2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專(zhuān)業(yè)題庫(kù)——數(shù)學(xué)在社會(huì)疾病學(xué)研究中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。2.所有計(jì)算題請(qǐng)寫(xiě)出必要的計(jì)算過(guò)程。3.論述題請(qǐng)條理清晰，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。一、簡(jiǎn)述概率論中條件概率的定義及其與全概率公式、貝葉斯公式的聯(lián)系。請(qǐng)舉例說(shuō)明貝葉斯公式在疾病診斷中的應(yīng)用場(chǎng)景。二、某城市近期發(fā)生了一起不明原因的呼吸道疾病爆發(fā)。衛(wèi)生部門(mén)收集了以下信息：該市總?cè)丝跒?00萬(wàn)，過(guò)去一周新增確診病例200例，已知該疾病的潛伏期為1-2周。假設(shè)潛伏期內(nèi)的感染者不具有傳染性，且疾病的傳染期為1周。請(qǐng)根據(jù)現(xiàn)有信息，估算該疾病的：1.感染者比例（Prevalence）。2.發(fā)病率（IncidenceRate），假設(shè)觀察期為1周。3.如果已知該疾病的平均潛伏期為1.5周，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)，能否初步判斷該疾病的主要傳播途徑是接觸傳播（假設(shè)接觸傳播的潛伏期通常較長(zhǎng)）？請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。三、描述性統(tǒng)計(jì)分析在疾病監(jiān)測(cè)中扮演著重要角色。假設(shè)某醫(yī)生收集了其診所過(guò)去一年接診的流感樣病例（ILI）數(shù)據(jù)，共有150個(gè)病例。記錄了每個(gè)病例的年齡（單位：歲）和就診日期（僅記錄月份）。請(qǐng)回答：1.為了了解診所就診者年齡的整體分布情況，醫(yī)生可以選擇哪些描述性統(tǒng)計(jì)量？請(qǐng)說(shuō)明選擇理由。2.如果醫(yī)生想比較不同月份（如冬季vs.春季）流感樣病例的年齡分布是否存在顯著差異，他應(yīng)該采用什么統(tǒng)計(jì)方法？請(qǐng)簡(jiǎn)述該方法的基本原理。3.在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析前，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行哪些方面的整理和檢查是必要的？請(qǐng)列舉至少三項(xiàng)。四、微分方程模型是研究疾病傳播動(dòng)力學(xué)的重要工具。SIR模型是一個(gè)經(jīng)典的模型，它將人群分為易感者（S）、感染者（I）和康復(fù)者（R）三個(gè)狀態(tài)。模型的基本方程如下：```dS/dt=-βSI/NdI/dt=βSI/N-γIdR/dt=γI```其中，N是總?cè)巳簲?shù)，β是傳染率，γ是康復(fù)率。1.請(qǐng)解釋模型中每個(gè)方程的生物學(xué)意義。2.求解該模型，找出平衡點(diǎn)，并分析每個(gè)平衡點(diǎn)的意義（即無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)）。3.討論地方病平衡點(diǎn)的存在條件（即R0），并解釋R0的含義及其在疾病防控中的重要性。R0>1意味著什么？R0<1呢？五、假設(shè)研究者為了評(píng)估某項(xiàng)干預(yù)措施（如疫苗接種）的效果，進(jìn)行了一項(xiàng)隨機(jī)對(duì)照試驗(yàn)。他們將人群隨機(jī)分為兩組：干預(yù)組（接受疫苗接種）和對(duì)照組（不接受疫苗接種）。在干預(yù)措施實(shí)施前后的特定時(shí)間點(diǎn)，分別對(duì)兩組人群進(jìn)行疾病檢測(cè)，記錄患病情況。請(qǐng)回答：1.在設(shè)計(jì)這類(lèi)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)化和對(duì)照組的設(shè)置有哪些重要意義？2.如果研究者想比較兩組在干預(yù)后的疾病發(fā)病率是否存在顯著差異，可以考慮使用哪些統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法？請(qǐng)至少列舉兩種，并說(shuō)明其適用條件。3.除了發(fā)病率，研究者還可能關(guān)注哪些其他指標(biāo)來(lái)評(píng)估干預(yù)措施的效果？請(qǐng)舉例說(shuō)明。六、網(wǎng)絡(luò)分析已成為研究疾病傳播和擴(kuò)散的新興領(lǐng)域。在圖論中，節(jié)點(diǎn)代表個(gè)體或群體，邊代表個(gè)體間的接觸。請(qǐng)回答：1.請(qǐng)解釋圖論中的度中心性（DegreeCentrality）的概念，并說(shuō)明其在疾病傳播網(wǎng)絡(luò)分析中的意義。2.假設(shè)研究者構(gòu)建了一個(gè)描述人群接觸網(wǎng)絡(luò)的圖，圖中節(jié)點(diǎn)的度值反映了個(gè)體被感染的風(fēng)險(xiǎn)。請(qǐng)簡(jiǎn)述如何利用圖論方法識(shí)別網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（如“超級(jí)傳播者”或潛在的干預(yù)靶點(diǎn)）。3.描述網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征（如平均路徑長(zhǎng)度、聚類(lèi)系數(shù)）如何影響疾病的傳播速度和范圍？請(qǐng)結(jié)合具體例子進(jìn)行說(shuō)明。試卷答案一、條件概率P(A|B)表示在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。其定義式為P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(B)>0。全概率公式用于計(jì)算復(fù)合事件A的概率，當(dāng)事件B1,B2,...,Bn構(gòu)成一個(gè)完備事件組（即Bi∩Bj=?,i≠j且∑P(Bi)=1）時(shí)，P(A)=∑P(A|Bi)P(Bi)。貝葉斯公式是條件概率的逆否形式，用于根據(jù)已發(fā)生的觀測(cè)結(jié)果B來(lái)更新事件A的先驗(yàn)概率P(A)，計(jì)算后驗(yàn)概率P(A|B)=[P(B|A)P(A)]/P(B)。聯(lián)系在于，貝葉斯公式可以通過(guò)全概率公式來(lái)推導(dǎo)，是全概率公式的具體應(yīng)用，都涉及到條件概率的計(jì)算。貝葉斯公式在疾病診斷中的應(yīng)用：醫(yī)生根據(jù)患者的癥狀（B）和已知的疾病（A）的概率（先驗(yàn)概率P(A)）、癥狀出現(xiàn)的條件概率（P(B|A)），以及沒(méi)有疾病時(shí)癥狀出現(xiàn)的概率（P(B|?A)），結(jié)合先驗(yàn)知識(shí)和檢測(cè)結(jié)果，計(jì)算出患該疾病的后驗(yàn)概率P(A|B)，從而輔助診斷。二、1.感染者比例（Prevalence）=(過(guò)去一周新增確診病例)/(總?cè)丝?=200/1,000,000=0.0002=0.02%。2.發(fā)病率（IncidenceRate）=(過(guò)去一周新增確診病例)/(觀察期內(nèi)暴露人口)≈(過(guò)去一周新增確診病例)/(總?cè)丝?=200/1,000,000=0.0002=0.02周?1。注意：此處的發(fā)病率單位為“每周每千人”或“周?1”，表示每周每千人中新發(fā)病例數(shù)。更精確的計(jì)算需要考慮暴露人口，但題目未提供分年齡組數(shù)據(jù)或不同年齡組暴露率的信息。3.不能僅憑此數(shù)據(jù)初步判斷。理由：僅有的數(shù)據(jù)是過(guò)去一周的發(fā)病率（0.02周?1）和感染率（0.02%）。接觸傳播通常潛伏期較長(zhǎng)（>1周），而該疾病的主要傳播可能發(fā)生在潛伏期末或發(fā)病期。如果潛伏期是1.5周，那么當(dāng)前觀察到的主要是1.5周前感染的人發(fā)病，并不能直接反映當(dāng)前的接觸傳播強(qiáng)度。需要追蹤更長(zhǎng)時(shí)間的病例，或結(jié)合不同潛伏期病例的時(shí)間分布來(lái)分析傳播途徑。三、1.醫(yī)生可以選擇的描述性統(tǒng)計(jì)量包括：①集中趨勢(shì)度量（如均值、中位數(shù)、眾數(shù)）來(lái)描述年齡的平均水平或典型水平；②離散程度度量（如方差、標(biāo)準(zhǔn)差、四分位距）來(lái)描述年齡數(shù)據(jù)的波動(dòng)或變異性；③頻率分布（頻數(shù)、頻率、百分比）和百分比構(gòu)成圖（如條形圖、餅圖）來(lái)展示不同年齡段人數(shù)的分布情況。選擇理由：這些統(tǒng)計(jì)量能從不同角度全面刻畫(huà)就診者年齡的整體分布特征。2.醫(yī)生可以采用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（如果年齡服從正態(tài)分布且兩組方差齊性）或Mann-WhitneyU檢驗(yàn)（如果年齡不服從正態(tài)分布或方差不齊）來(lái)比較兩組（如冬季vs.春季）流感樣病例年齡分布是否存在顯著差異?；驹恚哼@些非參數(shù)或參數(shù)檢驗(yàn)方法通過(guò)比較兩組年齡樣本的統(tǒng)計(jì)量（如均值差或中位數(shù)差）與假設(shè)的零差異（即兩組年齡分布相同）之間的差異是否足夠大，來(lái)判斷這種差異是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)顯著性。3.數(shù)據(jù)整理和檢查的必要性包括：①核對(duì)數(shù)據(jù)完整性，檢查是否存在缺失值、異常值或邏輯錯(cuò)誤；②進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗，處理缺失值（如刪除、插補(bǔ)）和異常值（如識(shí)別并修正或刪除）；③檢查數(shù)據(jù)類(lèi)型是否正確；④對(duì)連續(xù)性變量進(jìn)行探索性分析，如繪制直方圖或核密度圖來(lái)觀察其分布形態(tài)，計(jì)算描述性統(tǒng)計(jì)量；⑤對(duì)分類(lèi)變量進(jìn)行探索性分析，如繪制頻數(shù)表或條形圖來(lái)觀察其構(gòu)成。四、1.方程dS/dt=-βSI/N的意義：表示單位時(shí)間內(nèi)易感者S轉(zhuǎn)化為感染者的速率與易感者S的數(shù)量、感染者I的數(shù)量以及總?cè)藬?shù)N的比例成正比。負(fù)號(hào)表示易感者數(shù)量隨時(shí)間減少。方程dI/dt=βSI/N-γI的意義：表示單位時(shí)間內(nèi)感染者I的變化率。βSI/N是新感染者的數(shù)量（易感者轉(zhuǎn)化為感染者），γI是康復(fù)者（移出感染者群體）的數(shù)量（感染者康復(fù)或死亡），兩者之差即為感染者數(shù)量的凈變化。方程dR/dt=γI的意義：表示單位時(shí)間內(nèi)康復(fù)者R的增加速率，等于感染者康復(fù)或死亡的數(shù)量。2.平衡點(diǎn)由dS/dt=0,dI/dt=0,dR/dt=0同時(shí)成立時(shí)確定。dS/dt=0?-βSI/N=0?SI=0?S=0或I=0。dI/dt=0?βSI/N-γI=0?I(βS/N-γ)=0?I=0或S=Nγ/β。dR/dt=0?γI=0?I=0。結(jié)合以上條件，平衡點(diǎn)為(S*,I*,R*)=(N,0,0)和(S*,I*,R*)=(0,0,N)。其中(N,0,0)表示所有個(gè)體均為易感者，沒(méi)有感染者，稱(chēng)為無(wú)病平衡點(diǎn)；(0,0,N)表示所有個(gè)體都已康復(fù)，稱(chēng)為病后免疫平衡點(diǎn)（或空病平衡點(diǎn)，取決于是否考慮移除）。分析：無(wú)病平衡點(diǎn)(N,0,0)是系統(tǒng)的一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，意味著如果疾病被引入一個(gè)小規(guī)模病例，由于沒(méi)有感染者，疾病將無(wú)法傳播而消失。病后免疫平衡點(diǎn)(0,0,N)表示疾病已在人群中流行并消失（假設(shè)康復(fù)者免疫且不再感染）。3.地方病平衡點(diǎn)(S*,I*,R*)≠(N,0,0)且I*>0。將dS/dt=0和dI/dt=0代入，得到S*=Nγ/β，I*=S*/(βI/γ)=(Nγ/β)/(β(Nγ/β)/N)=N/β。R*=N-S*-I*=N-Nγ/β-N/β=N(1-γ/β)。地方病平衡點(diǎn)的存在條件通常用基本再生數(shù)R0=β/γ來(lái)表示。R0的含義是每個(gè)感染者平均在其感染期內(nèi)能傳染給其他易感者的數(shù)量。R0<1意味著每個(gè)感染者平均傳染不到一個(gè)易感者，疾病會(huì)隨著時(shí)間推移而逐漸消失（趨向無(wú)病平衡點(diǎn)）。R0>1意味著每個(gè)感染者平均傳染超過(guò)一個(gè)易感者，疾病會(huì)持續(xù)存在并在人群中擴(kuò)散（趨向地方病平衡點(diǎn)）。R0是判斷疾病是否能夠持續(xù)傳播的關(guān)鍵閾值，也是制定防控策略的重要依據(jù)。五、1.隨機(jī)化：將參與者隨機(jī)分配到干預(yù)組和對(duì)照組，可以消除混雜因素的影響，確保兩組在干預(yù)前具有相似的可比基線特征，從而更準(zhǔn)確地評(píng)估干預(yù)措施的效果，減少選擇偏倚。對(duì)照組：設(shè)置對(duì)照組是為了提供一個(gè)比較基準(zhǔn)。它可以用來(lái)區(qū)分干預(yù)措施本身的效應(yīng)與可能同時(shí)發(fā)生的時(shí)間趨勢(shì)、環(huán)境變化或其他外部因素的影響（安慰劑效應(yīng)）。如果沒(méi)有對(duì)照組，僅觀察干預(yù)組的變化，很難確定改善是否確實(shí)由干預(yù)措施引起。2.可考慮使用的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法包括：①卡方檢驗(yàn)（Chi-squaretest）：適用于比較兩組分類(lèi)變量（如患病/未患病）的比例或率是否有顯著差異。②Z檢驗(yàn)（Z-test）：適用于比較兩組比例（如發(fā)病率）是否有顯著差異，特別是當(dāng)樣本量較大時(shí)。③t檢驗(yàn)（t-test）：如果比較的是連續(xù)性變量（如平均年齡、平均癥狀嚴(yán)重程度評(píng)分），且數(shù)據(jù)滿足正態(tài)分布和方差齊性，可以使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)。④非參數(shù)檢驗(yàn)（如Mann-WhitneyU檢驗(yàn)或Wilcoxon秩和檢驗(yàn)）：如果比較的連續(xù)性變量不滿足正態(tài)分布，或分類(lèi)變量不是二分類(lèi)，可以使用這些方法。3.除了發(fā)病率，研究者還可能關(guān)注的其他指標(biāo)包括：①患病率（Prevalence）：評(píng)估特定時(shí)間點(diǎn)人群中患病者的比例。②癥狀緩解時(shí)間或恢復(fù)時(shí)間：評(píng)估干預(yù)措施對(duì)病程縮短的效果。③生活質(zhì)量評(píng)分變化：評(píng)估干預(yù)措施對(duì)受疾病影響人群生活質(zhì)量的影響。④成本效益分析指標(biāo)：評(píng)估干預(yù)措施的經(jīng)濟(jì)效益。⑤病毒載量或病原體清除率：在傳染病研究中，評(píng)估病原體負(fù)荷的變化。六、1.度中心性是指網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度（與該節(jié)點(diǎn)直接相連的邊的數(shù)量）的大小。在網(wǎng)絡(luò)分析中，度中心性較高的節(jié)點(diǎn)被稱(chēng)為“dendo”（Hubs），它們與其他節(jié)點(diǎn)的連接數(shù)最多。在疾病傳播網(wǎng)絡(luò)中，度中心性高的個(gè)體可能處于網(wǎng)絡(luò)的核心位置，接觸頻率高，因此更容易成為疾病的感染者，并可能將疾病傳播給更多人。識(shí)別這些關(guān)鍵個(gè)體有助于理解疾病的傳播路徑和范圍，也是疾病防控中優(yōu)先干預(yù)的對(duì)象。2.識(shí)別關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的圖論方法：①度排序：計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的度中心性，按照度值從高到低排序，度值最高的節(jié)點(diǎn)通常是潛在的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（超級(jí)傳播者）。②中介中心性（BetweennessCentrality）：衡量一個(gè)節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)對(duì)之間最短路徑上的頻率。中介中心性高的節(jié)點(diǎn)位于網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵“橋梁”位置，移除這些節(jié)點(diǎn)可能導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)連通性顯著下降，阻斷疾病傳播。這類(lèi)節(jié)點(diǎn)也是潛在的干預(yù)靶點(diǎn)。③特征向量中心性（EigenvectorCentrality）：不僅考慮節(jié)點(diǎn)的直接連接數(shù)，還考慮其鄰居節(jié)點(diǎn)的度。特征向量中心性高的節(jié)點(diǎn)通常與其度數(shù)高的鄰居相連，往往處于更“中心”或更“重要”的子群中。在疾病傳播中，這類(lèi)節(jié)點(diǎn)可能代表了具有高度影響力的個(gè)體或社群。3.網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征影響疾病傳播：①平均路徑長(zhǎng)度（AveragePathLength）：衡量網(wǎng)絡(luò)中任意兩節(jié)點(diǎn)之間平均需要經(jīng)過(guò)的邊數(shù)