專題02函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考點五年考情（2021-2025）命題趨勢考點1函數(shù)模型及應(yīng)用（5年3考）2025北京卷、2024北京卷、2022北京卷近五年高考命題顯示，本節(jié)內(nèi)容為高考重點。函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性是必考知識點，尤其周期性、對稱性、奇偶性常相互結(jié)合，并與函數(shù)圖像、零點及不等式綜合考查。導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用在高考中的考查較為穩(wěn)定，是重點內(nèi)容。面對高考相關(guān)試題，關(guān)鍵在于把握導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，借助圖像直觀呈現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等本質(zhì)問題。無論試題如何變化，最終都要聚焦于函數(shù)的單調(diào)性與最值，它們是導(dǎo)數(shù)考查的核心所在，做好具體問題轉(zhuǎn)化即可?？键c2基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性（5年4考）2025北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷考點3比較大小問題（5年1考）2024北京卷考點4函數(shù)與方程的綜合問題（5年3考）2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷考點5函數(shù)及其表示（5年3考）2023北京卷、2022北京卷、2022北京卷考點6雙變量問題（5年2考）2025北京卷、2022北京卷考點7零點問題（5年1考）2024北京卷考點8極最值問題（5年2考）2023北京卷、2021北京卷

考點01函數(shù)模型及應(yīng)用1．（2025·北京·高考真題）一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個單位的數(shù)據(jù)量所需要的時間（單位：h），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加20h；當訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個單位增加到個單位時，訓(xùn)練時間增加（

）A．2h B．4h C．20h D．40h2．（2024·北京·高考真題）生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個評價指標，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（

）A． B．C． D．3．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當，時，二氧化碳處于液態(tài)B．當，時，二氧化碳處于氣態(tài)C．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當，時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)考點02基本初等函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性4．（2025·北京·高考真題）關(guān)于定義域為的函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①存在在上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；②存在在上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個；④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個．其中正確結(jié)論的序號是．5．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．6．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（

）A． B．C． D．7．（2021·北京·高考真題）函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為考點03比較大小問題8．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．考點04函數(shù)與方程的綜合問題9．（2023·北京·高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是．10．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為；a的最大值為．11．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是．考點05函數(shù)及其表示12．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．13．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個零點為，則；．14．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．考點06雙變量問題15．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)的定義域是，導(dǎo)函數(shù)，設(shè)是曲線在點處的切線．(1)求的最大值；(2)當時，證明：除切點A外，曲線在直線的上方；(3)設(shè)過點A的直線與直線垂直，，與x軸交點的橫坐標分別是，，若，求的取值范圍．16．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．考點07零點問題17．（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間.(2)求證：不經(jīng)過點.(3)當時，設(shè)點，，，為與軸的交點，與分別表示與的面積．是否存在點使得成立？若存在，這樣的點有幾個？（參考數(shù)據(jù)：，，）考點08極最值問題18．（2023·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．19．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．

1．（2025·北京·三模）香農(nóng)定理作為通信理論的基石，在現(xiàn)代通信中有著廣泛的應(yīng)用，它給出了信道容量和信噪比及信道帶寬的關(guān)系，即其中是信道容量，單位bps；為信道帶寬，單位Hz；代表接收信號的信噪比，為無量綱單位.軍事戰(zhàn)術(shù)電臺采用跳頻擴頻（FHSS）技術(shù)，通過每秒切換數(shù)千次頻率將信道帶寬由5MHz擴展至100MHz，為了將敵方干擾效率降低90%以上，需將信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依據(jù)香農(nóng)定理，則大約需將信號的信噪比提升至原來的（

）倍.（參考數(shù)據(jù)：，）A．5 B．6 C．7 D．82．（2025·北京·三模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．3．（2025·北京大興·三模）已知定義在上的函數(shù)滿足如下三個條件：①，有；②，有；③，．則下列說法正確的是（

）A．，有，B．，有，C．函數(shù)的遞減區(qū)間為，D．當時，4．（2025·北京大興·三模）已知，則的值為（

）A．15 B． C． D．5．（2025·北京海淀·模擬預(yù)測）若集合是函數(shù)的定義域，，則等于（

）A． B． C． D．6．（2025·北京海淀·三模）已知函數(shù)，且函數(shù)在，內(nèi)恰有2025個零點，則滿足條件的有序數(shù)對（

）A．有且僅有1對 B．有且僅有2對C．有且僅有3對 D．有無數(shù)對7．（2025·北京海淀·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．（2025·北京海淀·三模）已知，，則“”是“是奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2025·北京·三模）已知是函數(shù)的圖象上兩個不同的點則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．（2025·北京·三模）已知則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．11．（2025·北京大興·三模）已知函數(shù).若的最小值為，則的一個取值為；的最大值為．12．（2025·北京東城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若是上的單調(diào)函數(shù)，則的一個取值為；若有最小值，則的取值范圍是．13．（2025·北京海淀·二模）已知函數(shù)，則的值域為，曲線的對稱中心為．14．（2025·北京通州·一模）設(shè)，函數(shù)，若為單調(diào)函數(shù)，則a的一個取值為；若有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.15．（2025·北京西城·一模）記表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)．設(shè)函數(shù)，有以下四個結(jié)論：①函數(shù)為單調(diào)函數(shù)；②對于任意的，或；③集合（為常數(shù)）中有且僅有一個元素；④滿足的點構(gòu)成的區(qū)域的面積為8．其中，所有正確結(jié)論的序號是．16．（2025·北京·三模）已知函數(shù)，，．(1)若在點處的切線平行于直線：，求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)當時，求證：對任意，恒有成立．17．（2025·北京大興·三模）已知函數(shù)，其