試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)四川新高考聯(lián)盟五校2026屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面．則是（

）A．充分不必要條 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知集合，，若，則m的最大值為（

）A． B． C．1 D．23．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．4．已知向量滿足：，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．6．從1，2，3，4，5，6，7這7個(gè)數(shù)任選3個(gè)不同數(shù)排成一個(gè)數(shù)列，則得到的數(shù)列為等差數(shù)列的概率為（

）A． B． C． D．7．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，，則的形狀是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不確定的8．已知圓錐曲線的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，若對(duì)于上的任意一點(diǎn)，均存在上兩點(diǎn)，，使得原點(diǎn)到直線，和的距離都相等，則稱曲線為“完美曲線”．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①任意橢圓都是“完美曲線”；②存在雙曲線是“完美曲線”．下列判斷正確的是（

）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①②都是真命題 D．①②都是假命題二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．有一組數(shù)、、、，這組數(shù)的第百分位數(shù)是B．在的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若不小于對(duì)應(yīng)的臨界值，可以推斷兩變量不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)C．隨機(jī)變量，若，，則D．以擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)代換后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則，10．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．在上的投影向量為B．C．若的長(zhǎng)度為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．設(shè)，則的最大值為11．已知函數(shù)圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過(guò)A，B作x軸的垂線，分別交x軸于，點(diǎn)C為該部分圖象與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為，此時(shí)．將繪有該圖象的紙片沿x軸折成的二面角，如圖2所示，折疊后，則下列四個(gè)結(jié)論正確的有（

）A．B．的圖象在上單調(diào)遞增C．在圖2中，上存在唯一一點(diǎn)Q，使得面D．在圖2中，若是上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足，則的最小值為三、填空題12．若的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，則.13．隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，，則的最小值為．14．兩個(gè)有共同底面的正三棱錐與，它們的各頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，若二面角的大小為，則的邊長(zhǎng)為．四、解答題15．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，邊的中線長(zhǎng)為2．(1)求角；(2)求邊的最小值．16．如圖，已知四棱錐中，頂點(diǎn)在底面上的射影落在線段上（不含端點(diǎn)），，，，.(1)求證：平面；(2)若二面角的大小為，直線與平面所成角為，求的值.17．已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).(1)證明：；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值；18．已知有兩個(gè)盒子，各裝有1個(gè)黑球、1個(gè)黃球和1個(gè)紅球，現(xiàn)從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)紅球的概率為，恰有2個(gè)紅球的概率為．(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求的數(shù)學(xué)期望．19．已知曲線，點(diǎn)在曲線上．

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)如圖1，過(guò)曲線外一點(diǎn)A（不在軸上）作的兩條切線，切點(diǎn)為，過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線交于點(diǎn)，且，把這樣的叫做“外切三角形”．①連接交于點(diǎn)，請(qǐng)給出三點(diǎn)的縱坐標(biāo)的關(guān)系；②如圖2，從點(diǎn)A出發(fā)作出的第一個(gè)外切三角形是，再過(guò)點(diǎn)分別作出2個(gè)外切三角形，即和；繼續(xù)過(guò)點(diǎn)分別作出4個(gè)外切三角形以此類推，依次作出個(gè)外切三角形．設(shè)的面積為，求這些“外切三角形”的面積之和，并判斷與的大小關(guān)系．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《四川新高考聯(lián)盟五校2026屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BCBBAACABDABD題號(hào)11答案BD1．B【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合必要不充分的定義即可判斷.【詳解】若，則，又，可得;反之，若，不一定有，如圖，，，但.

所以是的必要不充分條件.故選：.2．C【分析】先求出集合，再根據(jù)求解即可.【詳解】由，，因?yàn)?，所以，則m的最大值為1.故選：C.3．B【分析】由模長(zhǎng)公式及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可求解；【詳解】，所以虛部為，故選：B4．B【分析】首先根據(jù)條件求，再代入投影向量公式，即可求解.【詳解】由題意可知：，因?yàn)?，即，可得，所以在上的投影向量?故選：B.5．A【分析】根據(jù)分段函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以，，則所求切線方程為，即.故選：A6．A【分析】根據(jù)給定條件，利用排列計(jì)數(shù)問(wèn)題求出試驗(yàn)及事件的基本事件數(shù)，再求出古典概率.【詳解】從給定的7個(gè)數(shù)中任取3個(gè)的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，能構(gòu)成等差數(shù)列的事件含有：公差為的個(gè)，公差為的個(gè)，公差為有個(gè)，共18個(gè)基本事件，所以得到的數(shù)列為等差數(shù)列的概率為.故選：A7．C【分析】由正弦定理，結(jié)合題意，可得邊的等量關(guān)系與角的不等關(guān)系，根據(jù)余強(qiáng)定理，可得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，，易知，即，設(shè)，則，，則，可得，所以是銳角三角形.故選：C.8．A【分析】對(duì)于命題①，通過(guò)考慮以原點(diǎn)為圓心的圓與橢圓上直線的位置關(guān)系來(lái)判斷；對(duì)于命題②，通過(guò)取雙曲線頂點(diǎn)，分析以原點(diǎn)為圓心的圓與雙曲線相關(guān)直線的位置關(guān)系來(lái)判斷.【詳解】判斷命題①：已知過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作以原點(diǎn)為圓心的圓的切線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，連接.根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)與圓相切時(shí)，滿足給定條件.當(dāng)與圓相交時(shí)，因?yàn)閳A的圓心是固定的原點(diǎn)，我們可以通過(guò)縮小圓的半徑，使得圓逐漸靠近，直到與圓相切；同理，當(dāng)與圓相離時(shí)，擴(kuò)大圓的半徑，也能使圓靠近直至相切.所以從直線與圓位置關(guān)系的動(dòng)態(tài)調(diào)整角度可知，一定能找到合適的圓半徑使得與圓相切，故①正確.

判斷命題②：當(dāng)在雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)作圓的切線，交雙曲線于另外兩點(diǎn)，.由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線在頂點(diǎn)附近的形狀特點(diǎn)決定了，過(guò)頂點(diǎn)作圓的切線與雙曲線相交得到的線段，其整體位置與以原點(diǎn)為圓心的圓是相離的.這是因?yàn)殡p曲線的漸近線性質(zhì)以及頂點(diǎn)處的曲線走向，使得從頂點(diǎn)出發(fā)的切線與雙曲線相交形成的線段不會(huì)與圓相切，所以②不正確.

故選：A.9．BD【分析】利用百分位數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；利用獨(dú)立性檢驗(yàn)可判斷B選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的期望和方差公式可判斷C選項(xiàng)；利用回歸分析可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，在的獨(dú)立性檢驗(yàn)中，若不小于對(duì)應(yīng)的臨界值，可以推斷兩變量不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，隨機(jī)變量，若，，解得，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，以擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)代換后的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，即，可得，故，，D對(duì).故選：BD.10．ABD【分析】根據(jù)向量投影的概念判斷A；利用兩點(diǎn)間距離結(jié)合倍角公式判斷B；結(jié)合向量的運(yùn)算，確定P點(diǎn)軌跡，可判斷C；利用三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可判斷D.【詳解】由題意知，則在上的投影向量為，故A正確；因?yàn)?，，所以，故B正確；當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為時(shí)，，所以，點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，長(zhǎng)度為，故C錯(cuò)誤；由于，則，則，其最大值為，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確，故選：ABD.11．BD【分析】先由題意讀出，建立關(guān)于它們的等量關(guān)系，從而求出的值，進(jìn)而求出根據(jù)三角函數(shù)由圖像求解析式的思路依次求出和的值，得出的解析式，即可判斷AB；CD需根據(jù)圖像特征結(jié)合幾何平行和垂直的判定方法和手段進(jìn)行分析處理.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，又，平方得，即，所以，即，因?yàn)?，解得，故，即，所以，則，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，B符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作圖象的切線，斜率為，連線的斜率，連線的斜率,過(guò)點(diǎn)D作交x軸于M，則該直線一定交于，再在平面上，過(guò)M作平行于的直線交于，此時(shí)面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若均在上，由可知，平行于x軸，此時(shí)，若均在上，作于點(diǎn)E，則，又，從而面，故，而，因此，在圖1中作直線，則為與的交點(diǎn)，不妨設(shè)為與在y軸右側(cè)最近的兩個(gè)交點(diǎn)，則此時(shí)的最小值為，若不在同一個(gè)面上，此時(shí)，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及未知點(diǎn)（或動(dòng)點(diǎn)）的平行（或垂直）關(guān)系求未知點(diǎn)（或動(dòng)點(diǎn)）的位置或軌跡時(shí)，抓住平行（或垂直）的不變性和定點(diǎn)以及定直線作相應(yīng)的平行面或垂面可助于找到未知點(diǎn)（或動(dòng)點(diǎn)）的位置或軌跡.12．1【分析】法1：根據(jù)二項(xiàng)式定理的定義，寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)，利用賦值法，可得答案；法2：根據(jù)多項(xiàng)式乘法，結(jié)合組合的計(jì)數(shù)原理，結(jié)合題意，可得答案.【詳解】法1：因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，解得.法2：的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為從4個(gè)因式中1個(gè)取，其余3個(gè)取，即常數(shù)項(xiàng)為，由，解得.故答案為：.13．9【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得，再應(yīng)用“1”的代換及基本不等式求最小值，注意取值條件.【詳解】由題設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為9.故答案為：914．【分析】分析可知為外接球的直徑，做輔助線，可知，設(shè)，可得，結(jié)合兩角和公式列式求解即可.【詳解】由題意可知：外接球的球心，且平面，即為外接球的直徑，，設(shè)平面，可知為等邊的中心，取的中點(diǎn)，連接，則，可知二面角的平面角為，設(shè)，則，，因?yàn)?，即，又因?yàn)?，且，則，解得，所以的邊長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題只說(shuō)明兩個(gè)正三棱錐共底面，沒(méi)有說(shuō)明兩個(gè)正三棱錐全等，不可以利用對(duì)稱性解題.15．(1)；(2).【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系，和角正弦公式及三角形內(nèi)角和性質(zhì)，即可求角；（2）由題設(shè)，應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算律、基本不等式求得，再應(yīng)用余弦定理求邊的最小值．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，故，因?yàn)椋?，，所以，又，所以．?）因?yàn)檫叺闹芯€長(zhǎng)為2，所以，兩側(cè)平方可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以，可得，所以的最小值為．16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系可得，即可結(jié)合線面垂直的判定求解，（2）由二面角的平面角和線面角知識(shí)結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】（1）由于平面平面故因?yàn)?，所以底面為直角梯形，故，過(guò)，且與相交于，則，又，故,所以,由于平面，，所以平面，（2）由題意可知，過(guò)作的垂線，垂足為,連接,由于平面平面故，平面，故平面，平面，故，故為二面角的平面角，所以從而.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值，根據(jù)即可求解，（2）構(gòu)造和，求導(dǎo)，得函數(shù)單調(diào)性，求解最值得解.【詳解】（1），由，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使有2個(gè)零點(diǎn)，只需，得證；（2）由已知，，設(shè)，由，則，將代入，則，結(jié)合，所以，設(shè)，則，設(shè)，則，，由，則，即在上單調(diào)遞增，，所以，則在上單調(diào)遞增，則，所以的最大值；18．(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）結(jié)合題意與全概率公式得到，再結(jié)合等比數(shù)列的定義求解通項(xiàng)公式即可.（2）結(jié)合題意得到，，再利用遞推式得到，再求出對(duì)應(yīng)事件的概率，得到分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，得到，即．（2）當(dāng)時(shí)，，①，②由①－②得，，而，可得，結(jié)合題意得到，故，則，遞推可得，則，而的可能取值為，則，，則的分布列為：012故．19．(1)(2)①三點(diǎn)的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列；②，【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再結(jié)合點(diǎn)斜式得到切線方程即可.（2）①結(jié)合上問(wèn)結(jié)論求出的方程，再結(jié)合求出，再結(jié)合在上和在拋物線上得到，進(jìn)而判斷三點(diǎn)縱坐標(biāo)成等差數(shù)列即可.②利用已知結(jié)論結(jié)合平行線分線段成比例的性質(zhì)得到，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得到，最后表示出，利用等比數(shù)列求和公式對(duì)其求和，證明不等式即可.【詳解】（1）由題可得，則，故點(diǎn)處的切線方程為