2025年大學《物理學》專業(yè)題庫——光學中的光的衍射現(xiàn)象考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理，衍射圖樣是大量子波相干疊加的結果。請簡要說明半波帶法是如何解釋單縫夫瑯禾費衍射暗紋條件的。2.在單縫夫瑯禾費衍射實驗中，若僅將單縫寬度`a`加寬，其他條件不變，衍射條紋將如何變化？請定性描述并解釋。3.區(qū)分菲涅耳衍射和夫瑯禾費衍射的主要區(qū)別是什么？夫瑯禾費衍射通常需要哪些光學元件來實現(xiàn)？二、4.一束波長為`λ`的平行光垂直入射到寬度為`a`的單縫上，在位于透鏡焦平面的屏幕上觀察到的夫瑯禾費衍射圖樣。請寫出第`k`級暗紋中心位置`y_k`的表達式（用`a`,`λ`,`k`表示）。5.在單縫夫瑯禾費衍射中，第`k`級暗紋對應的衍射角`θ_k`滿足`asinθ_k=-kλ`（`k=1,2,3,...`）。請解釋為什么`k`只能取正整數(shù)，不能取零或負整數(shù)（除了`k=0`為主極大）。6.一束白光（波長范圍`λ_min`到`λ_max`，`λ_min<λ_max`）垂直入射到單縫上，觀察到的夫瑯禾費衍射圖樣中，中央明紋和各級明紋將呈現(xiàn)什么顏色？為什么？三、7.什么是圓孔夫瑯禾費衍射的艾里斑？請寫出其半徑`ρ_A`的表達式（用波長`λ`和圓孔半徑`D`表示）。8.根據(jù)瑞利判據(jù)，兩個點光源通過圓孔光學系統(tǒng)能被分辨開的條件是：其中一個點光源的艾里斑中心恰好落在另一個點光源衍射圖樣的第一級暗紋處。請簡要說明瑞利判據(jù)的物理意義。9.在圓孔夫瑯禾費衍射中，若增大圓孔半徑`D`，其他條件不變，艾里斑將如何變化？這對光學儀器的分辨率有何影響？四、10.一束波長為`λ`的平行光垂直入射到一塊透射光柵上，光柵常數(shù)（相鄰兩縫中心間距）為`d`。請寫出光柵方程`dsinθ=kλ`中，`k`可能取值的范圍，并說明原因。11.在光柵衍射實驗中，若使用波長為`λ`的光，觀察到第`k`級主極大位于衍射角`θ_k`處；若改用波長為`λ'`的光，觀察到第`k'`級主極大位于相同的角度`θ_k`處。請寫出`λ'`和`λ`、`k'`和`k`之間的關系式。12.什么是光柵衍射中的缺級現(xiàn)象？請說明產(chǎn)生缺級現(xiàn)象必須同時滿足的兩個條件（與單縫衍射和光柵方程有關）。五、13.一束波長為`λ`的平行光垂直入射到光柵上，產(chǎn)生衍射圖樣。若光柵的縫寬為`a`，光柵常數(shù)為`d`（`d=a+b`，`b`為縫間不透光部分寬度）。請說明在什么條件下，衍射光譜中會出現(xiàn)缺級現(xiàn)象？若`a=2λ`，`d=4λ`，請指出哪些級次的明紋會缺級？14.比較單縫衍射和光柵衍射的條紋分布，指出光柵衍射有哪些優(yōu)于單縫衍射的特點？15.在光柵衍射實驗中，調(diào)節(jié)透鏡的焦距，對觀察到的衍射圖樣會有什么影響？六、16.一束白光垂直入射到每毫米有500條刻線的衍射光柵上。請計算：①紅光（波長約為650nm）的第一級和第三級明紋分別出現(xiàn)在什么角度？②在什么角度觀察不到紫色光（波長約為400nm）的第三級明紋？17.用波長為`λ`的單色光垂直照射某衍射光柵，測得第二級主極大的衍射角為`30°`。若用另一未知波長的單色光照射時，第一級主極大的衍射角為`15°`。請求該未知波長`λ'`。18.一衍射光柵每厘米有2000條刻線，用波長為589.3nm的鈉黃光垂直入射。①計算衍射角為`30°`時，能觀察到幾條主極大譜線？②最高能觀察到第幾級主極大譜線？③若光源包含兩種波長`λ_1=589.0nm`和`λ_2=589.6nm`，它們的第一級主極大譜線是否會發(fā)生重疊？如何判斷？試卷答案一、1.半波帶法將單縫垂直于光傳播方向的截面分割成一系列寬度相等的半波帶。對于某個衍射角`θ`，只有光線從相鄰半波帶邊緣到達屏上某點的光程差為`λ/2`，發(fā)生相消干涉。當單縫能恰好分成偶數(shù)個半波帶時，所有半波帶成對抵消，屏上對應處為暗紋；當單縫不能被完整分割成偶數(shù)個半波帶時，會剩下不足一個半波帶的面積，其發(fā)出的光線不能完全相消，形成亮紋（次極大）。2.衍射條紋將變窄，亮度將增加。根據(jù)公式`Δy≈λL/a`，縫寬`a`增大，條紋寬度`Δy`減小。同時，根據(jù)能量守恒，單縫通過的總光能不變，條紋變窄意味著單位面積的亮度增加。3.菲涅耳衍射是光源或觀察屏（或兩者）距離衍射孔（或障礙物）有限遠處的衍射；夫瑯禾費衍射是光源和觀察屏都在無窮遠處的衍射。夫瑯禾費衍射通常需要使用透鏡將平行光聚焦到觀察屏（或使從衍射孔發(fā)出的平行光會聚到觀察屏）來實現(xiàn)。二、4.根據(jù)單縫夫瑯禾費衍射暗紋條件`asinθ_k=kλ`（`k=±1,±2,...`），對于近軸區(qū)域，`sinθ_k≈tanθ_k=y_k/L`（`L`為透鏡焦距）。代入可得`y_k=kλL/a`。5.當`k=0`時，對應于`asinθ=0`，即所有光線沿原方向傳播，形成中央明紋。對于`k>0`，`asinθ=kλ`。由于`a`、`λ`為正值，`sinθ`必須為正值（`0<θ<π/2`）才能滿足方程。根據(jù)光柵方程`dsinθ=kλ`，`k`也必須為正值。對于`k<0`，`sinθ=-kλ/a`，`sinθ`為負值（`-π/2<θ<0`），此時方程無物理意義，不形成暗紋。因此，`k`只能取正整數(shù)。6.由于不同顏色的光對應不同的波長`λ`。根據(jù)光柵方程`dsinθ=kλ`，對于相同的衍射級次`k`和光柵常數(shù)`d`，衍射角`θ`與波長`λ`成正比。因此，中央明紋（`k=0`）仍為白色。各級明紋將按照波長從短到長的順序（從中心向外）排列，即紫光靠近中心，紅光遠離中心。這是由于紅光波長最長，其衍射角最大。三、7.圓孔夫瑯禾費衍射圖樣的中央是一個明亮的圓形光斑，稱為艾里斑。它是圓孔上無數(shù)子波相干疊加形成的中央亮紋。8.瑞利判據(jù)指出，當一個點光源的艾里斑中心恰好落在另一個點光源衍射圖樣的第一級暗紋中心時，這兩個點光源恰好能被光學系統(tǒng)分辨開。這意味著兩個點光源的衍射圖樣有足夠的重疊，人眼或探測器能夠區(qū)分它們是兩個獨立的物點而非一個模糊的光斑。9.艾里斑將變小，亮度增加。根據(jù)公式`ρ_A≈1.22λL/D`，圓孔直徑`D`增大，艾里斑半徑`ρ_A`減小。同時，根據(jù)能量守恒，圓孔通過的總光能不變，艾里斑變小意味著單位面積的亮度增加。這對光學儀器的分辨率有利，因為更小的艾里斑意味著更高的分辨率，能夠分辨更靠近的兩個點光源。四、10.光柵方程`dsinθ=kλ`中，衍射角`θ`的正弦值`sinθ`的取值范圍是`-1≤sinθ≤1`。同時，對于衍射光譜，通常考慮的是可見光及其附近的波長，`k`只能取整數(shù)。因此，`k`的取值范圍是`k=0,±1,±2,...`，并且需要滿足`|kλ|≤d`，即`|k|≤d/λ`。綜合考慮，實際能觀察到的`k`值范圍是`k=0,±1,±2,...,±(d/λ)`（取整數(shù)部分）。11.根據(jù)光柵方程`dsinθ=kλ`和`dsinθ=k'λ'`，且`θ`相同，可得`kλ=k'λ'`，即`λ'=(λ/λ')*k`。12.缺級現(xiàn)象是指光柵衍射圖樣中，某些本應出現(xiàn)的明紋（由光柵方程決定）卻恰好與單縫衍射的暗紋位置重合而消失的現(xiàn)象。產(chǎn)生缺級現(xiàn)象必須同時滿足兩個條件：①該級次的主極大滿足光柵方程，即`dsinθ=kλ`；②該級次的主極大同時滿足單縫衍射的暗紋條件，即`asinθ=k'aλ`（`k'`為整數(shù)）。由于光柵由多個單縫組成，其衍射圖樣是單縫衍射圖樣調(diào)制光柵方程決定的主極大分布。當`d/a=k'/k`（`k`、`k'`為整數(shù)，`k'`不為零）時，光柵方程的第`k`級主極大將落在單縫衍射的第`k'`級暗紋處，從而缺級。五、13.缺級現(xiàn)象的產(chǎn)生條件是：①`asinθ=kλ`（`k`為整數(shù)，對應單縫衍射的暗紋）；②`dsinθ=mλ`（`m`為整數(shù)，對應光柵方程的主極大）。將兩式結合，得`a(dsinθ)/dλ=k`，即`m=(d/a)k`。因此，當`d/a`為整數(shù)比時，光柵衍射圖樣中會發(fā)生缺級。若`a=2λ`，`d=4λ`，則`d/a=2`。根據(jù)`m=2k`，當`k=±1,±2,...`時，`m=±2,±4,...`。因此，`m=±1`的級次（即第±1級主極大）會缺級。14.與單縫衍射相比，光柵衍射具有以下優(yōu)點：①條紋更亮、更窄、分得更開（即級次`k`較高時，衍射角`θ`更大，條紋間隔`Δθ≈λ/d`更寬；同時，由于能量集中在主極大處，且主極大亮度遠高于單縫衍射，條紋更亮）；②可以利用光柵方程精確測量波長；③可以獲得光譜，便于進行光譜分析。15.調(diào)節(jié)透鏡焦距`L`，相當于改變觀察屏與透鏡焦點的距離。根據(jù)`y_k=kλL/a`，焦距`L`的變化會改變衍射條紋的寬度。當`L`增大時，條紋寬度`Δy`增大，條紋在屏上分布范圍更廣，但條紋本身的形狀（亮度分布）不變。如果透鏡移動導致光路不再是嚴格的夫瑯禾費條件（例如焦點移出），則衍射圖樣的形狀和亮度分布可能會發(fā)生改變。六、16.光柵每毫米有500條刻線，則光柵常數(shù)`d=1mm/500=2000nm=2×10^-6m`。①紅光`λ=650nm=650×10^-9m`。第一級`k=1`：`dsinθ_1=λ`=>`sinθ_1=λ/d=(650×10^-9)/(2×10^-6)=0.325`=>`θ_1=arcsin(0.325)≈19.0°`。第三級`k=3`：`dsinθ_3=3λ`=>`sinθ_3=3λ/d=3×0.325=0.975`=>`θ_3=arcsin(0.975)≈77.4°`。②紫光`λ'=400nm=400×10^-9m`。第三級`k'=3`：`dsinθ'_3=3λ'`=>`sinθ'_3=3λ'/d=3×(400×10^-9)/(2×10^-6)=0.6`=>`θ'_3=arcsin(0.6)≈36.9°`。要觀察不到該級明紋，需要`θ'_3`處為暗紋，即滿足單縫衍射暗紋條件`asinθ'_3=kλ'`。此處`a`未知，但通常光柵縫寬`a`遠小于`d`，可以認為`a`很小，此時暗紋角度接近`θ'_3`。然而，更嚴謹?shù)呐袛嗍?，如果`asinθ'_3=kλ'`對某個`k>0`成立，則觀察不到`k`級明紋。檢查`k=1`：`asin(36.9°)=λ'=400nm`。若縫寬`a`滿足此條件，則第一級明紋將消失。假設`a`確實滿足此條件，那么在`θ'_3=36.9°`處觀察不到第一級（`k'=1`）明紋。如果`a`不滿足`asin(36.9°)=400nm`，則在`36.9°`處仍會看到`k'=1`明紋。題目問“觀察不到”，通常隱含了某種特定條件或最簡單的情況。最可能的解釋是假設縫寬`a`恰好使得`k'=1`級明紋缺級，即`asin(36.9°)=λ'=400nm`。那么在`θ'_3=36.9°`處，原本應出現(xiàn)的`k'=1`明紋消失了。17.根據(jù)光柵方程`dsinθ=kλ`。第一級`k=1`：`dsinθ_1=λ`。第二級`k=2`：`dsinθ_2=2λ`。已知`θ_2=30°`，`λ=589.3nm`。代入`dsin30°=2×589.3nm`=>`d=(2×589.3nm)/sin30°=(2×589.3nm)/0.5=2361.2nm=2.3612×10^-6m`。對于未知波長`λ'`，第一級`k'=1`：`dsinθ'_1=λ'`=>`λ'=dsinθ'_1`。已知`θ'_1=15°`，代入`λ'=(2.3612×10^-6m)×sin15°=(2.3612×10^-6m)×0.2588≈611.0nm`。18.光柵每厘米2000條刻線，則`d=1cm/2000=0.05cm=50000nm=5×10^-5m`。鈉黃光包含`λ_1=589.0nm`和`λ_2=589.6nm`。①計算最高級次`k_max`需要使`|sinθ|≤1`，即`|kλ|≤d`=>`|k|≤d/λ`。對于`λ_1`，`k_max(λ_1)=flo