試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第14題計數(shù)原理中的代數(shù)問題（一題多解）（2025?全國?模擬預(yù)測）從這10個數(shù)中任取4個不同的數(shù)，，則存在，使得的取法種數(shù)為（）A.195

B.154

C.175

D.185利用正難則反的思想，對于題干條件，先假設(shè)，若不存在，使得，可得，進而結(jié)合組合學知識求解.存在，使得表示所取的4個數(shù)中總有相鄰的數(shù)，直接求解較復雜，考慮正難則反的方法．假設(shè)，若不存在，使得，則，所以符合條件的取法種數(shù)為．故選：C．1．將大小相同的8個小球排成一排，其中4個紅球，4個黑球，從左至右依次編號為1，2，…，8，則紅球的編號之和小于黑球的編號之和的排法有種.【答案】31【分析】利用間接法即可求解.【詳解】不考慮編號，任選4個號碼，有種.下面考慮黑球和紅球編號相等的情況：①將編號分為4組：，，和，從中任選2組，有種；②將編號分為2組：和，分別是黑球或紅球的編號，有2種.除此之外，“紅球的編號之和小于黑球的編號之和”與“紅球的編號之和大于黑球的編號之和”的排法數(shù)相同，又，故紅球的編號之和小于黑球的編號之和的排法有31種．故答案為：31.2．從八個連續(xù)整數(shù)中任取三個數(shù)，若取出的三個數(shù)中任意兩個數(shù)之差不為1，則這樣的取法總數(shù)為．【答案】20【分析】先求出八個連續(xù)整數(shù)任選3個數(shù)的情況數(shù)，再分別求出三個連續(xù)數(shù)和三個數(shù)中只有兩個數(shù)連續(xù)的個數(shù)，相減可得答案.【詳解】八個連續(xù)整數(shù)不妨設(shè)為1,2,3,4,5,6,7,8,先任選3個數(shù)，有種取法，其中三個連續(xù)數(shù)有6種，分別為1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8；三個數(shù)中只有兩個數(shù)連續(xù)，比如1,2，剩余第三個數(shù)需從4,5,6,7,8中任選1個，有5種，同理7,8，剩余第三個數(shù)需從1,2,3,4,5中任選1個，有5種，比如2,3，剩余第三個數(shù)需從5,6,7,8中任選1個，有4種，同理，3,4；4,5；5,6；6,7均有4種，所以此時共有種，綜上，從八個連續(xù)整數(shù)中任取三個數(shù)，若取出的三個數(shù)中任意兩個數(shù)之差不為1，共有種選法．故答案為：20．將問題轉(zhuǎn)化為把6個相同的白球與4個相同的紅球排成一行，要求只有2個紅球相鄰，結(jié)合插空法運算求解.若存在，使得，則所取的4個數(shù)中至少有2個是連續(xù)正整數(shù)，若只有2個是連續(xù)正整數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為把6個相同的白球與4個相同的紅球排成一行，要求只有2個紅球相鄰，先把6個白球排成一行，再用插空法排紅球，排法種數(shù)為．同理可得若只有3個是連續(xù)正整數(shù)，排法種數(shù)為．若4個都是連續(xù)正整數(shù)，排法種數(shù)為7．若4個數(shù)中有2個是連續(xù)正整數(shù)，另外2個也是連續(xù)正整數(shù)，但這4個數(shù)不是4個連續(xù)正整數(shù)，則排法種數(shù)為．所以符合條件的取法種數(shù)為．故選：C．3．小王、小張兩人進行象棋比賽，共比賽2n（）局，且每局小王獲勝的概率和小張獲勝的概率均為.如果某人獲勝的局數(shù)多于另一人，則此人贏得比賽.記小王贏得比賽的概率為，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．隨著n的增大而增大【答案】B【分析】小王至少贏局，小王贏得比賽的概率為，進而逐項判斷即可.【詳解】由題意知，要使小王贏得比賽，則小王至少贏局，因為每局贏的概率是相同的，所以服從二項分布，由二項分布的概率公式可得贏局的概率為，贏局的概率為，，贏局的概率為，小王贏的概率為有，有，，，，可知選項A，C正確，選項B錯誤；由，又由，可得，可知D選項正確.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：由題設(shè)得到，利用二項式各項系數(shù)和的性質(zhì)判斷可得結(jié)論.4．將一顆骰子連續(xù)拋擲三次，向上的點數(shù)依次為，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取定中的一個值，考查另外兩次拋擲骰子的樣本點數(shù)，利用分類加法計數(shù)原理和古典概型概率公式計算即得.【詳解】考慮取定的值，分類統(tǒng)計事件“”所含的樣本點數(shù)，將對應(yīng)的值作為一個數(shù)組，列表如下：1234561（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）4（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）5（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）6（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）第一類：時，滿足“”的樣本點有個；第二類：時，滿足“”的樣本點有個；第三類：時，滿足“”的樣本點有個；第四類：時，滿足“”的樣本點有個；第五類：時，滿足“”的樣本點有個；第六類：時，滿足“”的樣本點有1個.由分類加法計數(shù)原理，滿足“”的樣本點共有：個，而一顆骰子拋擲一次有6種結(jié)果，拋擲三次有個樣本點，因結(jié)果有限，且每個樣本點發(fā)生的可能性相等，故是古典概型.則“”的概率為.故選：D.【點睛】思路點睛：本題主要考查計數(shù)原理和古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于較難題.因同時考慮拋擲三次骰子出現(xiàn)的不同結(jié)果較復雜，故可采取取定一次拋擲結(jié)果，分析討論另外兩次拋擲結(jié)果中符合題意的樣本點，即可化繁為簡，達到解題的目的.5．驗證碼就是將一串隨機產(chǎn)生的數(shù)字或符號生成的一幅圖片．圖片里加上一些干擾像素（防止），由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗證，驗證成功后才能使用某項功能．很多網(wǎng)站利用驗證碼技術(shù)來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全．在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗證碼由中的5個數(shù)字隨機組成．將中間數(shù)字最大，然后向兩邊遞減的驗證碼稱為“鐘型驗證碼”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一個“鐘型驗證碼”，則該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題可以先確定中間數(shù)字的所有可能取值，再分別計算中間數(shù)字是7的情況數(shù)以及總的情況數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式（其中是包含的基本事件個數(shù)，是基本事件總數(shù)）計算概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗證碼”中間數(shù)字最大，然后向兩邊遞減，所以中間的數(shù)字可能是．當中間是4時，其他4個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．當中間是5時，其他4個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．當中間是6時，其他4個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．當中間是7時，其他4個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．當中間是8時，其他4個數(shù)字可以是，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．當中間是9時，其他4個數(shù)字可以是，8，選其中兩個排在左邊（排法唯一），另外兩個排在右邊（排法唯一），所以方法數(shù)有種．所以該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為．故選：A.6．一場數(shù)字游戲在兩個非常聰明的學生甲?乙之間進行，老師在黑板上寫出，2024共2023個正整數(shù)，然后隨意擦去一個數(shù)，接下來由乙?甲兩人輪流擦去其中一個數(shù)（即乙先擦去其中一個數(shù)，然后甲再擦去一個數(shù)），如此下去，若最后剩下的兩個數(shù)互為質(zhì)數(shù)（如2和3），則判甲勝；否則（如2和4），判乙勝，按照這種游戲規(guī)則，甲獲勝的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)裁判擦去的是奇數(shù)還是偶數(shù)分類考慮，分析得出若擦去的是奇數(shù)，則乙一定獲勝；若擦去的是偶數(shù)，則甲一定獲勝，由此根據(jù)古典概型概率公式計算即得.【詳解】由于甲、乙都非常聰明，他們獲勝的關(guān)鍵是要看裁判擦去哪個數(shù)，注意2，3，4，???，2024中有1011個奇數(shù)，1012個偶數(shù).（1）若裁判擦去的是奇數(shù)，則乙一定獲勝.理由如下：乙不管甲擦去什么數(shù)，只要還有奇數(shù)，就擦去奇數(shù)，這樣最后剩下兩個數(shù)一定都是偶數(shù)，從而所剩兩數(shù)不互質(zhì)，故乙勝.（2）若裁判擦去的是偶數(shù)，則甲一定獲勝.理由如下：設(shè)裁判擦去的是，則將余下的數(shù)配成1011對，每對數(shù)由一奇一偶的相鄰兩數(shù)組成：這樣，不管乙擦去什么數(shù)，甲只要擦去所配對中的另一個數(shù)，最后剩下兩個相鄰的整數(shù)，它們互質(zhì)，故甲必獲勝.甲獲勝的概率為.故選:B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念、數(shù)的整除性、概率公式，利用分類討論的思想是解答此題的關(guān)鍵.7．集合且，集合且，用表示集合X中的元素個數(shù)，則（

）A．100 B．200 C．260 D．300【答案】B【分析】分、、、討論的取值可能種數(shù)，結(jié)合組合數(shù)的計算即可得，分、、、討論的取值可能種數(shù)即可得的取值可能種數(shù)，從而可得，即可得解.【詳解】根據(jù)題意，對于：當時，都可以選出0，1，2，3中任意取一個，則取法為；當時，都可以選出0，1，2中任意取一個，則取法為；當時，都可以選出0，1中任意取一個，則取法為；當時，均取0，則取法為，此時；對于：當時，可取1，2，3，4之一，有種取法；當時，可取2，3，4之一，有種取法；當時，可取3，4之一，有種取法；當時，只能取4，有種；∴的取值只有種，同理可知也只有10種，于是；故.故選：B．8．將20個大小，材質(zhì)均相同的小球分別編號為1，2，3，…，20，將這20個小球隨機分裝到甲，乙兩個盒子中，每個盒子裝10個小球，設(shè)甲盒中小球的最小編號為a，最大編號為b，乙盒中小球的最小編號為c，最大編號為d，則“”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出將這20個小球隨機分為兩組放入甲，乙兩個盒子中的方法數(shù)，再假設(shè)1號在甲盒中，推出編號從1到7的小球，13號小球在甲盒中，情況數(shù)為，甲盒與乙盒互換，同樣有6種情況，共有12種滿足要求，從而計算出概率.【詳解】將這20個小球隨機分為兩組放入甲，乙兩個盒子中，共有種方法，假設(shè)1號在甲盒中，則甲盒中小球的最大編號為13，故20號小球在乙盒中，乙盒中小球最小編號為8，從而編號從1到7的小球均在甲盒中，9,10,11,12號小球有任意2個在甲盒中，滿足要求的情況數(shù)為，將甲盒與乙盒互換，同樣有6種情況，綜上，共有種，滿足要求，所以“”的概率為.故選：C9．若為的任意排列，設(shè)，，則（

）（已知表示中最小的數(shù)，表示中最大的數(shù)）A．排列總數(shù)為個 B．滿足的排列有80個C．的概率小于 D．的概率為【答案】D【分析】在深刻理解題意的基礎(chǔ)上對每個選項逐一判斷.其中選項A是全排列問題，選項B需要先選后排，選項C，D列一列再研究即可.【詳解】對于A，的任意排列方法總數(shù)為個，故A錯誤，對于B，若，則先從中隨機選出3個數(shù)，共有種不同的方法，再將剩下3個數(shù)任意排列，共有種不同的方法，則滿足的排列有個，故B錯誤；對于C，D，因為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，所以共有10種不同的情況，則的概率為，故C不正確；而的情況有種，故的概率為，故D正確.故選：D.10．某節(jié)目要從三名男演員和六名女演員中選出兩人，并安排一人做領(lǐng)唱，另一人做領(lǐng)舞，且領(lǐng)唱者或領(lǐng)舞者至少有一人是女性，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．64 B．66 C．68 D．72【答案】B【分析】應(yīng)用間接法求2人至少有一人是女性的不同選法數(shù)，再將2人全排列，并應(yīng)用分步乘法求結(jié)果.【詳解】從9人任選2人有種，若所選2人都是男性有種，故2人至少有一人是女性有種，所以不同的安排方法種數(shù)為.故選：B11．2025年3月1日起，《新能源汽車運行安全性能檢驗規(guī)程》正式實施，新能源汽車的動力蓄電池安全充電檢測和電氣安全檢測成為必檢項目．現(xiàn)將九款新能源汽車分別編號為1，2，3，…，9，從中隨機抽取四款汽車進行檢測，則使得抽出的汽車號碼存在連續(xù)編號的取法種數(shù)為．【答案】111【分析】先由題設(shè)得到取出的四個不同從小到大的號碼所滿足的條件，再運用間接法即可計算求解.【詳解】設(shè)取出的號碼