2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)值計(jì)算在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）中數(shù)值計(jì)算的重要性。請(qǐng)從幾何建模、物理仿真、設(shè)計(jì)優(yōu)化等方面說明。二、在CAD系統(tǒng)中，常需對(duì)Bézier曲線進(jìn)行局部修改。設(shè)給定三次Bézier曲線P(u)=(1-u)3P?+3(1-u)2uP?+3(1-u)u2P?+u3P?，(u∈[0,1])。若要僅修改曲線段P(u)|u∈[α,β](0<α<β<1)的形狀，而不改變曲線其他部分，Kochanek-Bartels插值提供了有效方法。請(qǐng)簡(jiǎn)述Kochanek-Bartels插值的核心思想，并說明其如何實(shí)現(xiàn)局部修改。三、當(dāng)求解一個(gè)線性方程組Ax=b，其中系數(shù)矩陣A為非奇異矩陣時(shí)，可以通過高斯消元法或LU分解求解。請(qǐng)比較這兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并說明在CAD場(chǎng)景下（例如，大型結(jié)構(gòu)有限元分析系統(tǒng)），為什么LU分解可能更受青睞？四、在CAD幾何造型中，樣條插值常用于構(gòu)造光滑曲線和曲面。請(qǐng)解釋樣條插值（以三次樣條為例）為何能保證曲線的光滑性（即連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)）。若給定四個(gè)插值節(jié)點(diǎn)P?,P?,P?,P?及其對(duì)應(yīng)的切矢R?,R?,R?,R?，如何構(gòu)造通過這些點(diǎn)并具有給定切矢的三次樣條曲線？五、數(shù)值計(jì)算中，誤差的傳遞和累積是必須考慮的問題。在CAD中，例如，通過離散化方法將連續(xù)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為離散方程組求解時(shí)，會(huì)引入誤差。請(qǐng)分析在求解二維泊松方程?2u=f(x,y)的離散化過程中（如使用五點(diǎn)差分格式），數(shù)值解的誤差是如何產(chǎn)生的？并簡(jiǎn)述控制誤差大小的一些常用策略。六、迭代法是求解大型稀疏線性方程組A???x=b的一種常用方法。請(qǐng)描述Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的迭代公式。對(duì)于給定的方程組，如何判斷Jacobi迭代法或Gauss-Seidel迭代法是收斂的？請(qǐng)給出一個(gè)收斂性判定的必要條件。七、在CAD模型簡(jiǎn)化或網(wǎng)格生成過程中，常需要計(jì)算點(diǎn)集的凸包。請(qǐng)簡(jiǎn)述Graham掃描算法的基本步驟。假設(shè)給定平面點(diǎn)集P={(x?,y?),(x?,y?),(x?,y?),(x?,y?),(x?,y?)}，請(qǐng)按Graham掃描算法的步驟，寫出計(jì)算凸包頂點(diǎn)的過程（只需列出關(guān)鍵步驟和點(diǎn)的排序，無需計(jì)算坐標(biāo)）。八、曲線擬合是CAD中的另一重要任務(wù)。請(qǐng)比較最小二乘擬合與插值方法在目標(biāo)和適用場(chǎng)景上的主要區(qū)別。在CAD中，例如，需要根據(jù)測(cè)量得到的少量離散點(diǎn)來近似描述一個(gè)復(fù)雜的自由曲面，最小二乘曲面擬合方法有哪些優(yōu)點(diǎn)？請(qǐng)簡(jiǎn)述一種常用的最小二乘曲面擬合方法的基本思想。九、在CAD軟件中，經(jīng)常需要將三維模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，生成三角形單元或四邊形單元網(wǎng)格。請(qǐng)簡(jiǎn)述基于Delaunay三角剖分的原則。為什么Delaunay三角剖分在CAD領(lǐng)域被廣泛使用？它相較于其他剖分方法（如均勻網(wǎng)格）有哪些潛在的優(yōu)勢(shì)和缺點(diǎn)？十、考慮一個(gè)需要最小化函數(shù)f(x)=x?2+x?2-4x?+6x?的無約束優(yōu)化問題。請(qǐng)采用梯度下降法尋找函數(shù)的極小值點(diǎn)，假設(shè)初始點(diǎn)為x^(0)=(0,0)，學(xué)習(xí)率α=0.1。請(qǐng)寫出迭代過程中的前兩次迭代計(jì)算結(jié)果（即x^(1)和x^(2)的值）。試卷答案一、數(shù)值計(jì)算為CAD提供了實(shí)現(xiàn)幾何表示、形狀變換、物理仿真、公差分析、優(yōu)化設(shè)計(jì)等核心功能的基礎(chǔ)。例如，通過數(shù)值方法實(shí)現(xiàn)Bézier曲線的拼接與變形、利用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析、通過數(shù)值優(yōu)化尋找最佳設(shè)計(jì)參數(shù)等，都離不開精確高效的數(shù)值計(jì)算。沒有數(shù)值計(jì)算，CAD系統(tǒng)將無法將抽象的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為具體的工程圖紙和仿真結(jié)果。二、Kochanek-Bartels插值的核心思想是通過調(diào)整控制點(diǎn)之間的張力（Tension）、continuity（連續(xù)性）和松弛（Bias）參數(shù)，來局部控制曲線的形狀，而不會(huì)對(duì)曲線的其他部分產(chǎn)生直接影響。它為每個(gè)控制點(diǎn)（或控制點(diǎn)之間的區(qū)間）指定這三種參數(shù)，利用這些參數(shù)與控制點(diǎn)位置的關(guān)系，計(jì)算額外的插值控制點(diǎn)（或調(diào)整原有控制點(diǎn)的影響），從而實(shí)現(xiàn)局部的、平滑的形狀修改。三、高斯消元法通過直接消元操作求解，每步需要整個(gè)矩陣參與運(yùn)算，對(duì)于大型矩陣，存儲(chǔ)和計(jì)算開銷大。LU分解將系數(shù)矩陣A分解為下三角矩陣L和上三角矩陣U（LU=PA，P為行交換矩陣），求解Ax=b等價(jià)于求解Ly=Pb和Ux=y。LU分解只需進(jìn)行一次分解，之后對(duì)于不同的右端項(xiàng)b，只需進(jìn)行兩次前向替換和后向替換即可求解，計(jì)算量遠(yuǎn)小于反復(fù)進(jìn)行高斯消元。在CAD中，大型結(jié)構(gòu)分析常涉及大型稀疏線性方程組，LU分解（特別是帶部分選主元或完全選主元的LU分解）能更高效地利用矩陣的稀疏結(jié)構(gòu)，且便于存儲(chǔ)和復(fù)用LU分解結(jié)果，因此更受青睞。四、三次樣條插值通過構(gòu)造一系列分段的三次多項(xiàng)式，并確保在節(jié)點(diǎn)處滿足位置連續(xù)性（C?連續(xù)）和一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性（C1連續(xù)），從而保證了整個(gè)曲線的光滑性。對(duì)于通過點(diǎn)P?,P?,P?,P?且具有切矢R?,R?,R?,R?的三次樣條，可以寫出每段[x?,x???]上的三次多項(xiàng)式S?(u)=a?+b?(u-x?)+c?(u-x?)2+d?(u-x?)3。利用端點(diǎn)條件：S?(x?)=P?,S?'(x?)=R?,S?'(x???)=R???,S?''(x???)=S?''(x?)(由C1連續(xù)性導(dǎo)出)，可以建立關(guān)于系數(shù)a?,b?,c?,d?的線性方程組。由于節(jié)點(diǎn)數(shù)比未知數(shù)多4個(gè)，還需要利用二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性S?''(x???)=S???''(x???)建立另外兩個(gè)方程，總共可解出所有系數(shù)。五、在求解二維泊松方程?2u=f(x,y)的五點(diǎn)差分格式中，誤差主要來源于離散化過程將連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)替換為差商導(dǎo)致的截?cái)嗾`差，以及數(shù)值求解過程中（如迭代法）迭代次數(shù)有限導(dǎo)致的舍入誤差累積。例如，中心差分格式?2u/?x2≈(u(x+h,y)-2u(x,y)+u(x-h,y))/h2+O(h2)，將連續(xù)方程轉(zhuǎn)化為離散方程。截?cái)嗾`差為O(h2)。舍入誤差在迭代求解過程中，特別是當(dāng)?shù)仃嚄l件數(shù)較大或迭代次數(shù)較多時(shí)，會(huì)逐漸累積，可能影響最終結(jié)果的精度?？刂普`差的策略包括：使用更小的步長(zhǎng)h（會(huì)增加計(jì)算量）；采用更精確的離散格式（如六點(diǎn)格式）；對(duì)迭代法進(jìn)行優(yōu)化（如使用SOR加速）；保證迭代矩陣的譜半徑小于1等。六、Jacobi迭代法公式：x^(k+1)?=(1/α??)*[b?-Σ<0xE1><0xB5><0xA3>(j≠i)a??x^(k)?]，其中α??為矩陣A主對(duì)角元。Gauss-Seidel迭代法公式：x^(k+1)?=(1/α??)*[b?-Σ<0xE1><0xB5><0xA3>(j=1toi-1)a??x^(k+1)?-Σ<0xE1><0xB5><0xA3>(j=i+1ton)a??x^(k)?]。判斷收斂性：Jacobi迭代法收斂的必要條件是矩陣A的所有特征值的絕對(duì)值之和小于n。Gauss-Seidel迭代法收斂的必要條件是矩陣A對(duì)角占優(yōu)（即對(duì)于所有i，|α??|>Σ<0xE1><0xB5><0xA3>|a??|forj≠i）。更常用的充分條件是A是正定矩陣或?qū)ΨQ正定矩陣。七、Graham掃描算法步驟：1.將所有點(diǎn)按x坐標(biāo)升序排序。2.將第一個(gè)點(diǎn)p?插入凸包H。3.對(duì)于剩下的點(diǎn)p，當(dāng)新點(diǎn)p在凸包H頂點(diǎn)構(gòu)成的凸多邊形視錐（或向量的極角）之外時(shí)，移除視錐頂點(diǎn)中見不到p的頂點(diǎn)，并將p加入視錐。4.重復(fù)步驟3，直到所有點(diǎn)都被處理，最后H中的點(diǎn)即為凸包頂點(diǎn)。對(duì)于給定點(diǎn)集P，假設(shè)按x坐標(biāo)排序后為(x?,y?),(x?,y?),(x?,y?),(x?,y?),(x?,y?)。首先找到x坐標(biāo)最小的點(diǎn)，設(shè)為p?=(x?,y?)。按極角（相對(duì)于向量p?p?的方向）排序，假設(shè)排序后序列為p?,p?,p?,p?,p?。初始化凸包H={p?,p?}。檢查p?，向量p?p?和p?p?的叉積為正，p?在視錐外，移除p?，加入p?，H={p?,p?}。檢查p?，向量p?p?和p?p?的叉積為負(fù)，p?在視錐內(nèi)。檢查p?，向量p?p?和p?p?的叉積為正，p?在視錐外，移除p?，加入p?，H={p?,p?}。檢查p?，向量p?p?和p?p?的叉積為負(fù)，p?在視錐內(nèi)。最終凸包頂點(diǎn)為{p?,p?,p?}。八、最小二乘擬合的目標(biāo)是尋找一個(gè)函數(shù)（或參數(shù)集合）使得所有數(shù)據(jù)點(diǎn)與擬合函數(shù)的“加權(quán)距離”的平方和最小，而不要求擬合曲線必須通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。適用于數(shù)據(jù)量較大、存在測(cè)量誤差、需要從噪聲數(shù)據(jù)中提取趨勢(shì)或模式的情況。插值方法則要求擬合曲線精確通過所有給定點(diǎn)，適用于對(duì)精度要求極高且數(shù)據(jù)點(diǎn)準(zhǔn)確的情況。在CAD中，當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)帶有不可避免的噪聲，或者需要擬合一個(gè)復(fù)雜曲面以表達(dá)整體趨勢(shì)而非精確通過所有散亂點(diǎn)時(shí)，最小二乘曲面擬合有優(yōu)勢(shì)。常用方法包括：多項(xiàng)式最小二乘擬合；有理函數(shù)最小二乘擬合；基于主成分分析（PCA）或SVD的方法；或利用參數(shù)化曲面（如B樣條）的最小二乘擬合，通過調(diào)整參數(shù)使數(shù)據(jù)點(diǎn)到曲面的距離平方和最小。九、Delaunay三角剖分的原則是：對(duì)于三角形網(wǎng)格中的任意三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的圓內(nèi)不包含網(wǎng)格中的其他任何頂點(diǎn)?；贒elaunay三角剖分被廣泛使用的原因：1.穩(wěn)定性：鄰接三角形之間的角度變化較小，剖分結(jié)果相對(duì)穩(wěn)定，不易因頂點(diǎn)微小移動(dòng)而產(chǎn)生劇烈變化。2.最大最小角特性：在所有可能的三角形剖分中，Delaunay剖分使得三角形的最小角最大，這通常能產(chǎn)生更“銳利”、更規(guī)整的三角形，對(duì)于后續(xù)的網(wǎng)格優(yōu)化（如改善形狀）有利。3.與Voronoi圖的對(duì)偶性：Delaunay三角剖分與Voronoi圖之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這為某些算法提供了理論基礎(chǔ)。潛在優(yōu)勢(shì)：能生成形狀較好的網(wǎng)格，有利于數(shù)值求解（如有限元、流形計(jì)算）的穩(wěn)定性和精度。潛在缺點(diǎn)：在邊界處可能產(chǎn)生狹長(zhǎng)三角形；對(duì)于某些點(diǎn)集分布（如規(guī)則分布），可能不如均勻網(wǎng)格分布均勻；計(jì)算復(fù)雜度通常高于簡(jiǎn)單的均勻網(wǎng)格。十、梯度下降法更新規(guī)則：x^(k+1)=x^(k)-α?f(x^(k))。函數(shù)f(x)=x?2+x?2-4x?+6x?的梯度為?f(x)=(2x?-4,2x?+6)。初始點(diǎn)x^(0)=(0,0)，學(xué)習(xí)率α=0.1。第一次迭代：?f(x^(0))=(