證明矩陣合同一、矩陣合同的定義矩陣合同是線性代數(shù)中描述矩陣之間關(guān)系的重要概念，其核心在于刻畫矩陣在可逆線性變換下的等價(jià)性。設(shè)(A)和(B)是數(shù)域(P)上的(n)階方陣，若存在數(shù)域(P)上的(n)階可逆矩陣(C)，使得[B=C^TAC]則稱矩陣(A)與(B)合同，記作(A\congB)。其中，(C^T)表示矩陣(C)的轉(zhuǎn)置，可逆矩陣(C)稱為合同變換矩陣。合同關(guān)系的本質(zhì)是通過(guò)可逆線性變換保持矩陣的某些代數(shù)性質(zhì)。例如，在二次型理論中，合同變換對(duì)應(yīng)二次型的坐標(biāo)變換，其作用是將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)范形，而矩陣的合同關(guān)系正是二次型等價(jià)性的代數(shù)表達(dá)。二、矩陣合同的基本性質(zhì)矩陣合同作為一種等價(jià)關(guān)系，滿足以下三個(gè)基本性質(zhì)：1.自反性任意矩陣(A)與其自身合同，即(A\congA)。證明：取可逆矩陣(C=E)（單位矩陣），則(A=E^TAE)，故自反性成立。2.對(duì)稱性若(A\congB)，則(B\congA)。證明：由(A\congB)可知存在可逆矩陣(C)，使得(B=C^TAC)。由于(C)可逆，其逆矩陣(C^{-1})存在，且((C^T)^{-1}=(C^{-1})^T)。等式兩邊左乘((C^{-1})^T)并右乘(C^{-1})，得(A=(C^{-1})^TBC^{-1})，即(B\congA)。3.傳遞性若(A\congB)且(B\congC)，則(A\congC)。證明：由(A\congB)存在可逆矩陣(C_1)，使得(B=C_1^TAC_1)；由(B\congC)存在可逆矩陣(C_2)，使得(C=C_2^TBC_2)。將(B)的表達(dá)式代入，得(C=C_2^T(C_1^TAC_1)C_2=(C_1C_2)^TA(C_1C_2))。由于可逆矩陣的乘積仍可逆，故(C_1C_2)可逆，因此(A\congC)。以上性質(zhì)表明，矩陣合同關(guān)系可將(n)階方陣劃分為互不相交的等價(jià)類，同一類中的矩陣具有相同的合同不變量。三、矩陣合同的判定定理矩陣合同的判定需結(jié)合數(shù)域背景（如實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域），以下分兩種情形討論：1.復(fù)數(shù)域上的合同判定在復(fù)數(shù)域(\mathbb{C})中，任意(n)階對(duì)稱矩陣(A)都合同于一個(gè)對(duì)角矩陣，且對(duì)角矩陣的非零元素個(gè)數(shù)等于(A)的秩。判定定理：復(fù)數(shù)域上兩個(gè)對(duì)稱矩陣合同的充要條件是它們的秩相等。證明：必要性：若(A\congB)，則存在可逆矩陣(C)使得(B=C^TAC)。由于可逆變換不改變矩陣的秩（秩是合同不變量），故(\text{rank}(A)=\text{rank}(B))。充分性：設(shè)(\text{rank}(A)=\text{rank}(B)=r)，則(A)和(B)均合同于對(duì)角矩陣(\text{diag}(1,1,\dots,1,0,\dots,0))（其中1的個(gè)數(shù)為(r)）。由合同關(guān)系的傳遞性，可得(A\congB)。2.實(shí)數(shù)域上的合同判定實(shí)數(shù)域上的對(duì)稱矩陣合同不僅要求秩相等，還需滿足正慣性指數(shù)相同。慣性定理：實(shí)二次型(f(x_1,x_2,\dots,x_n)=X^TAX)經(jīng)過(guò)可逆線性變換可化為唯一的規(guī)范形(y_1^2+y_2^2+\dots+y_p^2-y_{p+1}^2-\dots-y_r^2)，其中(r)為二次型的秩，(p)為正慣性指數(shù)（正平方項(xiàng)個(gè)數(shù)），(r-p)為負(fù)慣性指數(shù)。判定定理：實(shí)數(shù)域上兩個(gè)對(duì)稱矩陣合同的充要條件是它們的秩相等且正慣性指數(shù)相同。證明：必要性：合同變換不改變矩陣的秩和正慣性指數(shù)（慣性定理），故必要性成立。充分性：設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣(A)和(B)的秩均為(r)，正慣性指數(shù)均為(p)，則(A)和(B)均合同于規(guī)范形矩陣(\text{diag}(1,\dots,1,-1,\dots,-1,0,\dots,0))（其中1的個(gè)數(shù)為(p)，-1的個(gè)數(shù)為(r-p)），由傳遞性得(A\congB)。四、矩陣合同的證明方法證明兩個(gè)矩陣合同的核心是找到可逆矩陣(C)使得(B=C^TAC)，具體方法需結(jié)合矩陣的類型（如對(duì)稱矩陣、對(duì)角矩陣）和數(shù)域背景。1.定義法直接構(gòu)造可逆矩陣(C)，驗(yàn)證(B=C^TAC)。示例：證明(A=\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix})與(B=\begin{pmatrix}1&1\1&2\end{pmatrix})在實(shí)數(shù)域上合同。證明：取(C=\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix})（可逆，行列式為1），則[C^TAC=\begin{pmatrix}1&0\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\1&2\end{pmatrix}=B]故(A\congB)。2.通過(guò)二次型規(guī)范形證明對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，可通過(guò)將矩陣對(duì)應(yīng)的二次型化為規(guī)范形，比較慣性指數(shù)和秩。示例：證明(A=\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix})與(B=\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix})在實(shí)數(shù)域上合同。證明：(A)對(duì)應(yīng)的二次型為(f=2x_1x_2)，令(x_1=y_1+y_2)，(x_2=y_1-y_2)（可逆變換），則(f=2(y_1^2-y_2^2))，規(guī)范形為(y_1^2-y_2^2)，故(A)的秩為2，正慣性指數(shù)為1。(B)對(duì)應(yīng)的二次型為(f=x_1^2-x_2^2)，規(guī)范形相同，秩為2，正慣性指數(shù)為1。由實(shí)對(duì)稱矩陣合同的判定定理，(A\congB)。3.利用合同不變量證明若兩個(gè)矩陣的合同不變量（如秩、正慣性指數(shù)）相同，則可判定合同。示例：設(shè)(A)和(B)是實(shí)對(duì)稱矩陣，且(A)正定，(B)正定，證明(A\congB)。證明：正定矩陣的秩為(n)（階數(shù)），正慣性指數(shù)為(n)，故(A)和(B)的秩與正慣性指數(shù)均相同，因此合同。五、矩陣合同的應(yīng)用場(chǎng)景1.二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與規(guī)范化二次型(f=X^TAX)的標(biāo)準(zhǔn)化過(guò)程本質(zhì)是尋找可逆變換(X=CY)，將其化為(Y^T(C^TAC)Y)，其中(C^TAC)為對(duì)角矩陣。合同矩陣對(duì)應(yīng)的二次型具有相同的慣性指數(shù)，因此可通過(guò)合同變換簡(jiǎn)化二次型的研究。例如，判斷二次型的正定性：實(shí)二次型正定的充要條件是其矩陣合同于單位矩陣。2.曲面分類在解析幾何中，二次曲面的一般方程為(X^TAX+B^TX+C=0)（其中(A)是對(duì)稱矩陣）。通過(guò)坐標(biāo)變換（對(duì)應(yīng)合同變換）可將曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而分類曲面類型。例如，橢圓面、雙曲面等的區(qū)分依賴于矩陣(A)的合同規(guī)范形。3.力學(xué)中的坐標(biāo)變換在力學(xué)系統(tǒng)中，動(dòng)能表達(dá)式常表示為二次型(T=\frac{1}{2}\dot{q}^TM\dot{q})（(M)為質(zhì)量矩陣）。通過(guò)合同變換可將(M)對(duì)角化，消除廣義坐標(biāo)間的耦合，簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程的求解。4.控制理論中的系統(tǒng)等價(jià)性線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(\dot{x}=Ax+Bu)可通過(guò)可逆線性變換(x=Cy)化為(\dot{y}=(C^{-1}AC)y+(C^{-1}B)u)。若系統(tǒng)矩陣(A)與(A')合同，則系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)等價(jià)性，可通過(guò)合同變換簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì)。六、矩陣合同與相似、等價(jià)的關(guān)系矩陣合同、相似、等價(jià)是線性代數(shù)中的三種重要關(guān)系，需注意區(qū)分：關(guān)系類型定義核心條件不變量適用范圍等價(jià)(B=PAQ)（(P,Q)可逆）秩相等秩任意矩陣相似(B=P^{-1}AP)（(P)可逆）特征值（跡、行列式）相同秩、特征值、跡、行列式任意矩陣（實(shí)對(duì)稱矩陣必相似于對(duì)角矩陣）合同(B=C^TAC)（(C)可逆）秩、正慣性指數(shù)（實(shí)對(duì)稱矩陣）秩、慣性指數(shù)（實(shí)）、秩（復(fù)）對(duì)稱矩陣（主要應(yīng)用于對(duì)稱矩陣）聯(lián)系：相似矩陣不一定合同，但正交相似矩陣一定合同（因正交矩陣滿足(P^T=P^{-1})，故(P^{-1}AP=P^TAP)）。合同矩陣不一定相似，但實(shí)對(duì)稱矩陣合同且相似的充要條件是特征值相同（此時(shí)合同變換矩陣為正交矩陣）。七、典型例題解析例題：設(shè)(A=\begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix})是二階實(shí)對(duì)稱矩陣，且(ac>b^2)，證明(A\congE)（單位矩陣）。證明：計(jì)算(A)的秩：由于(ac>b^2)，行列式(|A|=ac-b^2>0)，故(\text{rank}(A)=2)。判斷正慣性指數(shù)：(A)的順序主子式(a>0)（若(a=0)，則(|A|=-b^2<0)，與(|A|>0)矛盾），且(|A|>0