2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)論與代數(shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題4分，共20分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi)）1.設(shè)p是素數(shù)，a是整數(shù)，且gcd(a,p)=1。根據(jù)費(fèi)馬小定理，a^p-1≡?(modp)。A.0B.1C.aD.p-12.在RSA公鑰密碼體制中，密鑰生成涉及到大整數(shù)n=pq的分解。若已知n和e（公鑰指數(shù)，e<φ(n)），要獲取私鑰d，需要先計算φ(n)。φ(n)表示的是？。A.n的所有正因數(shù)的個數(shù)B.n的所有正因數(shù)之和C.滿足1≤x≤n且gcd(x,n)=1的所有x的個數(shù)D.滿足1≤x≤n且gcd(x,n)=n的所有x的個數(shù)3.橢圓曲線密碼體制的安全性基于哪個數(shù)學(xué)難題？。A.大整數(shù)分解難題B.離散對數(shù)難題C.格難題D.哈希碰撞難題4.在模運(yùn)算a≡b(modm)中，若gcd(a,m)≠1，則a的逆元？。A.一定存在B.一定不存在C.可能存在，可能不存在D.只存在負(fù)逆元5.設(shè)F_p是模p（p為素數(shù)）的有限域，其元素個數(shù)為p。若α是F_p中的一個生成元（本原元），則F_p中任意非零元素都可以表示為？。A.α的整數(shù)次冪B.α的p-1次冪C.α的p次冪D.α的p+1次冪二、計算題（每題10分，共30分）1.已知素數(shù)p=13，素數(shù)q=11，明文M=42。使用RSA密碼體制進(jìn)行加密解密，公鑰指數(shù)e=7，私鑰指數(shù)d模φ(n)的逆元為d=3（即7*3≡1(mod132)）。請計算密文C=M^e(modn)，并解密密文得到明文，即計算M'=C^d(modn)。2.解同余方程組：3x≡4(mod7)5x≡2(mod11)3.在有限域GF(2^3)中，其元素可以表示為{0,1,α,α^2,α^3,α^4,α^5}，滿足α^3+α+1=0。計算元素α^6+α^2的值（結(jié)果需在GF(2^3)中表示）。三、證明題（每題15分，共30分）1.設(shè)p是素數(shù)，a是整數(shù)，且gcd(a,p)=1。證明：根據(jù)費(fèi)馬小定理，有a^(p-1)≡1(modp)。2.設(shè)F_p是模p（p為素數(shù)）的有限域，α是F_p中的一個生成元。證明：F_p中任意非零元素a都可以表示為α^k，其中k∈{0,1,...,p-2}。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.B4.B5.A二、計算題1.解：*n=p*q=13*11=143*φ(n)=(p-1)*(q-1)=12*10=120*C=M^e(modn)=42^7(mod143)*42^2=1764≡58(mod143)*42^4=58^2=3364≡115(mod143)*42^6=115*58=6670≡100(mod143)*C=42^7=42^6*42≡100*42=4200≡111(mod143)*M'=C^d(modn)=111^3(mod143)*111^2=12321≡48(mod143)*111^3=111*48=5328≡42(mod143)*密文C=111，解密后明文M'=42。2.解：*首先計算M=7*11=77，以及M'=11*7=77。*解第一個方程：3x≡4(mod7)。由于gcd(3,7)=1，方程有唯一解。3的逆元mod7為5（因?yàn)?*5=15≡1mod7）。所以x≡4*5(mod7)≡20(mod7)≡6(mod7)。即x≡6(mod7)。*解第二個方程：5x≡2(mod11)。由于gcd(5,11)=1，方程有唯一解。5的逆元mod11為9（因?yàn)?*9=45≡1mod11）。所以x≡2*9(mod11)≡18(mod11)≡7(mod11)。*利用中國剩余定理求解x：*x≡6(mod7)可寫為x=7k+6*代入第二個同余式：7k+6≡7(mod11)=>7k≡1(mod11)*7的逆元mod11為9。所以k≡9*1(mod11)≡9(mod11)。即k≡9(mod11)。*k=11j+9*x=7(11j+9)+6=77j+63+6=77j+69*所以x≡69(mod77)。*驗(yàn)證：69mod7=1,69mod11=7。滿足原方程組。*解為x≡69(mod77)。3.解：*在GF(2^3)，所有運(yùn)算都在模2下進(jìn)行。*已知α^3+α+1=0，即α^3=α+1。*計算α^6：*α^6=(α^3)^2=(α+1)^2=α^2+1^2=α^2+1（模2，1^2=1）*計算α^6+α^2：*α^6+α^2=(α^2+1)+α^2=α^2+α^2+1=0+1=1（模2，α^2+α^2=0）*所以α^6+α^2=1。三、證明題1.證明：*設(shè)U(p)是模p整數(shù)的乘法群，包含所有與p互素的整數(shù)，其階為φ(p)=p-1。*根據(jù)拉格朗日定理，對于群U(p)中的任意元素a（即gcd(a,p)=1），a的階（生成該子循環(huán)群的元素個數(shù)）必須整除群的階p-1。*因此，存在整數(shù)k，使得(p-1)=k*ord(a)。*所以a^(p-1)=a^(k*ord(a))=(a^ord(a))^k。*由于a的階為ord(a)，有a^ord(a)≡1(modp)。*因此，a^(p-1)≡1^k(modp)≡1(modp)。*結(jié)論得證。2.證明：*設(shè)F_p={0,1,...,p-1}，其中0沒有階。對于非零元素a∈F_p，gcd(a,p)=1，a∈U(p)。*設(shè)a的階為ord_p(a)，根據(jù)拉格朗日定理，ord_p(a)|φ(p)=p-1。*因此，ord_p(a)∈{1,...,p-1}。*定義集合S={a^0,a^1,a^2,...,a^(ord_p(a)-1)}。*假設(shè)S中有兩個不同的元素a^i和a^j（0≤i<j<ord_p(a)）滿足a^i≡a^j(modp)。*則a^(j-i)≡1(modp)。*這意味著1是a^(j-i)的階。但a的階是ord_p(a)，而ord_p(a)是生成U(p)的子群的階，不能有比自身更小的真子群（否則不滿足循環(huán)群的性質(zhì)），所以ord_p(a)不能整除j-i（因?yàn)閖-i<ord_p(a)）。*這與1是a^(j-i)的階矛盾。*因此，假設(shè)不成立，集合S中的元素都是不同的。*由于S有ord_p(a)個不同的元素，且ord_p(a)≤p-1，所以S中的元素個數(shù)等于ord_p(a)。*另一方面，F(xiàn)_p的非零元素集合U(p)的階為φ(p)=p-1。U(p)是循環(huán)群，其