知，，，，上述四式相加，得，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確.故選：D.9．AC【分析】先利用和角公式化簡函數(shù)為單一三角函數(shù)式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)即得.【詳解】.對(duì)于A，設(shè)，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，可得函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，由于的最大值為，因此，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，因單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，由于曲線關(guān)于對(duì)稱，因此曲線關(guān)于對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．ACD【分析】對(duì)于A，令代入即可求解；對(duì)于B，由二項(xiàng)式定理，對(duì)照系數(shù)即可得到；對(duì)于C，令，結(jié)合A即可求解；對(duì)于D，令，結(jié)合A即可求解.【詳解】對(duì)于A，令，則，故A正確；對(duì)于B，由二項(xiàng)式定理，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，則，故C正確；對(duì)于D，令，則，又，所以，得，故D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】A由黃金分割比定義可判斷選項(xiàng)正誤；B由點(diǎn)差法可判斷選項(xiàng)正誤；C判斷是否等于可判斷選項(xiàng)正誤；D由，計(jì)算，，可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，由題得離心率，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，，則點(diǎn)，則，，兩式作差得，則，故B不正確；對(duì)于C，易知，，則，雙曲線的一條漸近線的斜率，所以，所以直線與雙曲線的一條漸近線垂直，故C正確；對(duì)于D，，，由C選項(xiàng)可知有，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12．【分析】根據(jù)拋物線定義求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入方程可得.【詳解】由題知，，設(shè)，則，即，所以，解得，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.故答案為：13．/【分析】由條件根據(jù)向量的加法的坐標(biāo)運(yùn)算公式，再由條件結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，則，則，解得.故答案為：.14．【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)滿足不等式的正整數(shù)的最小值為，推導(dǎo)出，設(shè)，其中且，根據(jù)可得出關(guān)于的不等式，求出的最小值，即可得出的值，即為所求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則等差數(shù)列的公差為，則，，，解得，，，所以，，，由，整理可得，數(shù)列的各項(xiàng)分別為：、、、、、、、、、，其中前若干項(xiàng)中，數(shù)列有項(xiàng)，數(shù)列有項(xiàng)，所以，是數(shù)列的第項(xiàng)，所以，，所以，，令，整理可得，令，則有，解得，因?yàn)椋?，，可得，所以，滿足不等式的正整數(shù)的最小值為，同理可知，滿足不等式的正整數(shù)的最大值為，所以滿足不等式的正整數(shù)的最小值，即，設(shè)，其中且，則，，由，整理可得，解得，所以自然數(shù)的最小值為，所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用數(shù)列不等式求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵在于確定滿足條件的正整數(shù)的最小值所在的區(qū)間，并引入合適的參數(shù)，求出相應(yīng)的參數(shù)的值，進(jìn)而得解,15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及兩角和的正弦公式將已知化為，利用化簡得，根據(jù)角的范圍即可求解.（2）將平方得，再根據(jù)余弦定理得，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可知：，所以，即，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所以．?）在中，因?yàn)椋?所以①，又由余弦定理，所以②．聯(lián)立①②可得．16．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系可證明為等差數(shù)列，即可求解，（2）利用放縮法可得，即可由裂項(xiàng)相消法求和得解，（3）對(duì)分奇偶，即可利用平方差公式，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）由，，成等差數(shù)列，得，①當(dāng)時(shí)，，∴，得（舍去），當(dāng)時(shí)，，②①-②得，，∴，又，∴，∴是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，∴，故；（2），故（3）由（1）知，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，綜上.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由圓錐的底面周長和側(cè)面積公式求出，接著由得平面，再求證得平面即可由面面平行的判定定理得證；（2）建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，依次求出平面與平面的法向量，再由平面夾角的向量法公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由圓錐的底面周長為，可得側(cè)面積為，解得.在中，根據(jù)中位線性質(zhì)可得，所以平面，由于，底面圓半徑是1，所以，又，所以，而，所以為等邊三角形，.于是且，所以四邊形是平行四邊形，可得，所以平面，又，，平面，所以平面平面.（2）易知.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面中，過點(diǎn)作的垂線為軸，，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量，則，令，則；設(shè)平面的法向量，則，令，則.結(jié)合（1）可知，也是平面的法向量，從而，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18．(1)(2)．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)列方程化簡可得結(jié)論，（2）由條件可得，由此可得，展開利用基本不等式求其最小值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)?，又，，所以，所以，所以，所以，即，所以點(diǎn)P的軌跡方程為．（2）因?yàn)辄c(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在此直線上，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)，等號(hào)成立．故的最小值為．19．(1)140(2)42(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)有限完整函數(shù)的定義，結(jié)合基本不等式，即可求得答案;（2）由題可