2/30重難點(diǎn)24立體幾何中的動(dòng)態(tài)、軌跡問(wèn)題【全國(guó)通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1動(dòng)點(diǎn)保持平行的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】 2【題型2動(dòng)點(diǎn)保持垂直的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】 3【題型3距離（長(zhǎng)度）有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】 3【題型4角度有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】 4【題型5翻折有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】 5【題型6軌跡所圍圖形的周長(zhǎng)、面積問(wèn)題】 61、立體幾何中的動(dòng)態(tài)、軌跡問(wèn)題立體幾何中的“動(dòng)態(tài)、軌跡”問(wèn)題是高考立體幾何問(wèn)題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，是高考中的重點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題，它滲透了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題型更新穎.同時(shí)，由于“動(dòng)態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨多元化，將立體幾何問(wèn)題與平面幾何中的解三角形問(wèn)題、多邊形面積問(wèn)題以及解析幾何問(wèn)題之間建立橋梁，使得它們之間靈活轉(zhuǎn)化，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.知識(shí)點(diǎn)1立體幾何中的軌跡問(wèn)題1．立體幾何中的軌跡問(wèn)題立體幾何軌跡問(wèn)題是以空間圖形為素材，去探究符合一定條件的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，處于解析幾何和立體幾何的交匯處，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化和化歸能力，以及對(duì)解析幾何和立體幾何知識(shí)的全面掌握.常見(jiàn)的軌跡類(lèi)型有直線、圓雉曲線、球面、橢球面.知識(shí)點(diǎn)2立體幾何中的動(dòng)態(tài)、軌跡問(wèn)題的解題策略1．動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷方法動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷一般根據(jù)線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.2．立體幾何中的軌跡問(wèn)題的常見(jiàn)解法(1)定義法：根據(jù)圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而求解軌跡問(wèn)題.(2)交軌法：若動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件是兩動(dòng)曲線(曲線方程中含有參數(shù))的交點(diǎn)，此時(shí)，要首先分析兩動(dòng)曲線的變化，依賴于哪一個(gè)變量?設(shè)出這個(gè)變量為t，求出兩動(dòng)曲線的方程，然后由這兩動(dòng)曲線方程著力消去參數(shù)t，化簡(jiǎn)整理即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法我們稱為交軌法.(3)幾何法：從幾何視角人手，結(jié)合立體幾何中的線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再進(jìn)行求解.(4)坐標(biāo)法：坐標(biāo)法就是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將立體幾何中的軌跡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，進(jìn)行求解.(5)向量法：不通過(guò)建系，而是利用空間向量的運(yùn)算、空間向量基本定理等來(lái)研究立體幾何中的軌跡問(wèn)題，進(jìn)行求解.【題型1動(dòng)點(diǎn)保持平行的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】【例1】（2025·江西·二模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)M滿足C1M=3MC，若在正方形A1A．4 B．17 C．5 D．4【變式1-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是23，M為A1C1的中點(diǎn)，N是側(cè)面A．6 B．2 C．2 D．4【變式1-2】（2025·北京昌平·二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，M是BB1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A．22 B．2 C．1 D．【變式1-3】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界）．若A．3 B．5 C．22 D．【題型2動(dòng)點(diǎn)保持垂直的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】【例2】（2025·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）在所有棱長(zhǎng)為4的正四棱錐P?ABCD中，M是底面正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若PM⊥MD，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度是（

）A．2π B．2π C．22【變式2-1】（24-25高三上·浙江寧波·期末）已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正四面體表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持PE⊥BC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡周長(zhǎng)為（

）A．4 B．33 C．4+3 【變式2-2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M是棱CC1的中點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)A．55 B．3 C．2π 【變式2-3】（2024·四川成都·三模）在棱長(zhǎng)為5的正方體ABCD?A1B1C1D1中，Q是DDA．5π B．25π C．5【題型3距離（長(zhǎng)度）有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】【例3】（2025·山西忻州·模擬預(yù)測(cè)）已知正六棱柱ABCDEF?A1B1C1D1E1F1的底面邊長(zhǎng)為4，體積為A．π B．2π3 C．4π【變式3-1】（2025·湖南·三模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)M是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足線段MC的長(zhǎng)度是點(diǎn)M到PD的距離的2倍，則點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為（

）A．2π B．4π C．6π【變式3-2】（2025·四川南充·二模）三棱錐A?BCD中，AB=AC=AD=4，BC=CD=DB=6，P為△BCD內(nèi)部及邊界上的動(dòng)點(diǎn)，AP=22，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（

A．π B．2π C．3π D．4π【變式3-3】（24-25高一下·安徽銅陵·期末）截交線，是平面與空間形體表面的交線，它是畫(huà)法幾何研究的內(nèi)容之一.當(dāng)空間形體表面是曲面時(shí)，截交線是一條平面曲線；當(dāng)空間形體表面由若干個(gè)平面組成時(shí)，截交線是一個(gè)多邊形.已知正三棱錐O?ABC，滿足OA⊥OB,OB⊥OC,OA⊥OC,OA=3，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動(dòng)，且OP=6，則點(diǎn)P的軌跡與這個(gè)正三棱錐的截交線長(zhǎng)度為（A．3π2 B．2π2 C．【題型4角度有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】【例4】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知M，N，P分別是棱C1D1，AA1，BC的中點(diǎn)，Q為平面PMNA．π2 B．π C．2π D．【變式4-1】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐P?ABCD的體積為423，底面ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在經(jīng)過(guò)球心的截面圓上，頂點(diǎn)P在球O的球面上，點(diǎn)E為底面ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，PE與PO所成角為π6，則點(diǎn)EA．2π B．43π C．6【變式4-2】（2025·海南?？凇ひ荒＃┤鐖D，點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線A．π+42 B．42π C．【變式4-3】（2025·上海徐匯·二模）三棱錐P?ABC各頂點(diǎn)均在半徑為22的球O的表面上，AB=AC=22,∠BAC=90°，二面角P?BC?A①三棱錐O?ABC的體積為83；②點(diǎn)P形成的軌跡長(zhǎng)度為2A．①②都是真命題B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題D．①②都是假命題【題型5翻折有關(guān)的動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題】【例5】（2024·廣西南寧·一模）在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠ABC=120°．將菱形沿對(duì)角線AC折疊成大小為30°的二面角B′?AC?D．若點(diǎn)E為B′C的中點(diǎn)，F(xiàn)為三棱錐B′?ACD表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足A．4+6?22 B．4+6+【變式5-1】（24-25高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，已知菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，E為邊BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE翻折成△AB1E（點(diǎn)B1位于平面ABCD上方），連接B1C和B1①平面AB1E⊥平面B1EC；②A③三棱錐B1?AED體積最大值為233；④點(diǎn)A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④【變式5-2】（24-25高一下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿著對(duì)角線BD折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，得到三棱錐P?BCD，點(diǎn)M∈平面BCD，且PM=3，若PC=5，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為【變式5-3】（24-25高一下·吉林·期末）已知菱形ABCD的各邊長(zhǎng)為4，∠D=60°．如圖所示，將△ACD沿AC折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)S的位置，連接SB，得到三棱錐S?ABC，此時(shí)SB=6．若E是線段SA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在三棱錐S?ABC的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持EF⊥AC，則點(diǎn)F軌跡的面積為．【題型6軌跡所圍圖形的周長(zhǎng)、面積問(wèn)題】【例6】（24-25高一下·江蘇常州·期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2，AAA．32 B．3 C．6 D．【變式6-1】（24-25高三上·北京西城·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(diǎn)，A．W是平行四邊形，且周長(zhǎng)為2B．W是平行四邊形，且周長(zhǎng)為3C．W是等腰梯形，且周長(zhǎng)為2D．W是等腰梯形，且周長(zhǎng)為3【變式6-2】（2024·浙江臺(tái)州·一模）已知球O的半徑為3，P是球O表面上的定點(diǎn)，S是球O表面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足2SO+SP?OPA．32π B．35π C．【變式6-3】（2025·河南·三模）設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D

①如果AM⊥BD1，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為②如果B1M∥平面AEC1，則點(diǎn)③如果EM∥平面D1B1BD，則點(diǎn)④如果EM⊥BD1，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4一、單選題1．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M∈平面A．6π B．3π C．232．（2025·廣西·三模）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A．6π B．4π C．233．（2025·甘肅·二模）如圖，在三棱錐S?ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=90°且SA=AB=AC=2，若在△SBC內(nèi)（包括邊界）有一動(dòng)點(diǎn)P，使得AP與平面SBC所成角的正切值為62，則點(diǎn)A．4π3 B．π C．24．（2025·遼寧本溪·模擬預(yù)測(cè)）將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿著對(duì)角線BD折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，得到三棱錐P?BCD，點(diǎn)M∈平面BCD，且PM=3,若PC=5,則點(diǎn)A．32π4 B．3π2 5．（2025·江西·二模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)A．316 B．38 C．346．（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.如圖所示，某同學(xué)利用兩個(gè)完全一樣的半圓柱，得到了一個(gè)三棱錐A?BCD，該三棱錐為鱉臑，O1，O2為半圓柱的圓心，半徑為2，BD=4，∠AO2C=60°，動(dòng)點(diǎn)Q在△ACDA．2π B．3π C．227．（2024·上海·三模）已知OA是圓柱OO1下底面的一條半徑，OA=1，OO1=10，P為該圓柱側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，PB垂直下底面于點(diǎn)B，若PB=∠AOB，則對(duì)于下述結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；②動(dòng)點(diǎn)PA．①②都正確 B．①正確，②錯(cuò)誤C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①②都錯(cuò)誤8．（2025·北京·二模）設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，P為正方體表面上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線AA1的距離與它到平面A．32 B．22+π C．二、多選題9．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AB=AA1=BD=2，點(diǎn)G是棱AA．Ω為平行四邊形 B．Ω為梯形C．PA1+PD1的最小值為10．（2025·江蘇蘇州·三模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為A．使三棱錐F?AD1EB．存在點(diǎn)F，使得直線C1F與CC．D1E⊥AF時(shí)，點(diǎn)D．D1E//平面A1C11．（24-25高二下·湖北·階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)M為A．滿足MP//平面BDA1的點(diǎn)PB．滿足MP⊥AM的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2C．存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)BD．不存在點(diǎn)P滿足PA+PM=5三、填空題12．（2025·山東濱州·二模）在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,BC=22，點(diǎn)D為△PAB內(nèi)（包含邊界）一點(diǎn)，且BD⊥CD，則點(diǎn)D的軌跡的長(zhǎng)度為13．（2025·山東威?！と＃┰谌忮FP?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=4,∠ACB=90°．若Q為側(cè)面PAB內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，CQ=22，當(dāng)該三棱錐的體積最大時(shí)，Q的軌跡與AB,PB14．（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形且∠DAB=π3，AA1⊥底面ABCD，AA1=3四、解答題15．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，E為棱DD1的中點(diǎn)，16．（2025·浙江嘉興·二模）如圖，已知AD//BC//FE，平面ABF⊥平面ADEF，AB⊥AF，AF⊥AD，AD=2BC=2EF=2AF=2，點(diǎn)P為梯形ADEF內(nèi)（包括邊界）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(1)求點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度；(2)當(dāng)線段BP最短時(shí)，直線BP與平面BCEF所成角θ的正弦值為36，求三棱錐P?CDE17．（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD?EFGH，底面是正方形，P為AH中點(diǎn)，AB=23

(1)求四棱錐F?ABCD的體積；(2)正方體ABCD內(nèi)（包括邊界）是否存在點(diǎn)M，使三棱錐P?AMB體積是四棱錐F?ABCD體積的18？若存在，請(qǐng)指出滿足要求的點(diǎn)