2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——計(jì)算拓?fù)鋵W(xué)的實(shí)際應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共30分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.在計(jì)算拓?fù)鋵W(xué)中，用于表示空間形狀局部特征的數(shù)學(xué)對象是？(A)同調(diào)群(B)鏈復(fù)形(C)示性類(D)范數(shù)2.給定一個(gè)點(diǎn)集點(diǎn)云，AlphaShape算法的主要目的是？(A)計(jì)算點(diǎn)云的精確表面(B)生成點(diǎn)云的任意精度凸包(C)提取點(diǎn)云的骨架結(jié)構(gòu)(D)對點(diǎn)云進(jìn)行顏色量化3.D-復(fù)雜（D-complex）通常用于從什么類型的數(shù)據(jù)中生成simplicialcomplex？(A)等距點(diǎn)集(B)有向圖(C)網(wǎng)格數(shù)據(jù)(D)樣本函數(shù)4.在持久同調(diào)中，一個(gè)持久類（PersistentClass）的持久性區(qū)間[t?,t?]描述了？(A)一個(gè)拓?fù)涮卣髟谒谐叨萾上的存在性(B)一個(gè)拓?fù)涮卣髟诔叨萾?處出現(xiàn)，在t?處消失(C)一個(gè)拓?fù)涮卣髟诔叨萾?處消失，在t?處出現(xiàn)(D)所有拓?fù)涮卣鞯某叨确秶?.以下哪個(gè)概念通常與計(jì)算流形或網(wǎng)絡(luò)的局部幾何性質(zhì)相關(guān)？(A)等變同調(diào)(B)有限覆蓋(C)局部同胚(D)拓?fù)涞葍r(jià)6.計(jì)算拓?fù)鋵W(xué)在生物信息學(xué)中常用于分析什么數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)？(A)DNA序列(B)蛋白質(zhì)二級結(jié)構(gòu)(C)基因表達(dá)矩陣(D)蛋白質(zhì)三維結(jié)構(gòu)7.AlphaShape算法的參數(shù)ε(epsilon)主要控制？(A)生成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的邊數(shù)(B)生成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的維度(C)生成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的精細(xì)程度(D)輸入點(diǎn)云的密度8.以下哪個(gè)是持久同調(diào)的常用輸入？(A)矩陣(B)過濾（Filter）(C)顏色圖(D)字典9.在計(jì)算拓?fù)鋵W(xué)中，“骨架”（Skeleton）通常指什么？(A)數(shù)據(jù)集的緊致化表示(B)數(shù)據(jù)集的低維核心結(jié)構(gòu)(C)數(shù)據(jù)集的完整表面(D)數(shù)據(jù)集的拓?fù)涮澑駭?shù)10.將計(jì)算拓?fù)鋵W(xué)的概念和算法應(yīng)用于非幾何數(shù)據(jù)（如時(shí)間序列、網(wǎng)絡(luò)）時(shí)，通常需要先進(jìn)行什么步驟？(A)幾何化(B)標(biāo)準(zhǔn)化(C)特征工程(D)度量化二、填空題（每空3分，共30分。請將答案填在題中的橫線上。）1.________是指一個(gè)空間與其歐幾里得雙射同胚。2.在simplicialcomplex中，一個(gè)n-維單純形由________個(gè)小于n維的單純形面界定。3.同調(diào)群H_k(X)的元素稱為________，它代表了k維的拓?fù)洹翱住薄?.AlphaShape算法本質(zhì)上是在對輸入點(diǎn)集的________進(jìn)行參數(shù)化。5.持久同調(diào)的輸出通常稱為________，它包含了拓?fù)涮卣鞯摹吧芷凇毙畔ⅰ?.D-復(fù)雜可以看作是通過對點(diǎn)集的凸包進(jìn)行________操作逐步生成的。7.計(jì)算拓?fù)鋵W(xué)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中可以用于________任務(wù)，例如模型簡化。8.“上同調(diào)”與“下同調(diào)”是鏈復(fù)形上兩種相對的概念，k-上鏈的同調(diào)類屬于________域。9.在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋽?shù)據(jù)中，計(jì)算持久同調(diào)可以用來識別________。10.計(jì)算拓?fù)鋵W(xué)為數(shù)據(jù)科學(xué)提供了新的視角，通過分析數(shù)據(jù)的________結(jié)構(gòu)來發(fā)現(xiàn)隱藏的模式。三、計(jì)算題（每題15分，共45分。請寫出詳細(xì)的計(jì)算步驟和必要的解釋。）1.給定一個(gè)二維simplicialcomplexK，包含以下單純形：S0={v0},S1={v0,v1},S1={v0,v2},S1={v1,v2},S2={v0,v1,v2}。其中頂點(diǎn)v0,v1,v2的坐標(biāo)分別為(0,0),(1,0),(0,1)。(1)計(jì)算鏈復(fù)形C_2(K)的元素（自由Abelian群生成元及其系數(shù)）。(2)計(jì)算上鏈復(fù)形C_2(K)^*(K)的元素（自由Abelian群生成元及其系數(shù)）。2.假設(shè)你獲得了一組在二維平面上的等距點(diǎn)，并計(jì)劃使用AlphaShape算法來近似其骨架。已知通過實(shí)驗(yàn)確定合適的參數(shù)ε=0.5?，F(xiàn)給出一個(gè)局部點(diǎn)集，包含頂點(diǎn)vA(0,0),vB(1,0),vC(1,1),vD(0,1),vE(0.5,0.5)。(1)描述你會(huì)如何根據(jù)ε=0.5來判斷這些點(diǎn)（或由它們定義的三角形）是否應(yīng)該包含在AlphaShape的骨架中。(2)假設(shè)根據(jù)計(jì)算，三角形△vAvBvE的最大半徑（circumradius）小于ε，而△vBvCvE的最大半徑大于ε。請解釋這說明了什么，并判斷這兩個(gè)三角形對最終骨架的貢獻(xiàn)。3.考慮一個(gè)一維過濾（Filter），包含以下單鏈和對應(yīng)的尺度（birth/deathtime）：c1=2(birth:1,death:3)c2=3(birth:1,death:4)c3=5(birth:2,death:5)c4=1(birth:3,death:4)請計(jì)算這個(gè)過濾對應(yīng)的持久同調(diào)圖（PersistenceDiagram），并解釋圖中每個(gè)點(diǎn)的含義。四、綜合應(yīng)用題（25分。請結(jié)合所學(xué)知識，分析和解決以下問題。）一個(gè)生物信息學(xué)家收集了某種蛋白質(zhì)在不同突變狀態(tài)下的構(gòu)象數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)可以抽象為一組高維向量。為了研究不同構(gòu)象的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)差異，生物學(xué)家希望利用計(jì)算拓?fù)鋵W(xué)的工具進(jìn)行分析。假設(shè)經(jīng)過預(yù)處理，這些高維向量被降維并映射到一個(gè)帶參數(shù)ε的α-復(fù)雜空間中，生成的α-復(fù)雜包含了若干個(gè)n-維單形（n=0,1,2,...）。請?jiān)敿?xì)說明：(1)α-復(fù)雜是如何從這些降維后的向量數(shù)據(jù)構(gòu)建的？ε參數(shù)起什么作用？(2)生物學(xué)家如何利用這個(gè)α-復(fù)雜來比較不同突變狀態(tài)蛋白質(zhì)構(gòu)象的拓?fù)涮卣鳎ɡ纾容^兩個(gè)構(gòu)象的α-復(fù)雜是否“相似”）？(3)如果生物學(xué)家進(jìn)一步計(jì)算了α-復(fù)雜對應(yīng)的持久同調(diào)，她能從中獲得哪些關(guān)于蛋白質(zhì)構(gòu)象拓?fù)洳町惖臐撛谛畔?？請具體說明。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.A4.B5.C6.D7.C8.B9.B10.C二、填空題1.拓?fù)淇臻g2.n+13.同調(diào)類4.球面圖5.持久對6.去除（或“剝離”）7.表面重建8.上9.社區(qū)結(jié)構(gòu)（或“連通組件”）10.拓?fù)淙?、?jì)算題1.(1)C_2(K)=<c1,c2,c3,c4>,其中c1=2*σ0(對應(yīng)v0),c2=3*σ1(對應(yīng){v0,v1}),c3=5*σ1(對應(yīng){v0,v2}),c4=1*σ2(對應(yīng){v0,v1,v2})。這里σ0,σ1,σ2是對應(yīng)的單純形。C_1(K)=<d1,d2,d3>,其中d1=σ1-σ0(對應(yīng)v1-v0),d2=σ2-σ0(對應(yīng)v2-v0),d3=σ2-σ1(對應(yīng)v2-v1)。C_0(K)=<v0,v1,v2>。(2)C_2(K)^*(K)=<z1,z2,z3>,其中z1=d1+d2(對應(yīng)v1-v0+v2-v0=v2-v1),z2=d2+d3(對應(yīng)v2-v0+v2-v1=v2-v0),z3=d1+d3(對應(yīng)v1-v0+v2-v1=v0-v1)。C_1(K)^*(K)=<z4,z5>,其中z4=d1(對應(yīng)v1-v0),z5=d3(對應(yīng)v2-v1)。C_0(K)^*(K)=<z6>,其中z6=z1+z2+z3=(v2-v1)+(v2-v0)+(v0-v1)=v2(或任何生成元)。2.(1)對于由點(diǎn)vi,vj,vk定義的三角形，計(jì)算其外接圓半徑。如果該半徑小于或等于ε，則認(rèn)為這個(gè)三角形（或其對應(yīng)的球面）是α-復(fù)雜的一部分，其頂點(diǎn)vi,vj,vk被視為骨架的一部分（或更準(zhǔn)確地說，是骨架的候選）。(2)△vAvBvE的最大半徑小于ε，說明這個(gè)三角形（或局部區(qū)域）在ε-精度下是凸的，其球面圖包含在ε-AlphaShape中，意味著vE在ε-鄰域內(nèi)是vA和vB的“核心”點(diǎn)，可能屬于骨架?！鱲BvCvE的最大半徑大于ε，說明vB,vC,vE所形成的局部區(qū)域在ε-精度下不是凸的，存在凹陷或緊致結(jié)構(gòu)，阻止了它們作為一個(gè)整體包含在骨架中。這表明vE在這個(gè)局部區(qū)域可能不是骨架的一部分，或者骨架在此處有更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)（如分支點(diǎn)）。3.持久對列表（按birth升序）：(1,3):(c1,2)birthat1,deathat3.持久類[1,3].(1,4):(c2,3)birthat1,deathat4.消耗c1,產(chǎn)生c2.持久類[1,4].(2,5):(c3,5)birthat2,deathat5.消耗c2,產(chǎn)生c3.持久類[2,5].(3,4):(c4,1)birthat3,deathat4.消耗c3,產(chǎn)生c4.消耗c2,產(chǎn)生c5?(Wait,c5wasn'tlistedasbirthed).Assumec5=c4=1.持久類[3,4].消耗順序：c1(byc2),c2(byc3),c3(byc4=1).Finalsurvivors:c4=1,c5=1.Diagramhasonepointat[3,4].持久同調(diào)圖：一個(gè)點(diǎn)(3,4)。解析思路：追蹤過濾中鏈的合并與消失。開始有c1,c2,c3,c4。c2消耗c1,產(chǎn)生c2。c3消耗c2,產(chǎn)生c3。c4消耗c3,產(chǎn)生c4(assumingc4=1isthechain).沒有鏈消耗c4。最終只有c4(orc5ifc4=1wasmeanttobec5)存活，其生命周期是[3,4]。四、綜合應(yīng)用題(1)α-復(fù)雜構(gòu)建：α-復(fù)雜通過考慮所有半徑≤ε的球面來近似輸入點(diǎn)集的形狀。對于每個(gè)點(diǎn)p，計(jì)算其與其他所有點(diǎn)q的距離d(p,q)。如果d(p,q)≤ε，則連接p和q。這個(gè)連接過程遞歸地應(yīng)用于形成的連通塊，直到所有點(diǎn)都被包含在某個(gè)半徑≤ε的球面內(nèi)?；蛘?，更形式化地，α-復(fù)雜是由所有直徑≤2ε的球面所對應(yīng)的單純形構(gòu)成的simplicialcomplex。參數(shù)ε控制了α-復(fù)雜生成的“精細(xì)度”，較小的ε產(chǎn)生更精細(xì)、更復(fù)雜的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，可能捕捉更多細(xì)節(jié)但計(jì)算量更大；較大的ε產(chǎn)生更粗糙的結(jié)構(gòu)，可能丟失細(xì)節(jié)但計(jì)算更簡單。(2)比較拓?fù)涮卣鳎荷飳W(xué)家可以通過比較兩個(gè)突變狀態(tài)下蛋白質(zhì)構(gòu)象生成的α-復(fù)雜或其持久同調(diào)來識別拓?fù)洳町?。方法包括?α-復(fù)雜比較：比較兩個(gè)α-復(fù)雜包含的單純形數(shù)量、維度分布、連通性。例如，一個(gè)構(gòu)象的α-復(fù)雜可能包含更多的高維單形，表明其結(jié)構(gòu)更復(fù)雜或具有更復(fù)雜的空洞?；蛘?，一個(gè)構(gòu)象的α-復(fù)雜可能具有不同的連通模式（樹狀、鏈狀、塊狀等）。*持久同調(diào)比較：計(jì)算并比較兩個(gè)構(gòu)象的持久同調(diào)圖。主要關(guān)注：*持久類的數(shù)量和位置：一個(gè)構(gòu)象可能比另一個(gè)有更多（或更少）的持久類，或者持久類的生存時(shí)間（birth-deathinterval）不同。這直接反映了不同構(gòu)象中拓?fù)涮卣鳎ㄈ缈祝┑拇嬖谛?、維度和穩(wěn)定性差異。例如，某個(gè)代表“核心球體”的0維持久類在突變后消失了，可能意味著蛋白質(zhì)的某個(gè)核心區(qū)域結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化。*關(guān)鍵持久類的穩(wěn)定性：識別那些生存時(shí)間較長（birth和death值差異大）且維度較高的持久類，這些通常對應(yīng)于蛋白質(zhì)構(gòu)象中更穩(wěn)定、更本質(zhì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（如緊密的核心區(qū)域或大的空腔）。比較這些關(guān)鍵持久類在不同構(gòu)象中的變化。(3)潛在信息：通過分析持久同調(diào)，生物學(xué)家可以獲得關(guān)于蛋白質(zhì)構(gòu)象拓?fù)洳町惖囊韵滦畔ⅲ?拓?fù)洳蛔冃缘母淖儯撼志猛{(diào)是拓?fù)洳蛔兞?。如果兩個(gè)構(gòu)象的持久同調(diào)圖完全相同，說明它們在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上沒有本質(zhì)區(qū)別，盡管可能形狀或大小不同。如果持久同調(diào)圖不同，則表明至少存在一個(gè)拓?fù)涮卣鳎ňS度、生存時(shí)間）發(fā)生了變化。*空洞（Holes）的變化：持久同調(diào)圖中的點(diǎn)對應(yīng)于不同維度（0維對應(yīng)孔，1維對應(yīng)“管狀”空洞，2維對應(yīng)“空洞的空洞”，以此類推）的拓?fù)涮卣?。通過比較不同維度的持久類，可以識別哪些維度的空洞在突變后出現(xiàn)了、消失了或穩(wěn)定性發(fā)生了變化。