試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第13題橢圓中的向量問題（一題多解）（2025·江西贛州·二模）橢圓的右焦點為，上頂點為，直線與橢圓交于兩點.若，則的斜率的取值范圍是______.運用點差法求解中點弦的斜率，由弦的中點在橢圓內(nèi)，得到，由，構(gòu)造函數(shù)求解最值.令，，又，，由，作差得，則

①，又，，，由，所以，整理得②，將②代入①，可得的斜率，因為的中點在橢圓內(nèi)，所以，整理可得，即，所以，令，且在上單調(diào)遞增，值域為，所以.即.另解：由，得，由.即.故答案為：.1．已知橢圓的上焦點為，右頂點為B，斜率為的直線l交橢圓于，兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A．或 B． C． D．【答案】D【分析】延長交于點M，可得點M為的中點，設(shè).根據(jù)點為的重心，列方程可求得點的坐標.由點差法可得.將代入整理得，再結(jié)合即可求解.【詳解】延長交于點M，所以點M為的中點，設(shè).因為，點為的重心，所以即，所以.因為點在橢圓上，所以，兩式相減得，即，整理得.因為，所以，即，所以，解得或.又因為，所以，，所以.故選：D.2．已知為橢圓的右焦點，過點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，P為AB的中點，O為坐標原點，若△OFP是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，且外接圓的面積為，則橢圓C的長軸長為（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】由外接圓面積求半徑，應(yīng)用正弦定理求中的，結(jié)合已知有，根據(jù)中點弦，應(yīng)用點差法有即可求橢圓的長軸長.【詳解】由外接圓的面積為，則其外接圓半徑為.∵是以為底邊的等腰三角形，設(shè)，則，∴，得，∴或.不妨設(shè)點在軸下方，由是以為底邊的等腰三角形，知：或設(shè)，則，，所以，所以，因為四點共線，為線段的中點，所以，，所以，所以或（此時焦點在軸上，舍去）∵為橢圓的右焦點，，∴，故橢圓的長軸長為.

故選：B.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中解決弦的中點相關(guān)問題，經(jīng)常利用點差法解決.利用直線的參數(shù)方程，由中點弦得到互為相反數(shù)，得到直線的斜率，構(gòu)造基本不等式求解最值.設(shè)為中點，所以，又，，所以，直線的參數(shù)方程可寫為：（為參數(shù)），即，所以，設(shè)對應(yīng)的參數(shù)為對應(yīng)的參數(shù)為，所以，即，所以，所以，即，.即.故答案為：.3．過點作傾斜角為的直線l與橢圓交于A、B兩點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：由橢圓的性質(zhì)，結(jié)合直線的參數(shù)方程求解即可．法二：由直線與橢圓相交，利用縱坐標與傾斜角來計算長度，也可得到線段之積與縱坐標關(guān)系，然后利用韋達定理求解.【詳解】法一：設(shè)直線的參數(shù)方程為，其中t為參數(shù)，代入橢圓方程可得：，則，則故選：A.法二：設(shè)直線方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，消去得：，整理得：，設(shè)交點則有則故選：A.4．已知橢圓為橢圓的右焦點，曲線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線與橢圓的兩個交點且，其中與關(guān)于x軸對稱，設(shè)直線為代入橢圓，應(yīng)用韋達定理結(jié)合求參數(shù)a，即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，橢圓右焦點，且曲線恒過，不妨令，對于直線與橢圓的兩個交點，其中與關(guān)于x軸對稱，所以，即，故，令直線為代入橢圓方程整理得：，則，，而，，則，可得（負值舍），所以.故選：A利用橢圓的參數(shù)方程，由向量和三角函數(shù)的恒等變換，得，即可求解斜率的范圍.設(shè)，，，，則，，.又，則，所以，即，所以，得，則，即.故答案為：.5．設(shè)橢圓上有一弦長，則的面積的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)，，再設(shè)，，由得到的范圍，再由計算可得.【詳解】設(shè)，，則，設(shè)，，則，，所以，，所以，即，故，又，即．故答案為：6．若橢圓的焦點在y軸上，過點作圓的切線，切點分別為A、B，直線AB恰好和橢圓只有一個交點，則橢圓內(nèi)接矩形面積最大時的離心率是.【答案】【分析】由題意，AB是圓與以為直徑的圓的公共弦所在直線，可求出直線AB方程，利用橢圓參數(shù)方程表示橢圓上點到直線AB的距離，當(dāng)時，直線和橢圓相切，再橢圓內(nèi)接矩形面積為，利用基本不等式可得時面積最大，從而得解.【詳解】設(shè)，圓的圓心，則AB是圓與以為直徑的圓的公共弦所在直線，以為直徑的圓的方程為，即，兩圓方程相減，得直線AB方程為：，設(shè)橢圓上的點為，到直線AB的距離為.由于直線和橢圓相切，因此得當(dāng)時，d取得最小值，且最小值為0，所以.橢圓內(nèi)接矩形面積為.所以面積的最大值為.由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以離心率.故答案為：7．直線與橢圓交于A、B兩點（點在第一象限），過點作軸的垂線，垂足為E，AE的中點為，設(shè)直線與橢圓的另一交點為，若，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)向量數(shù)量積運算，三點共線，由點差法即可求解.【詳解】設(shè)，則，，，，①，三點共線，，②，在橢圓上，，兩式相減可得，③將①②代入③可得，，，所以橢圓的離心率.故選：A【點睛】方法點睛：點差法是解決圓錐曲線與直線的關(guān)系中常用到的一種方法.當(dāng)直線與圓錐曲線相交的問題涉及到相交弦的中點或與中點坐標相關(guān)的條件時，宜應(yīng)用點差法求解，即將直線被圓錐曲線截得的弦的兩端點坐標代入圓錐曲線方程，得到兩個等式，再將兩個等式作差，轉(zhuǎn)化得到弦的中點坐標與直線斜率的關(guān)系，進而解決問題.在解答圓錐曲線的某些問題時，若果能適時運用點差法，可以達到“設(shè)而不求”的目的，同時，還可以降低解題的運算量，優(yōu)化解題過程.8．已知橢圓的左焦點為，如圖，過點作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，若（為坐標原點），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出點坐標，利用點差法求得，可求橢圓離心率.【詳解】橢圓的左焦點為，，過作軸，垂足為，由，得，，有，設(shè)，則有，，由，兩式相減得，則有，所以.故選：D【點睛】方法點睛：由直線傾斜角為且，得，利用中點弦問題的點差法得，通過構(gòu)造齊次方程法求離心率的值.9．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點，，在橢圓上，且，，三點共線，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意設(shè)出直線的方程為并于橢圓聯(lián)立，利用弦長公式求得，由可知點是線段的垂直平分線和軸的交點，求出線段的垂直平分線方程可得，即可求得，代入即可求出.【詳解】如下圖所示：易知，設(shè)過的直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得，因為焦點在橢圓內(nèi)部，則直線與橢圓必有兩交點，由韋達定理可得，所以；由可得，點在線段的垂直平分線上，又易知，關(guān)于軸對稱，即點是線段的垂直平分線和軸的交點；設(shè)的中點為，易知，易知線段的垂直平分線的斜率存在且為，所以可得直線的方程為，令，可得，即；所以，因此可得.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用三條線段長度相等確定點是線段的垂直平分線和軸的交點，求出線段的垂直平分線方程解得點坐標，求出表達式即可求得結(jié)果.10．已知是拋物線的焦點，過點且斜率為2的直線與交于兩點，若，則.【答案】4【分析】法一：設(shè)出的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，利用焦半徑得到，從而列出方程，求出答案；法二：寫成直線的參數(shù)方程，代入拋物線方程，利用參數(shù)的幾何意義得到方程，求出答案.【詳解】法一：由題意，故的方程為，與的方程聯(lián)立得，顯然，設(shè)，則，所以，又，所以，所以.法二：直線的斜率為2，設(shè)其傾斜角為，則，故，故直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，整理得，，顯然，設(shè)該方程的兩根為，則，則，所以.

故答案為：411．設(shè)點P為圓上的一動點，點Q為橢圓上的一動點，則的最大值為.【答案】【詳解】利用三角換元結(jié)合距離公式可求，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.【分析】設(shè)，圓的圓心，則，因為，故時取最大值為，進而的最大值為．故答案為：12．已知點M是橢圓上的一動點，點T的坐標為，點N滿足，且，則的最小值是．【答案】【分析】由題意確定點N在以為圓心，1為半徑的圓上運動，由此可得當(dāng)最小時，取得最小值；利用橢圓的參數(shù)方程進行三角代換，求得的最小值，即可求得答案.【詳解】由題意可知點T的坐標為，點N滿足，故點N在以為圓心，1為半徑的圓上運動，由于，故,則當(dāng)最小時，取得最小值；由于點M是橢圓上的一動點，設(shè)，則，由于，故當(dāng)時，取到最小值為，即的最小值為，故答案為：【點睛】本題考查了橢圓中最值問題的求解，涉及到橢圓的參數(shù)方程以及三角函數(shù)和二次函數(shù)的相關(guān)知識，綜合性較強，解答時要注意數(shù)形結(jié)合，利用橢圓的參數(shù)方程進行三角代換，綜合利用相關(guān)知識解決問題.13．已知為坐標原點為橢圓上三點，且，，直線與軸交于點，若，則的離心率為.【答案】##【分析】借助點差法計算可得，結(jié)合題意計算可得，即可得離心率.【詳解】取的中點，設(shè)，，，，則．∵，在橢圓上，∴，兩式相減得，即，∴．∵，∴，連接，則，∴，∴，∴．∵，∴，又，，∴，得．∴，∴，即，∴的離心率.故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是利用點差法得到，采用設(shè)而不求的思想處理這類問題是比較好的方法.14．已知直線與橢圓在第一象限交于P，Q兩點，與軸，軸分別交于M，N兩點，且滿足，則的斜率為.【答案】##【分析】不妨設(shè)P在Q的左側(cè)，取的中點，根據(jù)點差法可得，再根據(jù)對勾函數(shù)可知，分析可得，即可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，不妨設(shè)P在Q的左側(cè)，取的中點，設(shè)，則，可得直線的斜率，直線的斜率，因為在橢圓上，則，兩式相減得，整理得，即，可知，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，由可得，即，整理得，可知為的中點，則，可知，結(jié)合可得，且，則，檢驗符合題意，所以直線的斜率為.故答案為：.【點睛】方法點睛：弦中點問題的解決方法對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意使用條件，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交．15．已知曲線:，過的直線與曲線相交于，兩點.(1)求曲線的極坐標方程和直線的1種參數(shù)方程；(2)求值.【答案】(1)曲線的極坐標方程，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）(2)4【分析】（1）把代入橢圓方程可求得極坐標方程；設(shè)直線的傾斜角為，可求得直線的參數(shù)方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入橢圓的方程，利用的幾何意義可求解.【詳解】（1）因為，所以，解得，設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）由（1）知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；代入雙曲線方程可得，整理得，所以，所以.16．在直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為．(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；(2)設(shè)點，若直線與曲線交于A，B兩點，求三角形POA和三角形POB面積乘積的值．【答案】(1)普通方程為，直角坐標方程為(2)【分析】（1）平方消去參