專題04指對數(shù)運算、指對冪函數(shù)與零點

目錄

明晰學考要求................................................................................................................................................................1

基礎知識梳理................................................................................................................................................................1

考點精講講練................................................................................................................................................................6

考點一：指數(shù)運算................................................................................................................................................6

考點二：對數(shù)運算..............................................................................................................................................10

考點三：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念及其解析式.........................................................................13

考點四：冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)..........................................................................................................................16

考點五：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)......................................................................................................................19

考點六：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)......................................................................................................................22

考點七：函數(shù)的零點問題..................................................................................................................................25

實戰(zhàn)能力訓練..............................................................................................................................................................29

明晰學考要求

1、了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景.

2、理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算.

3、理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點.

4、理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式，能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù);了解對數(shù)在

簡化運算中的作用.

5、理解對數(shù)函數(shù)的概念;理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點.

x

6、了解指數(shù)函數(shù)ya與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)(a0，a1).

7、了解冪函數(shù)的概念.

11

8、結(jié)合函yx,yx2,yx3,y,yx2的圖象，了解它們的變化情況

x

9、結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解兩數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).

基礎知識梳理

一、指數(shù)與指數(shù)冪的運算

1．根式

（1）n次方根的概念與性質(zhì)

概念一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n1，nΝ.

①當n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù).這時，

na的n次方根用符號na表示.

次

②當n是偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)a

方

性質(zhì)

的正的n次方根用符號na表示，負的n次方根用符號na表示.正的n次方根

根

與負的n次方根可以合并寫成na(a0).負數(shù)沒有偶次方根.

③0的任何次方根都為0，記作n00.

（2）根式的概念與性質(zhì)

概念式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

①(na)na(n1,且nN).

根

式②當為奇數(shù)時，nn

性質(zhì)naa.

a,a0

③當n為偶數(shù)時，nana.

a,a0

2．實數(shù)指數(shù)冪

（1）分數(shù)指數(shù)冪

m

nm*

①我們規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是ana(a0,m,nN,且n1).

于是，在條件a0,m,nN*,且n1下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.

m

1

②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定n*且

am(a0,m,nN,

an

n1).

③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.

（2）實數(shù)指數(shù)冪

對于任意實數(shù)r,s，均有下面的運算性質(zhì)：

①arasars(a0,r,sR)；②(ar)sars(a0,r,sR)；③(ab)rarbr(a0,b0,rR).

二、對數(shù)與對數(shù)運算

1．對數(shù)的概念

x

（1）對數(shù)：一般地，如果aN(a0,且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，

其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

x

（2）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：aNxlogaN.

（3）兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)lgN；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù)lnN.

2．對數(shù)的性質(zhì)

（1）1的對數(shù)等于0，即loga10；

（2）底數(shù)的對數(shù)等于1，即logaa1；

（3）對數(shù)恒等式alogaNN(N0).

3．對數(shù)的運算性質(zhì)

如果a0,且a1,M0,N0，那么：（1）logaM+logaNloga(MN)；

M

（2）logMlogNlog；（3）logMn=nlogM(nR).

aaaNaa

4．對數(shù)的換底公式

logN

c且且

對數(shù)的換底公式：logbN(b0,b1;c0,c1;N0).

logcb

換底公式的變形及推廣：

n1

（）n且；（）logb(a0且a1;b0且b1)；

1logamblogab(a0a1,b0)2a

mlogba

三、冪函數(shù)

1．冪函數(shù)的概念

一般地，形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x為自變量，為常數(shù).

2．幾個常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1

231

函數(shù)yxyxyx2y

yxx

定義域RRR[0,){x|x0}

值域R[0,)R[0,){y|y0}

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

在上單在上單調(diào)遞減；

R(,0)在R上單在[0,)上單在(,0)和(0,)

單調(diào)性

調(diào)

遞增在[0,)上單調(diào)遞增調(diào)遞增調(diào)遞增上單調(diào)遞減

過定點過定點(0,0),(1,1)過定點(1,1)

圖象

四、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1．指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)yax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

【注】指數(shù)函數(shù)yax(a0,且a1)的結(jié)構特征：

（1）底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；（2）指數(shù)：僅有自變量x；（3）系數(shù)：ax的系數(shù)是1.

2．指數(shù)函數(shù)yax(a0,且a1)的圖象與性質(zhì)

0a1a1

定義域R

值域(0,)

奇偶性非奇非偶函數(shù)

xx

對稱性函數(shù)ya與ya的圖象關于y軸對稱

過定點過定點(0,1)，即x0時，y1

圖象

單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)

函數(shù)值的變化情況當x0時，y1；當x0時，0y1當x0時，y1；當x0時，0y1

指數(shù)函數(shù)在同一坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小關系如下圖所示，其中

0cd1ab.

①在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應的底數(shù)由大變?。?/p>

②在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應的底數(shù)由大變小.

底數(shù)對圖象的影響

即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大.

五、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1．對數(shù)函數(shù)的概念

且

一般地，我們把函數(shù)y=logax(a0,a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,).

2．對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

且

一般地，對數(shù)函數(shù)y=logax(a0,a1)的圖象與性質(zhì)如下表所示：

0a1a1

圖象

定義域(0,)

值域R

性質(zhì)過定點(1,0)，即x1時，y0

在(0,)上是減函數(shù)在(0,)上是增函數(shù)

當x＞1時，y＜0；當x＞1時，y＞0；

當0＜x＜1時，y＞0當0＜x＜1時，y＜0

在直線x1的右側(cè)，當a1時，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；

當0a1時，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”．

六、函數(shù)的零點

1．函數(shù)零點的概念

對于函數(shù)yf(x),xD，我們把使f(x)0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x),xD的零點．

2．函數(shù)的零點與方程的根之間的聯(lián)系

函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0的實數(shù)根，也就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標即

方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點．

??

3．零點存在性定理

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)

yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c(a,b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根.

4．常用結(jié)論

（1）若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點；

（2）函數(shù)F(x)f(x)g(x)有零點方程F(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象有交

點；

（3）函數(shù)F(x)f(x)a有零點方程F(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)與ya的圖象有交點

a{y|yf(x)}，其中a為常數(shù).

考點精講講練

考點一：指數(shù)運算

利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求值的方法：進行指數(shù)冪的運算時，一般化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指

數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)，同時兼顧運算的順序．

【典型例題】

例1．（2023高三上·廣西·學業(yè)考試）424（）

1

A．0B．C．1D．2

3

【答案】D

【詳解】4242.

故選：D.

例2．（2022高二下·天津·學業(yè)考試）已知2m3，2n5，則2mn的值為（）

5

A．B．2C．8D．15

3

【答案】D

【詳解】2mn2m2n3515.

故選：D

例．（高一上江蘇淮安學業(yè)考試）已知，則121

32011··a4a6a3a3=

【答案】2

1211211

【詳解】

a6a3a3a633a242.

故答案為：2.

例4．（2023高二下·遼寧·學業(yè)考試）已知2xy2，則4x2y的最小值為．

【答案】4

【詳解】因為2xy2，且4x22x0,2y0，

所以4x2y22x2y222x2y222xy2224，

1

當且僅當x,y1時，取等號．

2

故答案為：4.

04

1

7330.75

例5．（2023高二·山西·學業(yè)考試）0.0643216．

9

23

【答案】

16

1

0.751151723

【詳解】原式0.4331(2)4240.411

16821616

23

故答案為：

16

【即時演練】

1．下列各式正確的是（）

A．a(chǎn)babB．a(chǎn)aa3

11

C．63D．a(chǎn)

aaaa

【答案】D

【詳解】對于A，當a0,b0時，abab不成立；即A錯誤；

對于B，由a可知a0，因此aaa3，即B錯誤；

對于C，當a0時，a6a3不成立，即C錯誤；

2

111

對于D，顯然a0，所以aa，即D正確.

aaa

故選：D

4

13

42

．302

20.0643π4.

2

【答案】6.4

1

【詳解】原式0.49186.4.

4

故答案為：6.4.

2111

2a3b26a2b3

．已知實數(shù)，，化簡：

3a0b0.

15

3a6b6

【答案】4a

2111

3223

2ab6ab211115

【詳解】326236.

154ab4a

3a6b6

故答案為：4a.

4．計算下列各式的值：

1

15

3

427624

(1)43π2842

8

若mn，求m2n的值．

(2)104,105102

31

【答案】(1)π

3

2

(2)

5

115

27

【詳解】（1）4(3π)4()3[(2)6]28442

8

1

3

3351

3344

3π222

2

1151

33

π322424

2

2

π3824

3

231

π3816π.

33

11

m2n

（）(10m)2422

2102.

10n55

5．計算：

1

2

302

1327；

(1)8625

3125

1

86

2

(2)a5b55a45b3（a0，b0）.

【答案】(1)25

6

(2)b5

1

2

302

【詳解】（）1327

18625

3125

1

233

133

23125

35

1

123

2152

35

45

15225.

33

1

86

2

（2）a5b55a45b3

816143

a52b52a5b5

43436

a5b5a5b5b5.

考點二：對數(shù)運算

根據(jù)定義進行指數(shù)與對數(shù)的互化，利用對數(shù)的性質(zhì)和運算性質(zhì)進行對數(shù)運算

【典型例題】

例1．（2024高二下·云南·學業(yè)考試）已知a0,b0.若ab1，則lgalgb（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【詳解】lgalgblgablg10.

故選：A

例2．（2023高二上·遼寧沈陽·學業(yè)考試）若lga和lgb是方程x2x10的兩個根，則ab等于（）

1

A．1B．C．1D．10

10

【答案】D

【詳解】由lga和lgb是方程x2x10的兩個根，得lgalgb1，即lgab1，

所以ab10．

故選：D

例3．（2024高二上·北京·學業(yè)考試）log64log69．

【答案】2

【詳解】log64log69log649log6362.

故答案為：2.

xxx

例4．（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）已知log321，則24.

【答案】12

xxxx2

【詳解】由log321得23，則4(2)9，

所以2x4x3912，

故答案為：12.

例5．（2011高一上·江蘇淮安·學業(yè)考試）計算log264lg2lg5

13

【答案】

2

1

【詳解】log64lg2lg5log26lg2lg5

222

1113

6lg106.

222

13

故答案為：.

2

【即時演練】

412

27log210

1．loglog[42(33)37log72]

332

log5

【答案】2

4

412

log210

2723log72

【詳解】log3·log24337

3

3

34

log·log2log21037log72

332

1

·log21032

4

log5

2

4

log5

故答案為：2.

4

11

2．若2a5bm，且2，則實數(shù)m.

ab

【答案】1

10/102

ab

【詳解】由題意知，25m0，則alog2m,blog5m，

1111

所以logm2logm5logm102，

ablog2mlog5m

log102

又10，所以m10.

故答案為：10.

log4log8logmlog7

3．設3481，那么m

.

3

1

【答案】

7

【詳解】因為log34log48log8mlog17

3

lg4lg8lgmlg7

由換底公式可得1，

lg3lg4lg8lg

3

lgmlg71

∴，即lgmlg7lg，

lg3lg37

1

∴m.

7

1

故答案為：.

7

b

4．若log52a,35，則可以用a及b表示:log152

ab

【答案】

b1

abb1

【詳解】由題設52,35，則315，blog35，

aaab

所以log2logb15log5.

153b13b1

ab

故答案為：

b1

5．計算：

1

3

(1)1320；

log32log323πl(wèi)og38

279

2

(2)lg2lg2lg5lg5log23log35log58．

【答案】(1)2

(2)2

1

3

3

【詳解】（1）原式15

log32log392log3233log32

3

35log3222log3233log322；

lg3lg5lg8

（2）原式lg2lg2lg5lg5

lg2lg3lg5

3lg2

lg2lg5132.

lg2

考點三：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念及其解析式

判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為yx(為常數(shù))或者轉(zhuǎn)化為yx(為常數(shù))的形式；

判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為yax(a0且a1或者轉(zhuǎn)化為yax(a0且

a1的形式；

判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為且或者轉(zhuǎn)化為

ylogax(a0a1

且的形式

ylogax(a0a1

【典型例題】

例1．（2024高二下·湖南·學業(yè)考試）已知冪函數(shù)yx的圖象經(jīng)過點2,4，則（）

11

A．2B．2C．D．

22

【答案】A

【詳解】將2,4代入yx得：42，解得：2.

故選：A

例2．（2020高二上·新疆·學業(yè)考試）若指數(shù)函數(shù)yfx的圖象經(jīng)過點2,9，則滿足fx27的x的值是

（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

x

【詳解】設fxa(a0且a1)，則a29，解得a3或a3（舍去），

xx

所以fx3，令fx327，又2733，所以x3.

故選：B

例3．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）若函數(shù)ya25a7ax42a是指數(shù)函數(shù)，則有（）

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)3

C．a(chǎn)2或a3D．a(chǎn)2，且a3

【答案】A

【詳解】因為ya25a7ax42a是指數(shù)函數(shù)，

所以a25a71，a25a60，a2a30，且42a0

所以.

故選：?=A.2

例4．（2023高二上·新疆·學業(yè)考試）已知冪函數(shù)fxx的圖象經(jīng)過點(9,3)，則f(2).

【答案】2

1

【詳解】由條件可知9323，所以，

2

所以fxx，所以f22，

故答案為：2.

例5．對數(shù)函數(shù)的圖像過點M125,3，則此對數(shù)函數(shù)的表達式為．

【答案】ylog5x

【詳解】設，由題意可得，解得

ylogaxloga1253a5.

所以此對數(shù)函數(shù)的表達式為ylog5x.

故答案為：ylog5x.

【即時演練】

1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（）

ylogx

A．yloga5x（a0且a1）B．31

C．ylog3xD．ylogx3（x0且x1）

【答案】B

【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義fxlogax(a0且a1),

分析A,B,C,D函數(shù)形式，

ylogx

函數(shù)31為對數(shù)函數(shù).

故選：B.

1x1

2．若函數(shù)fxa3a是指數(shù)函數(shù)，則f的值為（）

23

．．．1．

A2B3C43D4

【答案】A

1x

【詳解】函數(shù)fxa3a是指數(shù)函數(shù)，

2

1

a31且a0且a1，解得a8，

2

1

x1

fx8，f832.

3

故選：A．

x

3．若函數(shù)y2a1（x是自變量）是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是（）

A．(0,1)(1,)B．0,11,

11

C．,11,D．[,)

22

【答案】C

x2a101

【詳解】因為函數(shù)y2a1（x是自變量）是指數(shù)函數(shù)，所以，解得：a且a1；

2a112

故選：C

4．下列函數(shù)既是冪函數(shù)，又在,0上單調(diào)遞減的是（）

-

A．yxB．y=x2

x

12

C．yD．y=x

2

【答案】D

【詳解】因為形如yx的函數(shù)為冪函數(shù)，顯然A、C不符合定義，B、D符合冪函數(shù)定義；

又y=x2在,0上單調(diào)遞減，在0,上單調(diào)遞增，故D正確，

-

y=x2在,0上單調(diào)遞增，在0,上單調(diào)遞減，即C錯誤.

故選：D

1

5．若冪函數(shù)yxa的圖象經(jīng)過點,27，則此冪函數(shù)的表達式是

9

3

【答案】yx2

3

1a2a33

【詳解】由題設()2733a，故冪函數(shù)表達式為2.

92yx

3

故答案為：yx2

考點四：冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【典型例題】

例1．（2024高二下·湖南婁底·學業(yè)考試）函數(shù)yx3的大致圖像是（）

A．B．C．

D．

【答案】A

【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的特點知選項A的圖象為函數(shù)yx3的大致圖像.

故選：A.

例2．（2020高二下·山東·學業(yè)考試）已知函數(shù)yxaba,bR的大致圖象如圖所示，則（）

A．a(chǎn)0,b0B．a(chǎn)0,b0

C．a(chǎn)0,b0D．a(chǎn)0,b0

【答案】B

【詳解】由題中圖象知函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得，

???>0

由圖知當時，fx0b0，所以b0.故B正確.

?=0

故選：B.

例3．（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）已知冪函數(shù)fxm22m2xm在上單調(diào)遞減，則實數(shù)

0,+∞

m的值為（）

A．3B．1C．3D．1

【答案】A

2m

【詳解】由函數(shù)fxm2m2x為冪函數(shù)，可得m22m21，

即m22m30，解得m3或m1，

當m3時，函數(shù)fxx3在0,上單調(diào)遞減，符合題意；

當m1時，函數(shù)fxx在0,上單調(diào)遞增，不符合題意.

故選：A.

例4．（2023高二·重慶·學業(yè)考試）設a，bR，則“ab”是“a3b3”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件

【答案】C

3

【詳解】因為fxx在R上為增函數(shù)，則ab可以推出a3b3，反之，若a3b3，則可推出ab，

所以“ab”是“a3b3”的充分必要條件.

故選：C.

例5．（2023高二上·寧夏銀川·學業(yè)考試）已知冪函數(shù)fxx的圖象過點P3,9，則

【答案】2

【詳解】因為冪函數(shù)fxx的圖象過點P3,9，

所以f339，解得2.

故答案為：2.

【即時演練】

1．已知冪函數(shù)ym2x12m在區(qū)間0,上單調(diào)遞減，則m（）

1

A．1B．1C．D．2

2

【答案】A

【詳解】由于ym2x12m是冪函數(shù)

所以m21，解得m1或m1

當m1時，函數(shù)為yx1，滿足在(0,)上為減函數(shù)，符合題意；

當m1時，函數(shù)為yx3，不滿足在(0,)上為減函數(shù)，不符合題意．

故m1

故選：A

3.13.1

．已知1，1，1，則，，的大小關系為（）

2a2cabc

2b3.13

A．cabB．a(chǎn)cbC．cbaD．a(chǎn)bc

【答案】A

3.13.1

3.111113.1

【詳解】由函數(shù)yx在0,上單調(diào)遞增，且1，則11，

3232

1

由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則11，

yx20,3.113.12121

3.13.1

111

所以3.12，即cab.

32

故選：A.

3．已知冪函數(shù)fx的圖象經(jīng)過點2,2，則函數(shù)fx的圖象大致為（）

A．B．

C．D．

【答案】C

1

【詳解】設fxx，將2,2代入得22，解得，

2

1

故fxx2，其定義域為0,，由冪函數(shù)的常見函數(shù)圖象可知，C正確.

故選：C

4．函數(shù)yxa1（a是有理數(shù)）的圖象過一定點P，則P的坐標為.

【答案】1,2

【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，yxa1恒過定點P1,2，

故答案為：1,2

5．已知冪函數(shù)fxxa的圖象過點(2,22)，且f(m2)1，則實數(shù)m的取值范圍是．

【答案】,3

a

【詳解】將點(2,22)代入fxxa得222，解得a3，

所以fxx3，

因為fx在R上單調(diào)遞增，且f11，

所以當f(m2)1時，m21，解得m3，即實數(shù)m的取值范圍是,3，

故答案為：,3

考點五：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【典型例題】

x

例1．（2024高二上·北京·學業(yè)考試）在區(qū)間a,5上，fx2的最大值是其最小值的4倍，則實數(shù)a（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【詳解】fx2x區(qū)間a,5上單調(diào)遞增，又fa2a，f52532，

所以3242a，即2a823，解得a3，

故選：C.

例2．（2022高二下·河北·學業(yè)考試）已知函數(shù)fxx3xa3x為偶函數(shù)，則實數(shù)a（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】B

【詳解】因為函數(shù)fxx3xa3x為偶函數(shù)，又函數(shù)fxx3xa3x的定義域為R，

所以fxfx，即x3xa3xx3xa3x，

所以a13x3xx0對任意的x恒成立，

又3x3x0，所以a10，解得a1.

故選：B

例3．（2021高二上·新疆·學業(yè)考試）函數(shù)f(x)ax1（a0，且a1）的圖象過的定點是（）

A．0,1B．1,0C．0,2D．(2,0)

【答案】C

【詳解】由指數(shù)函數(shù)yax的圖象過定點0,1，

所以函數(shù)fxax1的圖象過定點0,2，故C正確.

故選：C.

例4．（2024高二下·云南·學業(yè)考試）函數(shù)y2x的最小值為（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【詳解】因為x0，當且僅當x0時，等號成立，

且y2x在R上單調(diào)遞增，可得y2x201，

所以函數(shù)y2x的最小值為1.

故選：B.

例5．（2024高二上·新疆·學業(yè)考試）已知函數(shù)f(x)12x，且，則t的取值范圍是（）

?(3?2?)>?(?)

A．(,1)B．(1,)

C．(,1)D．(1,)

【答案】D

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知f(x)12x為單調(diào)減函數(shù)，

因為，則，解得t1，

則t的?(取3值?范2?圍)>是?((1?,)).3?2?<?

故選：D.

【即時演練】

1．若a1.010.8,b1.010.9,c0.60.8，則（）

A．cabB．cba

C．a(chǎn)bcD．bac

【答案】D

【詳解】因為函數(shù)y1.01x是增函數(shù)，

所以1.010.91.010.81，即ba1，

又c0.60.81，

所以bac.

故選：D.

x

1

2．函數(shù)fx,x0,2，則fx的值域是（）

2

A．0,4B．0,1

11

C．,1D．,1

42

【答案】C

xx

111

【詳解】因為y在上單調(diào)遞減，所以y在上的值域為,1.

22