2025年大學《數(shù)學與應用數(shù)學》專業(yè)題庫——MCM數(shù)學建模競賽技巧考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一閱讀以下問題背景：近年來，城市交通擁堵問題日益嚴重，尤其在早晚高峰時段。為了緩解擁堵，某城市交通管理部門考慮在主要干道實施分段動態(tài)限速政策。該政策根據(jù)實時交通流量，在不同時段對不同路段設(shè)置不同的最高行駛速度限制。假設(shè)你被組建的團隊接受委托，為該城市設(shè)計一套動態(tài)限速方案的初步數(shù)學模型。請完成以下任務：1.建立一個能夠描述該城市主要干道交通流的基本模型。明確模型中的關(guān)鍵變量、參數(shù)和假設(shè)。2.在你建立的基本模型基礎(chǔ)上，引入動態(tài)限速因素，構(gòu)建一個更復雜的模型來描述實施分段動態(tài)限速政策后可能產(chǎn)生的效果。說明引入的新變量、參數(shù)和假設(shè)。3.討論該動態(tài)限速模型可能面臨的挑戰(zhàn)，例如數(shù)據(jù)獲取、實時計算、政策執(zhí)行等。并提出至少兩種可能的解決方案或改進方向。試題二某地區(qū)森林受到某種病蟲害的威脅。為了評估該病蟲害的傳播態(tài)勢并制定有效的防治策略，研究人員需要建立一個數(shù)學模型來預測森林中受感染樹木的數(shù)量隨時間的變化。假設(shè)森林總面積為固定值S，初始時刻有I_0棵樹受到感染。森林中樹木的總數(shù)為N(N>I_0)，且N保持相對穩(wěn)定。病蟲害的傳播主要通過受感染樹木與健康樹木的直接接觸進行。傳播速率與已感染樹木的數(shù)量以及未感染樹木的數(shù)量成正比。請完成以下任務：1.根據(jù)上述假設(shè)，建立一個描述森林中受感染樹木數(shù)量（記為I(t)）隨時間（記為t）變化的微分方程模型。2.解釋模型中微分方程各項的物理或生物學意義。3.假設(shè)經(jīng)過一段時間的防治，病蟲害的傳播速率顯著下降。請修改你的模型以反映這種情況，并簡要說明修改的依據(jù)。4.討論該模型在預測和防治實踐中的局限性。試題三隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，在線學習平臺成為重要的教育方式。某在線學習平臺收集了用戶學習行為數(shù)據(jù)，包括用戶每天學習時長、訪問課程模塊的次數(shù)、完成習題的數(shù)量等。平臺希望利用這些數(shù)據(jù)來分析用戶的學習投入度，并據(jù)此為用戶提供個性化的學習建議。請完成以下任務：1.提出一種量化用戶學習投入度的數(shù)學方法或模型。說明你選擇的方法/模型的原理和優(yōu)勢。2.假設(shè)平臺收集到某用戶過去一周的學習數(shù)據(jù)（示例數(shù)據(jù)如下，單位：分鐘）。請使用你提出的方法/模型，計算該用戶每天的學習投入度得分，并對結(jié)果進行簡要分析。示例數(shù)據(jù)：*日學習時長：120,90,150,60,180,200,30*訪問課程模塊次數(shù)：5,3,7,2,8,9,1*完成習題數(shù)量：15,10,20,5,25,30,03.討論你的方法/模型在實際情況應用中可能遇到的問題，例如數(shù)據(jù)質(zhì)量、用戶行為多樣性、模型解釋性等。并提出至少一條改進建議。試題四全球氣候變化導致極端天氣事件（如熱浪、洪水）的頻率和強度增加，對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)構(gòu)成嚴重威脅。某研究團隊希望建立一個數(shù)學模型，評估特定作物品種在經(jīng)歷極端高溫事件時的產(chǎn)量損失情況。假設(shè)該作物在正常溫度范圍內(nèi)生長良好，當溫度超過某個閾值時，作物的生長速率會隨溫度的升高而下降，最終可能導致產(chǎn)量損失。研究團隊收集了該作物在不同溫度下的生長實驗數(shù)據(jù)。請完成以下任務：1.根據(jù)作物生長的基本生理特性，提出一個描述作物生長速率（或相對生長速率）與溫度之間關(guān)系的數(shù)學函數(shù)形式。說明你選擇該函數(shù)形式的理由。2.假設(shè)實驗數(shù)據(jù)顯示，該作物在25°C時生長速率最快（可設(shè)為最大值），當溫度超過35°C時，生長速率開始明顯下降。請利用一組簡化的實驗數(shù)據(jù)（示例），確定你所提出的函數(shù)形式中的關(guān)鍵參數(shù)（例如，閾值溫度、最大生長速率等），并給出參數(shù)的確定方法。示例數(shù)據(jù)：*溫度（°C）：25,28,30,32,34,36,38*相對生長速率（相對于25°C時的值）：1.0,0.95,0.85,0.65,0.40,0.20,0.103.假設(shè)預測未來某極端高溫事件期間，該地區(qū)溫度將維持在37°C達3天。請利用你所建立的模型，估算這3天內(nèi)該作物的累積生長損失率（或相對損失量）。4.討論該模型在評估產(chǎn)量損失方面的適用性和局限性。試卷答案試題一答案與解析答案：1.基本模型：可采用Lighthill-Whitham-Richards（LWR）模型或其簡化形式，如一階或二階常微分方程。設(shè)q(x,t)為時刻t、位置x處的道路交通流密度，v(x,t)為時刻t、位置x處的車速。模型可表示為：?q/?t+v(x,t)*?q/?x=0(一階模型，假設(shè)v為常數(shù)或緩變)。或?q/?t+v(q)*?q/?x=D*?2q/?x2(二階模型，包含擴散項D，反映車流慣性與交互)。關(guān)鍵變量：q(x,t),v(x,t)。關(guān)鍵參數(shù)：道路容量Q（最大密度），速度-密度關(guān)系v(q)，擴散系數(shù)D。假設(shè)：道路無限長或足夠長、車輛同質(zhì)、無外部干擾、密度不高導致車輛相互影響顯著。2.動態(tài)限速模型：在基本模型基礎(chǔ)上，將車速v(x,t)替換為與密度q(x,t)和/或?qū)崟r交通狀況（如上游流量、事故信息）相關(guān)的動態(tài)函數(shù)v(q(x,t),...)。模型可表示為：?q/?t+v(q(x,t),...)*?q/?x=...。引入的新變量/參數(shù)：動態(tài)限速函數(shù)v(q(x,t),...)，可能還包括限速值R，時間變量t（用于表示時段性限速）。假設(shè)：限速政策有效傳達、駕駛員遵守限速、限速策略基于準確實時信息。3.挑戰(zhàn)與方案：挑戰(zhàn)：①實時交通流數(shù)據(jù)獲取的準確性和覆蓋范圍；②復雜路況（交叉口、匝道）的處理；③動態(tài)限速策略的優(yōu)化與實時計算效率；④政策實施對駕駛員行為（如變道、繞行）的復雜影響。方案：①利用多源數(shù)據(jù)（攝像頭、傳感器、手機信令）融合技術(shù)提高數(shù)據(jù)實時性和精度；②開發(fā)考慮復雜路口的改進模型或?qū)χ鞲傻滥Ｐ瓦M行分段簡化；③利用機器學習等方法優(yōu)化限速策略，并部署高效算法進行實時決策；④通過仿真或小范圍實驗評估政策效果，及時調(diào)整。試題二答案與解析答案：1.微分方程模型：dI/dt=k*I(t)*(N-I(t))，其中I(t)為時刻t受感染樹木數(shù)量，N為森林總樹木數(shù)，k>0為傳播速率常數(shù)。2.模型意義：dI/dt是感染樹木數(shù)量的變化率。第一項k*I(t)代表已感染樹木對健康樹木的傳播作用，與已感染數(shù)量成正比。第二項k*I(t)*(N-I(t))中的(N-I(t))代表未感染樹木的數(shù)量，這部分體現(xiàn)了傳播的潛力。整個項k*I(t)*(N-I(t))描述了凈的傳播速率，它隨I(t)增加而增加（初期），但在I(t)接近N時下降（因健康樹木減少）。3.修改模型：dI/dt=k*I(t)*(N-I(t))->dI/dt=k'*I(t)*(N-I(t))，其中k'<k。修改依據(jù)：病蟲害傳播受到防治措施（如噴灑藥劑、清理病樹）的抑制，導致整體傳播效率降低，表現(xiàn)為傳播速率常數(shù)k減小。4.模型局限性：①假設(shè)N保持穩(wěn)定，未考慮樹木自然死亡、新生長等，實際中N是動態(tài)變化的；②假設(shè)傳播僅通過直接接觸，忽略了風、昆蟲等媒介；③模型是均勻的，未考慮森林空間異質(zhì)性（如地形、樹齡分布）；④k和(N-I(t))的精確估計困難，尤其在早期階段；⑤未考慮防治措施的動態(tài)調(diào)整和效果。試題三答案與解析答案：1.量化方法/模型：可采用綜合評分法。設(shè)定各項指標的權(quán)重（如學習時長權(quán)重最高，其次是模塊訪問和習題完成），計算加權(quán)得分：Score=w1*LearningTime+w2*ModuleVisits+w3*HomeworkSolved。模型原理是基于用戶在不同行為上的投入程度進行加權(quán)綜合評估。優(yōu)勢：簡單直觀，可量化比較，權(quán)重可根據(jù)平臺目標調(diào)整。2.計算與分析（示例）：假設(shè)設(shè)定權(quán)重w1=0.5,w2=0.3,w3=0.2。計算每日得分：Day1=0.5*120+0.3*5+0.2*15=75；Day2=60+1.5+3=64.5；Day3=75+2.1+4=81.1；Day4=30+0.6+0=30.6；Day5=90+2.4+5=97.4；Day6=100+2.7+6=108.7；Day7=15+0.2+0=15.2。分析：用戶學習投入度呈現(xiàn)波動變化，第6天投入度最高，第4和第7天最低。可能原因：第6天學習時長和完成習題數(shù)量最多，第4和7天則明顯減少。3.問題與改進：問題：①數(shù)據(jù)可能存在異常值或失真（如刷數(shù)據(jù)）；②不同用戶學習習慣差異大，統(tǒng)一權(quán)重可能不公；③模型單一，未能體現(xiàn)學習質(zhì)量（如難題進度）。改進建議：引入機器學習模型進行用戶畫像，區(qū)分不同類型用戶（如應試型、興趣型），動態(tài)調(diào)整權(quán)重，增加對學習效果（如掌握度評估）的考量，結(jié)合用戶反饋。試題四答案與解析答案：1.函數(shù)形式：可選用Logistic函數(shù)或S型函數(shù)：v(T)=Vmax*[1-exp(-k*(T-T50))]或v(T)=Vmax/(1+exp(-k*(T-T50)))，其中Vmax為最大相對生長速率，T50為半速率溫度（生長速率為最大值一半時的溫度），k為敏感度參數(shù)。選擇理由：該函數(shù)能描述生長速率隨溫度升高先增加后下降的趨勢，并在某溫度點達到峰值，符合生理學上的酶活性或光合作用受溫度影響的特性。2.參數(shù)確定（示例）：觀察數(shù)據(jù)，當T=25°C時，相對生長速率接近1(Vmax)；當T=35°C時，相對生長速率顯著下降?？稍O(shè)T50=30°C(位于25和35中間)。利用T=25,v=1和T=35,v≈0.4代入v(T)=Vmax/(1+exp(-k*(T-T50)))：1=Vmax/(1+exp(-k*(25-30)))；0.4=Vmax/(1+exp(-k*(35-30))).得到兩個方程。若近似處理，可認為在T50附近，指數(shù)項變化顯著，解得k≈ln(1/0.6)/5≈0.24。Vmax可設(shè)為1(對應T=25時v=1)。得到函數(shù)v(T)=1/(1+exp(-0.24*(T-30)))。3.估算損失率（示例）：損失率可定義為正常速率與實際速率之差占正常速率的百分比。即LossRate≈(1-v(T))*100%。當T=37°C時，v(37)=1/(1+exp(-0.24*(37-30)))=1/(1+exp(-0.72))≈1/(1+0.4866)≈1/1.4866≈0.671。LossRate≈(1-0.671)*100%≈32.9%