1【摘要】:在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法，本文主要針對高中數(shù)學(xué)中有關(guān)一元二次方程根的分布問題給出詳細的解決方法，解決一元二次方程根的分布問題要借助于其對應(yīng)的一元二根據(jù)一元二次方程根的分布情況找到其對應(yīng)的一元二次函數(shù)的零點的分布情況，再畫出對應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象，此時需要應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)手段，畫出并展示出對應(yīng)一元二次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找到對應(yīng)情況的充要條件，列出不等式(組),解出不等式(組),從而使一元二次方程根的分布問題得到解【關(guān)鍵詞】:一元二次方程根的分布，一元二次函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，現(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，而解決一元二次方程根的分布問題就需要用到數(shù)形結(jié)合的思想，下面我們具體來看下一元二次方程根的分布問題應(yīng)如何快速解決。設(shè)方程ax2+bx+c=0(a≠0,△>0)有不相等的兩根為x1,x2,且xi<x2,相應(yīng)的二次函數(shù)為f(x)=ax2+bx+c,方程的根即為二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，它們的分布情況見下面各表(每種情況對應(yīng)的均是充要條件).表1:(兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況)分布情況兩個負(fù)根即兩根都小于0X10,x20兩個正根即兩根都大于0(xi>0,x?>0)一正根一負(fù)根即一個根小于0,一個根大于0(xi<0<x2)大致圖象得出的結(jié)論大致圖象2得出的結(jié)論口b綜合結(jié)論(不討論a)表2:(兩根與k的大小比較)分布情況兩根都小于k即xi<k,兩根都大于k即一個根小于k,一大致圖象得出的結(jié)論大致圖象得出的結(jié)論綜合結(jié)論(不討論a)3表3:(根在區(qū)間上的分布)分布情況兩根都在m,n內(nèi)(p,q)內(nèi)，m<n<p<q大致圖象得出的結(jié)論ffff□fmnPfpqqqff大致圖象得出的結(jié)論綜合結(jié)論(不討論a)9口m4內(nèi)，即4=0,此時由4=0給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù).例1.已知函數(shù)f(x)=x2+(m-2)x+5-m.(1)方程f(x)=0的一根在區(qū)間(2,3)內(nèi)，另一根在區(qū)間(3,4)內(nèi)，求實數(shù)m的取(2)方程f(x)=0的兩個不等根都在區(qū)間(1,+￥)上，求實數(shù)m的取值范圍.【分析】(1)根據(jù)零點存在定理得到f(2)f(3)<0且f(4)f(3)<0,代入數(shù)據(jù)解得答案.(2)根據(jù)題意得到D>0且函數(shù)對稱軸大于1,結(jié)合f(1)>0得到答案.解：(1)根據(jù)零點存在定理：f(2)f(3)<0且f(4)f(3)<0,即(m+5)(2m+8)<0,且(3m+13)(2m+8)<0,解得例2.已知方程x2+ax+2=0.5(1)若方程的兩根a、b滿足a<3<b,求實數(shù)a的取值范圍；(2)若方程的兩個不相等的實數(shù)根都小于-1,求實數(shù)a的取值范圍.【分析】(1)結(jié)合a<3<b列不等式來求得a的取值范圍.(2)結(jié)合方程x2+ax+2=0的兩個不相等的實數(shù)根都小于-1來求得a的取值范圍.方程x2+ax+2=0的兩個不相等的實數(shù)根都小于-1,,解得2例3.設(shè)m為實數(shù)，若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一個根在區(qū)間(0,1)內(nèi)，另一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍.【分析】設(shè)函數(shù)f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,利用零點存在定理列不等式組，解出m的范圍.解：設(shè)函數(shù)f(x)=7x2-(m+13)x-m-2.例4.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mx+m,其中mlR.6【分析】根據(jù)f(x)函數(shù)性質(zhì)：開口方向、判別式，討論對稱軸與給定區(qū)間的位置情況，結(jié)合區(qū)間零點個數(shù)列不等式組，求參數(shù)的取值范圍.解：由題設(shè)，f(x)開口向上且對稱軸為D=m2-4m,當(dāng)D>0,即m<0或m>4時，要使f(x)在I-1,2]上有唯一的零點，只需(2)由題設(shè)D>0,即m<0或m>4,或或例5.已知函數(shù)f(x)=x2+2(m+1)x+2m+6.(1)若方程f(x)=0有兩個正根.求m的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)至少有一個大于-2的零點，求m的取值范圍.【分析】(1)由判別式D30,兩根之和大于0,兩根之積大于0列不等式組，解不等式組(2)分兩種情況討論：①f(x)的兩個零點一個大于-2,一個小于等于-2,②f(x)的兩個零點均大于-2,由二次函數(shù)根的分布列不等式組即可求解.解：(1)設(shè)f(x)=0的兩根分別為x?,x?,7所以-3<mE-√5,(2)①若f(x)的兩個零點一個大于-2,一個小于等于-2,則f(-2)=4-4(m+1)+2m+6=6②f(x)的兩個零點均大于-2,綜上所述，m的取值范圍為(-￥,·√5F(3,+Y).例6.已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有兩根，其中一根在區(qū)間【分析】把方程根的問題轉(zhuǎn)化為拋物線與x軸的交點問題，根據(jù)題意畫出圖像，判斷函數(shù)值得符號即可；解：(1)由題設(shè)知拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸示意圖如圖1-1所示.得圖1-1例7.關(guān)于x的方程x2-2(m-1)x+m+11=0,當(dāng)m分別在什么范圍取值時，方程8【分析】令二次函數(shù)f(x)=x2-2(m-1)x+m+11,(1)根據(jù)題意可,解不等式組即可得出答案；(2)根據(jù)題意可得,解不等式組即可得出答案；(3)根據(jù)題意可,