2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——方程組的數(shù)值解法及應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設(shè)線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為ɑ?,ɑ?,ɑ?,ɑ?,ɑ?是A的列向量，增廣矩陣?的列向量為ɑ?,ɑ?,ɑ?,ɑ?,b。若r(A)=2,r(?)=3，則該方程組_______。2.用高斯消元法解線性方程組，將增廣矩陣?=(α?α?α?|b)初等行變換為?~=(e?e?e?|d)，其中e?=(100|c?),e?=(010|c?),e?=(001|c?)。則原方程組的解為_______。3.矩陣A=(123;251;104)的條件數(shù)κ(∞)(A)=_______。4.若矩陣B=(11;22)的一個(gè)特征值是3，則矩陣B的范數(shù)||B||?(譜范數(shù))=_______。5.給定線性方程組Ax=b，若其系數(shù)矩陣A的特征值為1,2,3，則Jacobi迭代法收斂的充分條件是||BJacobi||?<_______，Gauss-Seidel迭代法收斂的充分條件是||BGS||?<_______。（其中BJacobi和BGS分別是Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣）。二、1.考慮線性方程組：(521)(x?)=(10)(252)(x?)=(8)(125)(x?)=(6)(1)用Jacobi迭代法求解該方程組，寫出迭代公式，取初始向量x???=(0,0,0)2，計(jì)算x?1?,x?2?,x?3?，并判斷該迭代法是否收斂。(2)用Gauss-Seidel迭代法求解該方程組，寫出迭代公式，取初始向量x???=(0,0,0)2，計(jì)算x?1?,x?2?,x?3?，并判斷該迭代法是否收斂。2.考慮非線性方程組：x2-y-1=0x-y2-1=0(1)寫出求解該方程組的Newton法的迭代公式。(2)取初始向量x???=(1.5,1.5)2，計(jì)算x?1?,x?2?。(3)證明該方程組在點(diǎn)(1,1)附近Newton法收斂（局部收斂性）。三、1.證明：若矩陣A的對(duì)角元均為正數(shù)，且其余元素非正（即A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣），則Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組Ax=b必收斂。2.設(shè)迭代法x?k?+?=Tx?k?用于求解線性方程組Ax=b。證明：若0<||T||<1，則該迭代法收斂，且||x-x*||≤(1-||T||)?1||Tx*-x*||，其中x*是方程組的精確解。四、1.編寫MATLAB或Python代碼，實(shí)現(xiàn)求解一般非線性方程組f(x)=0的Newton法。要求代碼能夠接受非線性方程組函數(shù)句柄/定義、初始猜測(cè)值和收斂精度作為輸入，輸出迭代過程和最終根的近似值。2.（續(xù)上題）利用你編寫的代碼，求解非線性方程組：f?(x,y)=x2+y2-1f?(x,y)=x3-y-0.5取初始猜測(cè)值(1,1)2，收斂精度10??。五、某彈性力學(xué)問題簡(jiǎn)化為求解線性方程組Ax=b，其中A是一個(gè)大型稀疏矩陣，具有不可約對(duì)角占優(yōu)性。討論使用Gauss-Seidel迭代法、Jacobi迭代法和共軛梯度法（CG）求解該方程組的優(yōu)劣，并說明理由。試卷答案一、1.無解2.(c?,c?,c?)?3.254.45.1/3;1/2二、1.(1)Jacobi迭代公式：x??k?+?=(10-2x??k?-x??k?)/5,x??k?+?=(8-5x??k?-2x??k?)/5,x??k?+?=(6-x??k?-5x??k?)/5。計(jì)算得x?1?=(2,0,0)?,x?2?=(0.8,1.6,0)?,x?3?=(1.36,1.04,0.88)?。Jacobi迭代矩陣BJacobi=(-2/5-1/5-1/5;-5/5-2/5-2/5;-1/5-5/5-5/5)。計(jì)算||BJacobi||?=9/5=1.8>1，故Jacobi迭代法發(fā)散。(2)Gauss-Seidel迭代公式：x??k?+?=(10-2x??k?-x??k?)/5,x??k?+?=(8-5x??k?+?-2x??k?)/5,x??k?+?=(6-x??k?+?-5x??k?+?)/5。計(jì)算得x?1?=(2,0,0)?,x?2?=(1.6,1.2,0)?,x?3?=(1.68,1.04,0.896)?。Gauss-Seidel迭代矩陣BGS=(-2/5-1/5-1/5;0-2/5-2/5;00-5/5)。計(jì)算||BGS||?=7/5=1.4<1，故Gauss-Seidel迭代法收斂。2.(1)迭代公式：x?k?+?=x?k?-J(x?k?)?1f(x?k?)，其中J(x)=[?f?/?x,?f?/?y;?f?/?x,?f?/?y]=[(2x,2y);(3x2,-1)]。所以x?k?+?=(x?,y?)?-[(2x?,2y?);(3x?2,-1)]?1[(x?2+y?2-1),(x?3-y?-0.5)]?。(2)計(jì)算得x?1?=(0.908,0.825)?,x?2?=(0.995,0.995)?。(3)該方程組在點(diǎn)(1,1)處的Jacobian矩陣J(1,1)=[(2,2);(3,-1)]。計(jì)算其譜半徑ρ(J(1,1))=max{||λ|||λ是J(1,1)的特征值}。特征方程為(2-λ)(-1-λ)-6=λ2-λ-8=0，解得λ?≈3.306,λ?≈-2.306。故ρ(J(1,1))≈3.306<1。根據(jù)Newton法收斂的充分條件，若0<ρ(J(x*))<1，則Newton法收斂。由于ρ(J(1,1))<1，且(1,1)是方程組的解（可驗(yàn)證），故Newton法在點(diǎn)(1,1)附近收斂。三、1.證明：由于A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，對(duì)任意非零向量z，有|a??||z?|>Σ?≠j|a??||z?|。兩邊同除以|a??||z?|(a??≠0,z?≠0)，得|1|>Σ?≠j|a??||z?|/|a??||z?|。令B=[b??]=[a??]/[a??](i≠j)，則||B||?=max?Σ?|b??|=max?Σ?|a??|/|a??|<1。Jacobi迭代矩陣BJacobi的每一行元素絕對(duì)值之和等于相應(yīng)行的B中對(duì)應(yīng)元素絕對(duì)值之和，故||BJacobi||?=||B||?<1。根據(jù)定理，Jacobi迭代法收斂。Gauss-Seidel迭代法收斂的證明：由于A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，根據(jù)定理，Gauss-Seidel迭代法必收斂?；蛲ㄟ^證明||BGS||?=||BJacobi||?<1。BGS的(i,i)元素是a??/a??(j<i)，其他元素與B相同。對(duì)于Gauss-Seidel法，我們考察||BGS||?。對(duì)于任意向量z，Σ?|b??||z?|/|a??||z?|(j<i)是一個(gè)固定和，而Σ?|b??||z?|/|a??||z?|(j>i)同樣成立，且后者各項(xiàng)|b??||z?|/|a??||z?|均小于前者。因此，Σ?|b??||z?|/|a??||z?|≤Σ?|b??||z?|/|a??||z?|+Σ?|b??||z?|/|a??||z?|(j<i)=2Σ?≠j|a??||z?|/|a??||z?|。由于A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，有Σ?≠j|a??||z?|/|a??||z?|<|a??||z?|/|a??||z?|=1。所以Σ?|b??||z?|/|a??||z?|<2。取z為BGS的行規(guī)范化向量（第i行元素為1，其余為0），則||BGS||?=Σ?|b??|(取i使得該行和最大)=Σ?|a??|/|a??|(取i使得該和最大)<1。因此||BGS||?<1，Gauss-Seidel迭代法收斂。2.證明：設(shè)x?k?→x*。由迭代公式x?k?+?=Tx?k?+x*，令e?k?=x?k?-x*。則e?k?+?=T(x?k?-x*)=Te?k?。于是||e?k?+?||=||Te?k?||≤||T||||e?k?||。由于0<||T||<1，對(duì)上式從k=0到n-1求和，得||e?||≤||T||?||e?||。令n→∞，由于||T||<1，右端趨于0，故||e?||→0，即||x?k?-x*||→0。從而迭代法收斂。誤差估計(jì)：設(shè)x*是方程組Ax=b的解，x?k?+?=Tx?k?+x*。則x?k?+?-x*=Tx?k?。兩邊取范數(shù)，||x?k?+?-x*||≤||T||||x?k?-x*||。由向量的三角不等式，||Tx*-x*||=||T(x*-x*)||=||T(0)||=0。故||x?k?+?-x*||≤||T||||x?k?-x*||。兩邊同時(shí)除以||T||，得||x?k?-x*||≤(1-||T||)?1||Tx*-x*||。由于||Tx*-x*||=0，該式在此處不適用。應(yīng)改為||x?k?-x*||≤(1-||T||)?1||Tx?k?-x*||。即||x?k?-x*||≤(1-||T||)?1||T(x?k?-x*)||=(1-||T||)?1||Te?k?||?？紤]到||Te?k?||≤||T||||e?k?||，有||x?k?-x*||≤(1-||T||)?1||T||||e?k?||=||T||?1||e?k?||。此式與原證明中的推導(dǎo)過程不符，可能存在邏輯問題。更常見的誤差估計(jì)是利用殘差：設(shè)r?k?=b-Ax?k?。若Ax=b，則r?k?=b-Ax*=(A-T)x?k?。令e?k?=x?k?-x*，則r?k?=(A-T)e?k?。兩邊取范數(shù)，||r?k?||≤||A-T||||e?k?||。若A是正規(guī)矩陣，||A-T||=||(I-T)A||≤||I-T||||A||。若A是對(duì)稱正定矩陣，可利用譜范數(shù)||A-T||?=ρ(A-T)。此時(shí)||r?k?||≤||A-T||?||e?k?||。對(duì)于迭代法收斂性證明，通常直接用||Te?k?||≤||T||||e?k?||即可。四、1.（MATLAB代碼示例）functionroot=NewtonSys(f,x0,tol)%f:非線性方程組函數(shù)句柄%x0:初始猜測(cè)值%tol:收斂精度%root:迭代過程和最終根（輸出結(jié)構(gòu)體）Df=jacobian(f,x0);%計(jì)算Jacobian矩陣近似值x=x0;max_iter=1000;iter=0;res=inf;%初始?xì)埐顁oot.x0=x0;%存儲(chǔ)初始值root.iterations=[];%存儲(chǔ)迭代歷史whileiter<max_iter&&res>toliter=iter+1;F=f(x);%計(jì)算當(dāng)前殘差向量res=norm(F);%計(jì)算殘差范數(shù)root.iterations=[root.iterations;x];%存儲(chǔ)當(dāng)前迭代值ifres<=tolbreak;end%檢查Jacobian是否為零矩陣或接近零ifnorm(Df,inf)<tolwarning('Jacobiannearsingularorzero.');break;enddx=-Df\F;%解線性方程組dx=-J(x)Fx=x+dx;%更新迭代值endroot.x=x;%存儲(chǔ)最終根root.iter=iter;%存儲(chǔ)迭代次數(shù)root.res=res;%存儲(chǔ)最終殘差endfunctionJ=jacobian(f,x)%使用差分法近似計(jì)算Jacobian矩陣m=length(x);J=zeros(m);eps=1e-8;%微分步長(zhǎng)F=f(x);fori=1:mx1=x;x1(i)=x1(i)+eps;F1=f(x1);J(:,i)=(F1-F)/eps;endend（Python代碼示例，使用scipy）importnumpyasnpfromscipy.linalgimportsolvefromscipy.optimizeimportfsolvedefnewton_system(x):f1=x[0]2+x[1]2-1f2=x[0]3-x[1]-0.5return[f1,f2]defnewton_method(f,x0,tol=1e-6,max_iter=1000):x=np.array(x0,dtype=float)iterations=[x.copy()]foriterinrange(max_iter):F=np.array(f(x))ifnp.linalg.norm(F,np.inf)<tol:breakJ=jacobian(f,x)#需要定義jacobian函數(shù)dx=solve(J,-F)x=x+dxiterations.append(x.copy())returniterations,xdefjacobian(f,x):m=len(x)J=np.zeros((m,m))eps=1e-8F=f(x)foriinrange(m):x1=np.array(x,dtype=float)x1[i]+=epsF1=f(x1)J[:,i]=(F1-F)/epsreturnJx0=[1.5,1.5]iterations,root=newton_method(newton_system,x0)#輸出迭代過程和最終根print("Iterations:")fori,xinenumerate(iterations):print(f"Iteration{i}:{x}")print(f"Finalroot:{r