第十二章

全等三角形12.4.3角平分線01教學(xué)目標(biāo)02新知導(dǎo)入03新知講解04課堂練習(xí)05課堂小結(jié)06作業(yè)布置01教學(xué)目標(biāo)經(jīng)歷探索角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對(duì)稱的特點(diǎn)，體會(huì)互逆定理之間的關(guān)系.01提出問題，根據(jù)問題進(jìn)行探究、歸納角平分線的性質(zhì)定理與判定定理，發(fā)展學(xué)生的空間想象力.02會(huì)運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理與判定定理解決簡單的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的能力，激發(fā)學(xué)生科學(xué)探究的興趣.0302新知導(dǎo)入【想一想】角是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸.02新知導(dǎo)入如圖，a，b，c表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處?bca03新知探究探究角平分線的性質(zhì)【動(dòng)手操作】按如圖所示的順序和方法，先將∠AOB對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形，然后展開.03新知探究探究角平分線的性質(zhì)思考以下幾個(gè)問題：(1)第一條折痕與∠AOB有什么關(guān)系?(2)后兩條折痕與∠AOB的兩邊有什么關(guān)系?它們相等嗎?(3)你能用一句話敘述上面操作過程中所得到的結(jié)論并證明嗎?角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.試著證明這個(gè)結(jié)論。03新知探究探究角平分線的性質(zhì)已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上的任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E.求證：PD=PE.分析：圖中有Rt△PDO和Rt△PEO，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得PD=PE.03新知探究探究角平分線的性質(zhì)已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上的任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E.求證：PD=PE.解：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠POD=∠POE，OP=OP，∴△PDO≌△PEO.∴PD=PE.總結(jié)歸納角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.數(shù)學(xué)語言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，∴PD=PE.03新知探究探究角平分線的判定定理【探索】”角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等“這一定理描述了角平分線的性質(zhì)，那么反過來會(huì)有什么結(jié)果呢? 條件結(jié)論性質(zhì)定理逆命題角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)點(diǎn)在角的平分線上03新知探究探究角平分線的判定定理已知：如圖，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，QD=QE.求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上.證明：如圖，過點(diǎn)O、Q作射線OQ. ∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO=90°.在Rt△QD0和Rt△QEO中，∵OQ=OQ，QD=QE，∴Rt△QDO≌△Rt△QEO(HL).03新知探究探究角平分線的判定定理已知：如圖，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，QD=QE.求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上.∴∠DOQ=∠EOQ(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上.總結(jié)歸納于是就有定理:角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.數(shù)學(xué)語言：∵PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，PD=PE，∴OP平分∠AOB.03新知探究探究三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).上述兩條定理互為逆定理，根據(jù)上述兩條定理，我們就能證明：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn).從圖中可以看出，要證明三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，只需證明其中兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上就可以了。03新知探究探究其思路可表示如下：試試看，現(xiàn)在你會(huì)證明了嗎？三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).03新知探究探究證明：∵AO是∠BAC的平分線OI⊥AB，OH⊥AC，∴OI=OH，同理可得OI=OG，∴OH=OG，∵OH⊥AC，OG⊥BC，∴點(diǎn)O在∠BCA的平分線上.即△ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)O.三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn).04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：1.如圖，OP是∠AOB的平分線，且PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B，則下列結(jié)論中不一定成立的是(）.A.PA=PB B.PO平分∠APB C.AB垂直于OP D.AB垂直平分OP D04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：2.如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC的長度是 () .A.4 B.3 C.6 D.5 B04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：3.已知：如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：DE=DF. 證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD，又∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴DE=DF.04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：4.如圖，將兩個(gè)完全相同的直角三角板按如圖所示方式放置，使得頂點(diǎn)C重合，∠OEC=∠OFC=90°，若∠AOC=25°，則∠OCF的度數(shù)是_______.65°04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：5.如圖，∠CBJ的平分線BD與∠BCI的平分線CE相交于點(diǎn)P.若點(diǎn)P到AC的距離為3，則點(diǎn)P到AB的距離為().A.1 B.2 C.3 D.4 C04課堂練習(xí)【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：6.如圖，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，∠CMD=35°，則∠MAB的度數(shù)是______.35°04課堂練習(xí)【綜合拓展類作業(yè)】7.如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC與∠BCA的平分線AD，CE分別交BC和AB于點(diǎn)D，E，AD與CE相交于點(diǎn)F，求證：FE=FD.證明：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°，∵AD，CE分別平分∠BAC與∠BCA，∴∠FAC+∠FCA=60°，∴∠CFD=∠AFE=60°，∠AFC=120°.04課堂練習(xí)【綜合拓展類作業(yè)】7.如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC與∠BCA的平分線AD，CE分別交BC和AB于點(diǎn)D，E，AD與CE相交于點(diǎn)F，求證：FE=FD.在AC上截取AG=AE，連結(jié)GF.在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠EAF=∠CAF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴∠AFG=∠AFE=60°，F(xiàn)E=FG，∴∠CFG=∠CFD=60°.又∵CF=CF，∴△CDF≌△CGF(ASA)，∴FD=FG，F(xiàn)E=FD.G05課堂小結(jié)本節(jié)課你學(xué)到了什么？1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.2.角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.3.三角形的三條角平分線交于一點(diǎn).06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：1.如圖，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，PM⊥OB于點(diǎn)M，N是射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若PM=5，則PN的最小值為().A.1.5 B.2.5 C.3 D.5 D06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】必做題：2.到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的() .A.三條中線的交點(diǎn)

B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三條高所在直線的交點(diǎn)

D.以上均不對(duì)

B06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：3.如圖，l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()A.一處 B.二處 C.三處 D.四處 D06作業(yè)布置【知識(shí)技能類作業(yè)】選做題：4.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC于點(diǎn)E，BF∥AC交ED的延長線于點(diǎn)F，若BC平分∠ABF，AE=2BF，下列結(jié)論:①DE=DF；

②DB=DC;③AD⊥BC；④AC=3BF.其中正確的結(jié)論為___________.(填序號(hào))①②③④06作業(yè)布置【綜合拓展類作業(yè)】5.如圖，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于點(diǎn)E.求證：AC平分∠DAB證明：如圖，過C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)F.∴∠DEC=∠BFC=90°.∵∠D+∠AB