專題02不等式

目錄

明晰學(xué)考要求................................................................................................................................................................1

基礎(chǔ)知識梳理................................................................................................................................................................1

考點精講講練................................................................................................................................................................3

考點一：不等式的性質(zhì)........................................................................................................................................3

考點二：和定求積和積定求和............................................................................................................................7

考點三：配湊法..................................................................................................................................................10

考點四：“1”的代換............................................................................................................................................13

考點五：解不含參數(shù)的一元二次不等式.........................................................................................................17

考點六：由二次不等式的解確定參數(shù).............................................................................................................20

考點七：不等式的實際應(yīng)用..............................................................................................................................23

實戰(zhàn)能力訓(xùn)練..............................................................................................................................................................28

明晰學(xué)考要求

1、了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實際背景；

2、會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型；

3、通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；

4、會解一元二次不等式；

5、了解基本不等式的證明過程；

6、會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題

基礎(chǔ)知識梳理

一、不等式的性質(zhì)

1.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對稱性abba雙向性

傳遞性ab,bcac單向性

可加性aba＋cb＋c雙向性

同向可加性ab,cdacbd單向性

ab,c0acbc

可乘性單向性，注意c的符號

ab,c0acbc

同向同正可乘性ab0,cd0acbd單向性

可乘方性ab0anbn(nN,n1)單向性

可開方性ab0nanb(nN，n2)單向性

2.倒數(shù)以及分?jǐn)?shù)的有關(guān)性質(zhì)

11

ab，ab0.

ab

11

a0b.

ab

倒數(shù)的性質(zhì)

ab

ab0,0cd.

cd

111

0axb或axb0.

bxa

bbmbbm

；bm0；

aamaam

分?jǐn)?shù)的性質(zhì)（ab0，m0）

aamaam

；bm0；

bbmbbm

二、基本不等式

不等式內(nèi)容等號成立條件

重要不等式a2b22aba,bR當(dāng)且僅當(dāng)“ab”時取“”

ab

基本不等式aba0,b0當(dāng)且僅當(dāng)“ab”時取“”

2

ab

叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，ab叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)．

2

基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．

ab

注意：“當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立”是指若ab，則a2b22ab,ab即只能有

2

ab

a2b22ab,ab

2

基本不等式與最值

已知x,y都是正數(shù)，則（1）如果積xy等于定值P，那么當(dāng)xy時，和xy有最小值2P；

1

（2）如果和xy等于定值S，那么當(dāng)xy時，積xy有最大值S2.

4

注意：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：（1）x、y0，（2）和(積)為定值，（3）

存在取等號的條件，簡稱“一正二定三相等”

三、一元二次不等式及其解法

1．三個“二次”之間的關(guān)系

判別式b24ac000

yax2bxc(a0)的圖象

一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根

b沒有實數(shù)根

ax2bxc0(a0)的根x,x(xx)xx

1212122a

一元二次不等式

b

(,x1)(x2,){x|x}R

ax2bxc0(a0)的解集2a

一元二次不等式

(x1,x2)

ax2bxc0(a0)的解集

2．一元二次不等式恒成立問題

ab0a0

（1）2恒成立的充要條件是：或

axbxc02

c0b4ac0

ab0a0

（2）2恒成立的充要條件是：或

axbxc02

c0b4ac0

考點精講講練

考點一：不等式的性質(zhì)

利用不等式判斷正誤的方法：

①直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可．

②特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是

所取的值要有代表性．

【典型例題】

例1．（2024高二上·北京·學(xué)業(yè)考試）已知ab,cd，則下面不等式一定成立的是（）

A．a(chǎn)dbcB．a(chǎn)dbc

C．a(chǎn)dbcD．a(chǎn)dbc

【答案】C

【詳解】對于ABD:取a4,b3,c2,d1，滿足ab,cd，顯然adbc和adbc，adbc

都不成立；

對于C：由cd可得dc，故adbc成立.

故選：C

例2．（2024高二下·湖北·學(xué)業(yè)考試）已知b克糖水中含有a克糖ba0，再添加m克糖（m0）（假設(shè)

全部溶解），糖水變甜了.能夠表示這一事實的不等式是（）

amabmb

A．B．

bbaa

amabmb

C．D．

bmbama

【答案】C

aam

【詳解】由題意可知糖水原濃度為，加糖之后的濃度為，

bbm

ama

則有.

bmb

故選：C

例3．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）若實數(shù)a,b滿足a0b，則（）

A．a(chǎn)b0B．a(chǎn)b0

11

C．a(chǎn)2b2D．

ab

【答案】D

【詳解】對于ABC，令a1,b1，顯然滿足a0b，同時ab>0，ab0，a2b2，故ABC錯誤；

11

對于D，若a0b，則0，故D正確.

ab

故選：D.

例4．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）若實數(shù)a，b，c滿足ab0，c0，則（）

abcc

A．a(chǎn)cbcB．C．a(chǎn)cbcD．

ccab

【答案】D

【詳解】因為ab0，c0，

由不等式性質(zhì)可知acbc，acbc，故AC錯誤；

1ab

由c0，可得0，不等式性質(zhì)可知，故B錯誤；

ccc

1111

由ab0可知0，所以ab，即，

abababba

cc

又c0，所以，故D正確.

ba

故選：D

例5．（2024高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）已知ab，則下列不等式一定成立的是（）

A．a(chǎn)b>0B．1a1bC．a(chǎn)bD．a(chǎn)2b2

【答案】A

【詳解】因為ab，

所以ab>0，A正確；

ab，因此1a1b，B錯；

a1,b2時，ab，但ab，a2b2，CD錯；

故選：A．

【即時演練】

1．下列不等式性質(zhì)哪個是錯誤的（）

A．若ab,bc，則ac

B．若ab,cd，則acbd

C．若ab，則ac2bc2

D．若ab0,cd0，則acbd

【答案】C

【詳解】對于A，由不等式的傳遞性知，若ab,bc，則ac，因此A正確；

對于B，由不等式的可加性知，ab,cd，則acbd，因此B正確；

對于C，若c0，則ac2bc2，因此C不正確；

對于D，由不等式的可乘性知，若ab0,cd0，則acbd，因此D正確；

故選：C.

2．若ab,c0，則下列不等式恒成立的是（）

ab

A．B．a(chǎn)cbc

cc

C．a(chǎn)c2bc2D．a(chǎn)c3bc3

【答案】C

1ab

【詳解】對于A，當(dāng)c0時，則0，又因為ab，所以，故A不正確；

ccc

對于B，當(dāng)c0時，由ab，得acbc，故B不正確；

對于C，因為c0，所以c20，由ab，得ac2bc2，故C正確；

對于D，當(dāng)c0時，則c30，由ab，可得ac3bc3，故D不正確.

故選：C.

3．下面不等式成立的是（）

11

A．若ab，cd，則acbdB．若，則ab

ab2a2b

ab

C．若ab，則a2b2D．若ab0，cd0，則

dc

【答案】B

【詳解】對于A，取a2,b1,c2,d1，滿足ab，cd，而ac0bd，A錯誤；

1111

對于B，由，得a2b2a2b2，則ab，B正確；

ab2a2bab2a2b

對于C，取a1,b1，滿足ab，而a21b2，C錯誤；

1111

對于D，由cd0，得0，則0，而ab0，

dcdc

abab

于是，，D錯誤.

dcdc

故選：B

4．如果b0a，那么下列不等式中正確的是（）

A．a(chǎn)bb2B．a(chǎn)b

11

C．a(chǎn)2b2D．

ab

【答案】D

【詳解】若b1,a2時，abb2，ab，a2b2，即A、B、C錯；

11

由b0a，則恒成立，D對.

ab

故選：D

5．下列命題為真命題的是（）

A．若ab0，則ac2bc2B．若ab0，則a2b2

11

C．若ab0，則a2abb2D．若ab0，則

ab

【答案】B

【詳解】對于A,當(dāng)c0時，顯然ac2bc2不成立，故A錯誤；

對于B，由ab0，利用不等式的性質(zhì)易得a2b2，故B正確；

對于C，當(dāng)ab0時，取a2,b1，則a24ab2，故C錯誤；

11

對于D，當(dāng)ab0時，ab0，由不等式的性質(zhì)，可得，故D錯誤.

ba

故選：B.

考點二：和定求積和積定求和

（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最小值是2P.(簡記：積定和最小)

P2

（2）如果和xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)

4

注意：應(yīng)用不等式需滿足“一正二定三相等”

【典型例題】

例1．（2022高二下·河北·學(xué)業(yè)考試）已知正數(shù)a,b滿足ab2，則ab的最小值是（）

A．2B．2C．22D．4

【答案】C

【詳解】因為ab2，所以ab2ab22，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時取等號，

故選：C.

例2．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）已知x0,y0，且xy2，則（）

A．xy的最大值為1B．xy的最小值為1

C．xy的最大值為2D．xy的最小值為2

【答案】A

【詳解】因為x0,y0，且xy2，

2

xy

所以xy1，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時，等號成立，

2

所以xy的最大值為1，

2

而xyx2xx11，且，故無最小值.

0<?<2

故選：A

例3．（2023高三·河北·學(xué)業(yè)考試）若x，yR，且x2y3，則xy的最大值為．

9

【答案】

8

【詳解】由題知，x，yR，且x2y3

因為x2y2x2y，

所以32x2y，

9

所以98xy，即xy，

8

33

當(dāng)且僅當(dāng)x2y，即x,y時，取等號，

24

9

故答案為：

8

例4．已知正實數(shù)m，n滿足mn1，則mn的最大值是（）

21

A．2B．2C．D．

22

【答案】B

222

aba2b2ababa2b2

【詳解】由于0，

22422

2

所以mnmn，

1

22

1

即mn2，當(dāng)且僅當(dāng)mn時等號成立．

2

故選:B．

1y

例5．已知x?yR，且2y3，則的最大值為

xx

9

【答案】或1.125

8

1

【詳解】因為x,yR且2y3，

x

12yy9

所以32y2，即，

xxx8

123

當(dāng)且僅當(dāng)2y，即x且y時取等號，

x34

y9

此時取最大值為.

x8

9

故答案為：.

8

【即時演練】

1．若正數(shù)a,b滿足：a24b22，則當(dāng)ab取最大值時a的值為（）

111

A．1B．C．D．

423

【答案】A

1

【詳解】根據(jù)基本不等式，解得a24b22a24b24ab,4ab2,ab,

2

當(dāng)且僅當(dāng)a2b1時等號成立，

故選：A.

2．已知x,y為正實數(shù)，且滿足4xy40，則xy的最大值是．

【答案】100

【詳解】因為4xy40，

2

114xy

所以xy4xy100，

442

當(dāng)且僅當(dāng)4xy，即x5,y20時，等號成立.

即xy的最大值為100.

故答案為：100

1

3．已知函數(shù)fxx1x0，則當(dāng)且僅當(dāng)x時，fx有最小值．

4x

1

【答案】/0.52

2

1111

【詳解】x0,fxx12x12,當(dāng)且僅當(dāng)x，即x時取等號，且fx的最小值

4x4x4x2

為2，

1

故答案為：，2

2

1a

4．已知正數(shù)a，b滿足3a則的最大值為.

bb

9

【答案】/2.25

4

11

【詳解】因為3a，所以3a，

bb

因為a，b為正數(shù)，故3a0，所以0<a<3，

2

aa3a9

所以a3a，

b24

32a9

當(dāng)且僅當(dāng)a3a即a，此時b，取到最大值為.

23b4

9

故答案為：

4

5．已知a2b1，則3a9b的最小值為.

【答案】23

【詳解】因為a2b1，

所以3a9b3a32b23a32b23a2b23，

11

當(dāng)且僅當(dāng)3a32b，即a，b時取等號，

24

故3a9b的最小值為23.

故答案為：23

考點三：配湊法

添項配湊出“和為定值”或“積為定值”，使用基本不等式；

【典型例題】

例1．（2024高二上·江蘇揚州·學(xué)業(yè)考試）若x1，則函數(shù)的最小值為（）

1

?(?)=9?+??1

A．6B．9C．12D．15

【答案】D

【詳解】因為x1，則x10，

可得，

111

?(?)=9?+??1=9??1+4??1+9≥29??1???1+9=15

當(dāng)且僅當(dāng)，即x時，等號成立，

13

9??1=??1

所以函數(shù)的最小值為15.

1

?(?)=9?+??1

故選：D.

1

例2．已知x2，則x的最小值是（）

x2

A．3B．4C．5D．2

【答案】B

111

【詳解】由于x2，故x20，所以xx222x224，

x2x2x2

11

當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x3時等號成立，故x最小值為4.

x2x2

故選：B

4

例3．（2023高二·湖南衡陽·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)yx（x2）的最小值是．

x2

【答案】6

【詳解】因為x2，所以x20，

444

所以yxx222x226，

x2x2x2

4

當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x4時取等號，

x2

4

所以函數(shù)yx（x2）的最小值是6.

x2

故答案為：6

例4．（2022高二下·遼寧·學(xué)業(yè)考試）已知x2，則函數(shù)fxx12的最小值為．

x2

【答案】2

【詳解】因為x2，所以x20，

11

所以f(x)x22x22，

x2x2

1

當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x3時等號成立，

x2

1

所以函數(shù)f(x)x2的最小值為2,

x2

故答案為：2.

1

例5．若x1，則2x的最小值是.

x1

【答案】222/222

【詳解】因為x1，則x10，

111

2x2x1222x12222，

x1x1x1

12

當(dāng)且僅當(dāng)2x1，即x1時等號成立，

x12

1

所以2x的最小值是222.

x1

故答案為：222

【即時演練】

9

1．函數(shù)yxx2的最小值是（）

x2

A．4B．6C．8D．12

【答案】A

99

【詳解】yx222(x2)2624，

x2x2

99

故yxx2最小值是4,當(dāng)且僅當(dāng)x2，解得x1.時,取得最小值.

x2x2

故選：A

2

2．已知x3，則x的最小值為（）

x3

A．223B．223C．22D．4

【答案】A

【詳解】解：因為x3，所以x30，

222

所以xx332x33322，

x3x3x3

2

當(dāng)且僅當(dāng)x3時，即x32時等號成立，

x3

2

所以函數(shù)x的最小值是322.

x3

故選：A

3．已知x1，y0，xy3，則x1y的最大值是（）

114

A．B．C．D．1

429

【答案】D

x1y

【詳解】由x1，y0，xy3，得x1y()21，當(dāng)且僅當(dāng)x1y1時取等號，

2

所以x1y的最大值是1.

故選：D

1

4．已知x1，則4x的最小值為（）

x1

A．4B．0C．4D．8

【答案】B

【詳解】因為x1，所以x10，

111

所以4x4(x1)424(x1)40，

x1x1x1

11

當(dāng)且僅當(dāng)4(x1)，即x時，等號成立，

x12

1

故4x的最小值為0.

x1

故答案為：B.

x2

5．若x2，則y的最小值為.

x2

【答案】8

【詳解】因為x2，所以x20，

2

x2x24x24

所以y

x2x2

44

x242x248，

x2x2

4

當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x4時取等號，

x2

x2

所以y的最小值為8．

x2

故答案為：8.

考點四：“1”的代換

mn

出現(xiàn)分式相加模型，可進行以下步驟：

xy

①根據(jù)已知條件或者利用分母得到“1”的表達式；

②把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘，進而構(gòu)造和的形式，利用基本不等式求解最值．

【典型例題】

49

例1．（2022高三下·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知1，且x0，y0，則xy的最小值是（）

xy

A．24B．25C．26D．27

【答案】B

499x4y9x4y

【詳解】yxy49132131225，x

xyyxyx

9x4y49

當(dāng)且僅當(dāng)3x2y時等號成立，又1，解得x10,y15.

yxxy

故選：B.

121

例2．若正實數(shù)x，y滿足x3y1．則的最小值為（）

xy

A．12B．25C．27D．36

【答案】C

12112136yx

【詳解】解：因為x3y1，所以x3y15．

xyxyxy

36yx36yx36yx21

因為x,y0，所以212，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時，等號成立，

xyxyxy39

121

所以，的最小值為27．

xy

故選：C

11

例3．若a0，b0，ab1，則的最小值為.

ab

【答案】4

1111baba

【詳解】易知ab11224，

abababab

11

當(dāng)且僅當(dāng)a,b時，等號成立；

22

11

即的最小值為4；

ab

故答案為：4

2y2

例4．（2023高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）正實數(shù)x，y滿足2x3y1，則的最小值是（）

xy

A．3B．7C．1047D．107

【答案】C

2y263y2612x2722

【詳解】由2x3y1得3y12x，所以，

xy3xy3xy3xy3

7227227y4x

由于2x3y10，

3xy33xy3xy

7y4x7y4x37377

由于x,y為正數(shù)，所以102104710，當(dāng)且僅當(dāng)2x7yy,x

xyxy24

時等號成立，

故選：C

11

例5．（2023高三上·重慶·學(xué)業(yè)考試）已知x1,y0,x4，則y的最小值為.

yx1

4

【答案】

3

11

【詳解】因為x1,y0,x4，所以x10,y0,x13，

yy

111111114

故yx1y2x1y22x1y，

x13yx13x1y3x1y3

1152

當(dāng)且僅當(dāng)x1y且x4，即x,y時，等號成立，

x1yy23

1414

所以y，則y的最小值為.

x13x13

4

故答案為：.

3

【即時演練】

12

1．若a0，b0，a2b3，則的最小值為（）

ab

A．1B．3C．6D．9

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意可得

1211212a2b12a2b

a2b14523;

ab3ab3ba3ba

2a2b

當(dāng)且僅當(dāng)，即a1,b1時，等號成立，此時最小值為3.

ba

故選：B.

11

2．已知0x1，則的最小值為（）

2x1x

32

A．3B．

2

3

C．2D．322

2

【答案】C

【詳解】因為0x1，所以1x0，

11

112121

則x1x

2x1xx1xx1x

11

1x1x

3x3x3，

2222

2x1x2x1x2

1

1x

當(dāng)且僅當(dāng)x，即時取等號，

2x21

x1x

113

所以的最小值為2.

2x1x2

故選：C.

11

3．若正實數(shù)a，b滿足a2b1，則有（）

ab

A．最小值，且最小值為12B．最小值，且最小值為322

C．最大值，且最大值為12D．最大值，且最大值為322

【答案】B

【詳解】已知a0，b0，且滿足a2b1，

11112ba2ba

a2b323322，

abababab

22

當(dāng)且僅當(dāng)a21,b時，等號成立，

2

31

因此，的最小值為322.

ab

故選：B.

11

4．已知x0，y0，且2y1，則2x的最小值為（）

xy

A．4B．6C．8D．10

【答案】C

1

【詳解】因為x0，y0，且2y1，

x

11111

則2x2x2y44xy424xy8，

yyxxyxy

1

2y1

x

x2

11

當(dāng)且僅當(dāng)4xy時，即當(dāng)1時，等號成立，故2x的最小值為8.

xyyy

4

x0,y0

故選：C.

12

5．已知a0，b0，且4.

ab

1

(1)證明：ab

2

(2)求2ab的最小值.

【答案】(1)證明見解析

(2)2

122

【詳解】（1）因為a0，b0，所以2，

abab

當(dāng)且僅當(dāng)b2a1時，等號成立.

122

因為4，所以24

abab

21

所以4，所以ab.

ab2

121121b4a

（2）因為4，所以2ab2ab4.

ab4ab4ab

b4a

因為a0，b