試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁遼寧省朝陽市凌源中學(xué)2024~2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．（

）A． B． C． D．3．已知向量，，，則（

）A．6 B．3 C． D．4．已知函數(shù)，為偶函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．或5．陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成.如圖，已知一木制陀螺的圓柱的底面直徑為6，圓柱和圓錐的高均為4，則該陀螺的表面積為（

）A． B． C． D．6．設(shè)，若，則（

）A． B． C． D．7．已知甲組數(shù)據(jù)：1，3，5，7，9，11，乙組數(shù)據(jù)：2，4，8，16，根據(jù)不同組別，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取一個容量為5的樣本，則該樣本的平均數(shù)不可能是（

）A．5 B．7 C．9 D．118．如圖，一圓形信號燈分成四塊燈帶區(qū)域，現(xiàn)有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號總數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．42二、多選題9．已知橢圓的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，若橢圓的長軸長為10，短半軸長為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（

）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列的公差，其前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A．是等差數(shù)列 B．若，則有最大值C．，，成等差數(shù)列 D．若，，則11．已知函數(shù)的最大值為1，則（

）A．B．當(dāng)時，C．D．當(dāng)時，三、填空題12．已知函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，在上有，則．13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為；拋物線的焦點(diǎn)為，若直線分別與，交于，兩點(diǎn)，且，則．14．已知正方體的棱長為2，M為的中點(diǎn)，球O與正方體的各個表面都相切，則平面MBD截球O所得截面的面積為．四、解答題15．在中，內(nèi)角所對的邊分別為.(1)求；(2)若，求的面積的最大值.16．某學(xué)校對高三（1）班50名學(xué)生第一次模擬考試的數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下：數(shù)學(xué)成績的方差為，化學(xué)成績的方差為，其中且1分別表示這50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績，關(guān)于的線性回歸方程為.(1)求與的樣本相關(guān)系數(shù)；(2)從概率統(tǒng)計規(guī)律來看，本次考試高三（1）班學(xué)生數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本方差作為的估計值.試估計該校共800名高三學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間的人數(shù).附：①回歸方程中：②樣本相關(guān)系數(shù)③若，則④17．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，是等邊三角形，且平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.18．已知雙曲線的漸近線方程為，且過點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.19．已知函數(shù)，定義域?yàn)?(1)討論的單調(diào)性；(2)求當(dāng)函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)時，的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《遼寧省朝陽市凌源中學(xué)2024~2025學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案ACCDCBDAACABD題號11答案ACD1．A【分析】根據(jù)題意，由集合的運(yùn)算代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：A．2．C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可化簡所求復(fù)數(shù).【詳解】.故選：C.3．C【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】向量，，則，由，得，解得.故選：C4．D【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可得，從而即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以,即，因?yàn)椋曰?，故選：D.5．C【分析】分析該陀螺的表面結(jié)構(gòu)，結(jié)合圓柱、圓錐的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：該陀螺的表面有：底面圓面、圓柱的側(cè)面和圓錐的側(cè)面，且圓錐的母線長為，所以該陀螺的表面積為.故選：C.6．B【分析】根據(jù)商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系求解即可.【詳解】，所以，解得或（舍），故選：B.7．D【分析】先根據(jù)分層抽樣算出甲乙兩組數(shù)據(jù)抽到的數(shù)據(jù)個數(shù)，列出表格，在結(jié)合平均數(shù)公式計算得出答案；【詳解】根據(jù)分層抽樣可知甲組數(shù)據(jù)抽取3個數(shù)據(jù)，乙組數(shù)據(jù)抽取2個數(shù)據(jù)，具體情況如下表：甲組抽樣乙組抽樣平均數(shù)3，5，72，855，7，114，875，7，98，169平均數(shù)為11時，需5個樣本數(shù)字之和為55，而樣本之和最大值為．故選：D．8．A【分析】根據(jù)涂色問題，按照使用顏色種數(shù)進(jìn)行分類，再結(jié)合分步計數(shù)原理，即可得總的方法數(shù).【詳解】若用3種不同的顏色燈帶，故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么，要么相同，有2種方案，則不同的信號數(shù)為；若只用2種不同的顏色燈帶，則顏色相同，顏色相同，只有1種方案，則不同的信號數(shù)為；則不同的信號總數(shù)為.故選：A．9．AC【分析】求出，得到橢圓方程.【詳解】由題意，，故，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為或．故選：AC．10．ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用對應(yīng)證明等差判斷A,應(yīng)用數(shù)列正負(fù)求前n項(xiàng)和的最大值，特殊值法判斷C,結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)判斷D.【詳解】，，故A正確；若，則，最大；若，，最大；若，則，則存在，，，故最大，故B正確；對數(shù)列：1，2，3，…，取，，，，故C錯誤；不妨設(shè)，則，即，∴，而，故，D正確．故選:ABD．11．ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)求最值，結(jié)合已知可得，可判斷A；利用單調(diào)性可判斷BC；將目標(biāo)不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值可判斷D.【詳解】對A，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時取得最大值，解得，A正確；對B，由上可知，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕珺錯誤；對C，因?yàn)?，所以，所以，C正確；對D，當(dāng)時，，不等式成立，當(dāng)時，，記，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，綜上，當(dāng)時，不等式成立，D正確.故選：ACD12．1【分析】根據(jù)及是偶函數(shù)代入可得.【詳解】由題意可知．故答案為：13．【分析】根據(jù)拋物線方程求出準(zhǔn)線方程；設(shè)，利用拋物線定義求出，運(yùn)算得解.【詳解】由拋物線，可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)，

則，故，所以，所以，解得.故答案為：；.14．【分析】設(shè)BD，AC交于Q，作于H，證明平面，所求截面為以H為圓心的小圓，求圓的面積即可.【詳解】如圖：設(shè)BD，AC交于Q，作于H，在正方體中，平面，平面，所以，又，，所以平面，平面，所以，又，，且兩直線在平面BMD內(nèi)，所以平面，在中，求得，故所求截面為以H為圓心的小圓，半徑為，故所求面積為．故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用倍角公式以及正弦定理即可得結(jié)果；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，即可得面積最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，則，且，所以.（2）由余弦定理可得，即，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的面積的最大值為.16．(1)(2)652【分析】（1）根據(jù)方差和求出，，然后代入公式可得；（2）由求出，然后根據(jù)特殊區(qū)間求出，然后可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，所?（2）因?yàn)?，，所以，解得，即，因?yàn)?，所以，所以?shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，因?yàn)?，所以該校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間大約有人.17．(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）取中點(diǎn)，證明，證明平面，由此得，從而再證得平面，最后得證結(jié)論成立；（2）以為原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，確定各點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出平面與平面的一個法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值．【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，是菱形，則，所以，又是等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?），則和都是等邊三角形，連接，則，，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，，因此有，，，，，是中點(diǎn)，則，，，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，易知平面的一個法向量是，則，取，則，，所以平面與平面的夾角的余弦值為．18．(1)(2)，或或.【分析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而解方程即可得答案；（2）由題知，進(jìn)而先討論直線的斜率不存在不滿足條件，再討論的斜率存在，設(shè)方程為，設(shè)，進(jìn)而與雙曲線方程聯(lián)立得線段中點(diǎn)為，再結(jié)合題意得，進(jìn)而再分和兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，且過點(diǎn)，所以，，解得所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）解：由（1）知雙曲線的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為，此時，，所以，直線的斜率存在，設(shè)方程為，所以，聯(lián)立方程得所以，且，所以，設(shè)，則所以，所以，線段中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，點(diǎn)在線段的中垂線上，所以，所以，當(dāng)時，線段中點(diǎn)為，此時直線的方程為，滿足題意；當(dāng)時，，所以，，整理得，解得或，滿足.綜上，直線的方程為，或或.19．(1)答案見詳解(2)【分析】（1）求導(dǎo)，分和，根據(jù)二次方程根的個數(shù)以及韋達(dá)定理分析判斷的符號，進(jìn)而可得的單調(diào)性；（2）參變分離可得，構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，（ⅰ）?dāng)，即時，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)，即或時，可知有兩個不相等的根，不妨令，可知，①若，因?yàn)?，可知，令，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②若，因?yàn)?，可知，令，解得或；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）若，可知在內(nèi)無零點(diǎn)，不合題意，可知令，整理得，構(gòu)建，原題意等價于與的圖象有且僅有一個交點(diǎn)，因?yàn)?，?gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減