2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)在生物學(xué)研究中的作用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______考生注意：1.請將所有答案寫在答題紙上，寫在試卷上無效。2.答案必須寫清步驟，否則酌情扣分。3.考試時間120分鐘。一、填空題（每空4分，共20分）1.在經(jīng)典的Lotka-Volterra捕食者-獵物模型中，獵物種群數(shù)量變化所遵循的微分方程通常涉及________函數(shù)，用以描述獵物因捕食者存在而受到的死亡率。2.若一個描述細胞分裂過程的數(shù)學(xué)模型假設(shè)細胞數(shù)量N(t)遵循指數(shù)增長lawN(t)=N_0*e^(kt)，其中N_0是初始細胞數(shù)量，k是增長率常數(shù)，那么該模型預(yù)測細胞數(shù)量在時間t小時內(nèi)會翻倍，所需時間T滿足________的關(guān)系式（用k表示）。3.在進行一項關(guān)于藥物效果的雙盲隨機對照試驗時，研究人員常使用________檢驗來比較服用藥物組與安慰劑組在某個連續(xù)型生理指標（如血壓）上的均值是否存在顯著差異。4.假設(shè)某種疾病的傳播符合SIR模型，其中S(t)代表易感者數(shù)量，I(t)代表感染者數(shù)量。模型中從易感者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩霓D(zhuǎn)換率通常表示為β*S(t)*I(t)，其中________是人群總規(guī)模（常數(shù)），β是________系數(shù)。5.若一個基因型頻率的平衡方程p^2+2pq+q^2=1（Hardy-Weinberg定律）用于描述一個隨機mating的種群，其中p和q分別代表某等位基因的兩種頻率，那么基因型頻率q^2和p^2分別對應(yīng)________型個體的比例。二、簡答題（每題8分，共32分）1.簡述微分方程在建立流行病SIR模型中的作用，并說明模型中I(t)（感染者數(shù)量）隨時間變化可能出現(xiàn)的不同趨勢及其含義。2.解釋什么是統(tǒng)計假設(shè)檢驗中的p值，并說明在生物學(xué)研究中，通常如何根據(jù)p值的大小來決定是否拒絕原假設(shè)（例如，認為某種藥物有效）？請說明α=0.05的含義。3.描述一個簡單的馬爾可夫鏈模型如何可以用來模擬一個有限種狀態(tài)生物系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程（例如，某種動物的生存狀態(tài)：存活、瀕危、滅絕）。4.在生態(tài)學(xué)中，什么是競爭排斥原理？試用數(shù)學(xué)模型（概念即可，無需推導(dǎo)）簡要說明兩個物種在爭奪相同有限資源時，如何可能導(dǎo)致一個物種的滅亡。三、計算與分析題（共48分）1.（12分）考慮一個簡單的Lotka-Volterra模型：dN/dt=rN-αNIdI/dt=αNI-δI其中N(t)是獵物（如兔子）數(shù)量，I(t)是捕食者（如狐貍）數(shù)量，r是獵物的內(nèi)稟增長率，α是捕食者捕獲獵物的效率，δ是捕食者的死亡率。（1）解釋方程中每一項的生物學(xué)意義。（2）假設(shè)r=0.1,α=0.02,δ=0.1。求該系統(tǒng)平衡點的表達式，并判斷其中一個平衡點的穩(wěn)定性（提示：可考慮對N變量進行線性化分析）。2.（12分）假設(shè)在一項研究中，研究人員測量了10只服用某種降血脂藥物的老鼠和10只服用安慰劑的老鼠的血清膽固醇水平（mg/dL）。樣本數(shù)據(jù)如下（已排序）：安慰劑組：180,185,190,195,200,205,210,215,220,225藥物組：160,165,170,175,180,185,190,195,200,205（1）分別計算兩組數(shù)據(jù)的樣本均值和樣本標準差。（2）基于這些數(shù)據(jù)，使用適當?shù)慕y(tǒng)計方法檢驗服用藥物是否能夠顯著降低老鼠的血清膽固醇水平（假設(shè)總體服從正態(tài)分布，且方差相等，請寫明檢驗方法名稱，并列出關(guān)鍵的計算步驟和結(jié)論）。3.（12分）在一個包含三個生態(tài)位（A,B,C）的簡單生態(tài)系統(tǒng)中，物種間的相互作用可以用一個三元組(A,B,C)=(0.8,0.3,0.4,0.5,0.9,0.2)來表示，其中第一個數(shù)字表示A物種對B物種的影響，第二個數(shù)字表示A物種對C物種的影響，依此類推（正數(shù)表示促進，負數(shù)表示抑制）。嘗試使用矩陣乘法或圖論的基本概念，簡要說明如何分析這種相互作用關(guān)系可能導(dǎo)致的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題?？梢砸牒唵蔚臄?shù)學(xué)模型（如基于這種相互作用的種群數(shù)量變化模型）進行說明。4.（12分）考慮一個簡化的生態(tài)網(wǎng)絡(luò)，包含兩種生物A和B。生物A以某種資源R為食，生物B以生物A為食。假設(shè)資源R是無限的，生物A的種群增長受限于生物B的捕食。試用微分方程建立一個基礎(chǔ)模型來描述A、B兩個種群數(shù)量N_A(t)和N_B(t)隨時間的變化關(guān)系。請寫出方程，并解釋方程中各部分的含義以及模型的核心假設(shè)。試卷答案一、填空題1.減少率（或負）2.ln2/k3.t檢驗（或獨立樣本t檢驗）4.總?cè)丝?；傳?.純合子二、簡答題1.微分方程通過描述感染者數(shù)量I(t)隨時間t的變化率（dI/dt），結(jié)合出生率（可視為S(t)的增長率）、感染率（β*S(t)*I(t)）和康復(fù)率（或死亡率為δ*I(t)），建立了I(t)的動態(tài)模型。該模型能預(yù)測I(t)隨時間的變化趨勢：可能迅速上升（爆發(fā)），達到峰值后下降，最終趨于零（如果模型考慮移除或免疫）；也可能長期維持在一個穩(wěn)定水平（如果康復(fù)率等于感染率）；在某些參數(shù)組合下，感染者數(shù)量可能呈現(xiàn)周期性波動。2.p值是在原假設(shè)（通常認為沒有效應(yīng)或差異）為真的情況下，觀察到當前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。在生物學(xué)研究中，若p值小于預(yù)設(shè)的顯著性水平α（常用0.05），則表明觀測到的數(shù)據(jù)與原假設(shè)存在顯著矛盾，傾向于拒絕原假設(shè)，認為存在某種效應(yīng)（如藥物有效）。α=0.05表示有5%的概率會錯誤地拒絕實際上為真的原假設(shè)（第一類錯誤）。3.馬爾可夫鏈模型通過定義系統(tǒng)的有限個狀態(tài)（如存活、瀕危、滅絕）和狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率（如從存活到瀕危的概率，從瀕危到滅絕的概率），描述系統(tǒng)在時間步之間的狀態(tài)變化。模型的特點是當前狀態(tài)只取決于前一個狀態(tài)，與更早的狀態(tài)無關(guān)（無后效性）。通過矩陣乘法可以計算多個時間步后的狀態(tài)分布。4.競爭排斥原理指出，兩個生態(tài)位完全相同（爭奪相同資源）的物種，如果同時生活在同一個環(huán)境中，一個物種將通過競爭逐漸排擠掉另一個物種，最終導(dǎo)致后者滅亡或被迫遷往其他環(huán)境。數(shù)學(xué)上，可以通過構(gòu)建兩個物種的種群增長模型（如Lotka-Volterra方程），并分析它們的競爭系數(shù)，證明在資源有限的情況下，優(yōu)勢物種的增長率會高于劣勢物種，導(dǎo)致后者種群數(shù)量趨近于零。三、計算與分析題1.（12分）（1）方程中每一項的生物學(xué)意義：*dN/dt=rN-αNI：描述獵物種群數(shù)量的變化。rN是獵物的內(nèi)稟增長率（在沒有捕食者的情況下，獵物數(shù)量按指數(shù)增長），αNI是因捕食者存在而導(dǎo)致的獵物死亡數(shù)量（捕食效率α乘以獵物數(shù)量N和捕食者數(shù)量I）。*dI/dt=αNI-δI：描述捕食者種群數(shù)量的變化。αNI是捕食者因捕食獵物而獲得的“增長率”（新增的捕食者數(shù)量，取決于捕食效率α、獵物數(shù)量N和捕食者數(shù)量I），δI是捕食者的自然死亡率（或因未捕食到獵物而導(dǎo)致的死亡）。（2）平衡點及穩(wěn)定性分析：*令dN/dt=0且dI/dt=0，求解得平衡點：0=rN-αNI=>N=(αI/r)0=αNI-δI=>I=0或N=δ/α若I=0，代入N=(αI/r)得N=0。故一個平衡點為(N,I)=(0,0)。若N=δ/α，代入0=rN-αNI得0=r(δ/α)-αI=>I=rδ/α^2。故另一個平衡點為(N,I)=(δ/α,rδ/α^2)。*判斷(δ/α,rδ/α^2)的穩(wěn)定性：將方程組寫成矩陣形式：dX/dt=AX，其中X=[N,I]^T，A=[-αI,αN;-δ,αI-δ]。在平衡點(δ/α,rδ/α^2)處，N=δ/α，I=rδ/α^2，矩陣A變?yōu)椋篈=[-α(rδ/α^2),α(δ/α);-δ,α(rδ/α^2)-δ]=[-rδ/α,αδ/α;-δ,rδ/α-δ]=[-rδ/α,δ;-δ,(r-α)δ/α]計算特征值：det(A-λI)=det[(-rδ/α-λ),δ;-δ,(rδ/α-δ-λ)]=(-rδ/α-λ)((rδ/α-δ-λ)-(-δ))-(-δ)(δ)=(-rδ/α-λ)((rδ/α-δ-λ)+δ)+δ^2=(-rδ/α-λ)(rδ/α-λ)=λ^2-(rδ/α-rδ/α)λ+(rδ/α)^2=λ^2-(rδ/α)^2=(λ-rδ/α)(λ+rδ/α)特征值為λ1=rδ/α，λ2=-rδ/α。由于r,δ,α>0，故λ1>0,λ2<0。系統(tǒng)存在正實部的特征值和負實部的特征值。根據(jù)線性穩(wěn)定性理論，正實部特征值的存在意味著該平衡點是不穩(wěn)定的（通常是鞍點）。2.（12分）（1）計算樣本均值和標準差：安慰劑組樣本均值(x?_1)=(180+185+...+225)/10=2000/10=200.藥物組樣本均值(x?_2)=(160+165+...+205)/10=1850/10=185.安慰劑組樣本方差(s_1^2)=[(180-200)^2+...+(225-200)^2]/(10-1)=[400+225+...+625]/9=1750/9≈194.44.標準差s_1=√(194.44)≈13.95.藥物組樣本方差(s_2^2)=[(160-185)^2+...+(205-185)^2]/(10-1)=[625+625+...+400]/9=1625/9≈180.56.標準差s_2=√(180.56)≈13.44.（2）統(tǒng)計檢驗：*檢驗方法：使用獨立樣本t檢驗（假設(shè)兩總體方差相等，即方差齊性）。*假設(shè)檢驗：H_0:μ_1=μ_2（兩總體均值相等，藥物無效）H_1:μ_1>μ_2（兩總體均值不等，藥物有效）*計算合并方差估計值(s_p^2)：s_p^2=[(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2]/(n_1+n_2-2)s_p^2=[(10-1)194.44+(10-1)180.56]/(10+10-2)s_p^2=[9*194.44+9*180.56]/18s_p^2=[1749.96+1625.04]/18=3375/18≈187.5.合并標準差s_p=√187.5≈13.69.*計算t統(tǒng)計量：t=(x?_1-x?_2)/(s_p*√(1/n_1+1/n_2))t=(200-185)/(13.69*√(1/10+1/10))t=15/(13.69*√(2/10))t=15/(13.69*0.4472)t=15/6.11≈2.45.*確定臨界值或p值：自由度df=n_1+n_2-2=10+10-2=18.查t分布表，對于單尾檢驗α=0.05，df=18，臨界值t_0.05,18≈1.734.或者計算p值：p<t_0.025,18(雙尾)≈2.101.由于t=2.45>2.101，故p<0.05（單尾）。*結(jié)論：拒絕H_0。在α=0.05水平上，有統(tǒng)計證據(jù)表明服用藥物組的老鼠血清膽固醇水平顯著高于安慰劑組。3.（12分）可以用一個3x3的矩陣M來表示物種間的相互作用強度：M=[[0,0.8,0.3],[0.5,0,0.9],[0.4,0.2,0]]。其中M[i,j]的值表示物種i對物種j的“影響強度”（正為促進，負為抑制）。例如，M[1,2]=0.8表示物種A促進物種B。分析思路一（基于矩陣乘法）：如果考慮一個簡化的種群數(shù)量變化模型，如dN/dt≈A*N，其中N是種群數(shù)量向量，A是相互作用矩陣（元素可能需要調(diào)整為增長率相關(guān)）。矩陣A的特征值和特征向量可以反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性和模式。特別是，如果A有一個非常大的正特征值，可能對應(yīng)著一個主導(dǎo)的動態(tài)模式，而其他模式的增長可能被抑制或穩(wěn)定。分析思路二（基于圖論）：將每個物種視為一個節(jié)點，用有向邊連接節(jié)點，邊的方向和粗細（或顏色）表示物種間的相互作用類型和強度。例如，從A到B的粗邊表示A強促進B。分析這個有向圖是否存在環(huán)，環(huán)的走向和強度（環(huán)路內(nèi)所有邊的乘積），以及是否存在一個“匯點”或“源點”物種，其凈輸入/輸出最強。系統(tǒng)可能趨向于某個物種主導(dǎo)的狀態(tài)，或者形成穩(wěn)定的循環(huán)流。對于這個具體的矩陣M，可以觀察到物種B似乎對A和C有較強的“輸出”（促進），而物種A和C對B有較強的“輸入”。物種C對A有輸入，對B有更強的輸入。這可能暗示物種B處于一個相對中心或“消費者”的位置，而物種A和C可能處于“生產(chǎn)者”或被B消耗的位置。系統(tǒng)可能傾向于B占主導(dǎo)，或者A、B、C之間形成一個循環(huán)動態(tài)，其穩(wěn)定性取決于具體的參數(shù)（如增長率）。4.（12分）