2024-2025學年浙江省杭州市下城區(qū)春蕾中學九年級（上）期中數(shù)學試卷一、單選題（每題3分。共30分）1．（3分）下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A．y＝2x+1 B．y＝﹣x3﹣2x C．y=1x2 D．y2．（3分）“明天下雨的可能性為80%”這句話指的是（）A．明天一定下雨 B．80%的地區(qū)下雨，20%的地區(qū)不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天80%的時間下雨，20%的時間不下雨3．（3分）設(shè)A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）是拋物線y＝（x+1）2上的三點，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y24．（3分）一個扇形的圓心角是120°，面積為3πcm2，那么這個扇形的半徑是（）A．3cm B．3cm C．6cm D．9cm5．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的變量x，y的部分對應值如表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣11﹣5﹣111…根據(jù)表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一個近似解x1的范圍是（）A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜16．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，連接AC，若∠A＝22.5°，AB＝42，則CD的長為（）A．2 B．4 C．22 D．327．（3分）拋物線y＝﹣3（x﹣2）2﹣3可以由拋物線y＝﹣3x2+1平移得到，則下列平移過程正確的是（）A．先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度 B．先向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度 C．先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度 D．先向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度8．（3分）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝6，C是AB的中點，CD∥OA，交AB于點D，則CD的長為（）A．22-2 B．2 C．2 D．629．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AE⊥CB交CB的延長線于點E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，則AE的長為（）A．2 B．3 C．23 D．10．（3分）設(shè)函數(shù)y1=-(x-m)2，y2=-(x-n)2，直線x＝1與函數(shù)y1，y2的圖象分別交于點A．若1＜m＜n，則a1＜a2 B．若m＜n＜1，則a1＜a2 C．若m＜1＜n，則a1＜a2 D．若m＜n＜1，則a2＜a1二、填空題（每題3分。共18分）11．（3分）拋物線y＝（x﹣2）2﹣3的頂點坐標是．12．（3分）某林業(yè)局將一種樹苗移植成活的情況繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖，由此可估計這種樹苗移植1200棵，成活的大約有棵．13．（3分）如圖，AB是半徑為2的⊙O的弦，點C是⊙O上的一個動點．若點M，N分別是AB，BC中點，則MN長的最大值是．14．（3分）如圖，物理實驗中利用一個半徑為3cm的定滑輪提起砝碼，小明向下拉動繩子一端，使得定滑輪逆時針轉(zhuǎn)動120°，則砝碼被提起了cm．（結(jié)果保留π）15．（3分）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應用．例如古典園林中的門洞．如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，則該門洞的半徑為m．16．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線y＝ax2+3x+1上的兩點，其對稱軸是直線x＝x0，若|x1﹣x0|＞|x2﹣x0|時，總有y1＞y2，同一坐標系中有M（﹣2，0），N（4，0），且拋物線與線段MN有兩個不相同的交點，則a的取值范圍是．三、解答題（8題，共72分）17．（8分）如圖是用幾個電子元件組成的一個電路系統(tǒng)，當且僅當從A到B的電路為通路狀態(tài)時，系統(tǒng)正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性，每個元件正常工作的概率均為12（1）如圖1，只用1個電子元件①，該電路為斷路的概率為；（2）如圖2，用2個電子元件①、②組成一個電路系統(tǒng)，求系統(tǒng)正常工作的概率．（用畫樹狀圖或列表方法求解）18．（8分）僅用“無刻度直尺”按要求畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（1）如圖，BC為⊙O的弦，畫一條與BC長度相等的弦；（2）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于圓，請作出一條直徑．19．（8分）如圖，已知一次函數(shù)y1＝﹣x+m與二次函數(shù)y2=ax2+bx-3的圖象相交于點A（﹣1，0）、B（1）求點m的值和二次函數(shù)的解析式；（2）求二次函數(shù)的頂點坐標和對稱軸；（3）請直接寫出當y1＜y2時，自變量的取值范圍．20．（8分）如圖，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，經(jīng)過A、B、E三點的⊙O交BC于點D，且BD=（1）求證：AB為⊙O的直徑；（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求陰影部分的面積．21．（8分）某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開（如圖1所示）．已知計劃中的材料可建墻體總長46米，設(shè)兩間飼養(yǎng)室合計長x（米），總占地面積為y（米2）．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式和自變量x的取值范圍．（2）現(xiàn)需要設(shè)計這兩間飼養(yǎng)室各開一扇門（如圖2所示），每扇門寬1米，門不采用計劃中的材料．求總占地面積最大為多少米2？22．（10分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，過點C作CE，使得CD＝CE，交AD的延長線于點E．（1）求證：AB＝AE；（2）若AD＝DE＝4，求CD的長．23．（10分）在平面直角坐標系中，設(shè)二函數(shù)y1＝（x﹣m）（x+m+2），其中m≠0．（1）求證：函數(shù)y1與x軸有交點；（2）若函數(shù)y2＝mx+n經(jīng)過函數(shù)y1的頂點，求實數(shù)n的最大值；（3）已知點P（﹣3，a），Q（x1，b）在函數(shù)y1的圖象上，若a≥b，求x1的取值范圍．24．（12分）定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點叫做等垂點．（1）如圖1，AB、AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC垂足分別為D，E．求證：四邊形ADOE是正方形；（2）如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分別交⊙O于D，C兩點，連接CD．分別交AB、OA與點M、點E．求證：AB，CD是⊙O的等垂弦；（3）已知⊙O的直徑為10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P為等垂點．若AP＝3BP．求AB的長．

2024-2025學年浙江省杭州市下城區(qū)春蕾中學九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DCDBCBCDDB二、填空題（每題3分。共18分）11．（3分）拋物線y＝（x﹣2）2﹣3的頂點坐標是（2，﹣3）．12．（3分）某林業(yè)局將一種樹苗移植成活的情況繪制成如圖所示的折線統(tǒng)計圖，由此可估計這種樹苗移植1200棵，成活的大約有960棵．13．（3分）如圖，AB是半徑為2的⊙O的弦，點C是⊙O上的一個動點．若點M，N分別是AB，BC中點，則MN長的最大值是2．14．（3分）如圖，物理實驗中利用一個半徑為3cm的定滑輪提起砝碼，小明向下拉動繩子一端，使得定滑輪逆時針轉(zhuǎn)動120°，則砝碼被提起了2πcm．（結(jié)果保留π）15．（3分）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應用．例如古典園林中的門洞．如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m，則該門洞的半徑為1.3m．16．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是拋物線y＝ax2+3x+1上的兩點，其對稱軸是直線x＝x0，若|x1﹣x0|＞|x2﹣x0|時，總有y1＞y2，同一坐標系中有M（﹣2，0），N（4，0），且拋物線與線段MN有兩個不相同的交點，則a的取值范圍是54≤a＜9三、解答題（8題，共72分）17．（8分）如圖是用幾個電子元件組成的一個電路系統(tǒng)，當且僅當從A到B的電路為通路狀態(tài)時，系統(tǒng)正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性，每個元件正常工作的概率均為12（1）如圖1，只用1個電子元件①，該電路為斷路的概率為12（2）如圖2，用2個電子元件①、②組成一個電路系統(tǒng)，求系統(tǒng)正常工作的概率．（用畫樹狀圖或列表方法求解）【解答】解：（1）由題意得，該電路為斷路的概率為12故答案為：12（2）將2個電子元件①、②正常工作分別記為R1，R2，2個電子元件①、②不能正常工作分別記為R1，R列表如下：R2R2R1（R1，R2）(RR1(R(R共有4種等可能結(jié)果，其中系統(tǒng)正常工作的結(jié)果有有：（R1，R2），共1種，∴系統(tǒng)正常工作的概率為1418．（8分）僅用“無刻度直尺”按要求畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（1）如圖，BC為⊙O的弦，畫一條與BC長度相等的弦；（2）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于圓，請作出一條直徑．【解答】解：（1）如圖，DE即為所求；（2）如圖，EM即為所求．19．（8分）如圖，已知一次函數(shù)y1＝﹣x+m與二次函數(shù)y2=ax2+bx-3的圖象相交于點A（﹣1，0）、B（1）求點m的值和二次函數(shù)的解析式；（2）求二次函數(shù)的頂點坐標和對稱軸；（3）請直接寫出當y1＜y2時，自變量的取值范圍．【解答】解：（1）已知一次函數(shù)y1＝﹣x+m與二次函數(shù)y2=ax2+bx-3的圖象相交于點A（﹣1，0）、B（2，﹣3），把點1+m＝0，解得：m＝﹣1；把點A，點B的坐標代入二次函數(shù)y2a-解得：a=1∴二次函數(shù)解析式為y2（2）y2∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣4），對稱軸為直線x＝1；（3）y1＜y2，體現(xiàn)在形上，一次函數(shù)的圖象位于二次函數(shù)圖象的下方，觀察圖象知，當x＜﹣1或x＞2時，一次函數(shù)的圖象位于二次函數(shù)圖象的下方，故當x＜﹣1或x＞2時，y1＜y2．20．（8分）如圖，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，經(jīng)過A、B、E三點的⊙O交BC于點D，且BD=（1）求證：AB為⊙O的直徑；（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接AD，∵BD=∴∠BAD＝∠CAD，又AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB為⊙O的直徑；（2）∵AB為⊙O的直徑，∴點O在AB上，連接OE，由圓周角定理得，∠AOE＝∠BOE＝90°，∴陰影部分的面積=12×4×4+21．（8分）某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開（如圖1所示）．已知計劃中的材料可建墻體總長46米，設(shè)兩間飼養(yǎng)室合計長x（米），總占地面積為y（米2）．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式和自變量x的取值范圍．（2）現(xiàn)需要設(shè)計這兩間飼養(yǎng)室各開一扇門（如圖2所示），每扇門寬1米，門不采用計劃中的材料．求總占地面積最大為多少米2？【解答】解：（1）由題意得：y=∵46-x∴x＜46，故：y=-13x2+46（2）由題意得：y=故：當x＝24時，y由最大值192平方米；22．（10分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，過點C作CE，使得CD＝CE，交AD的延長線于點E．（1）求證：AB＝AE；（2）若AD＝DE＝4，求CD的長．【解答】（1）證明：如圖所示，連接AC．∵BC＝CD，∴BC=∴∠CAB＝∠CAE，∵CD＝CE，∴∠E＝∠EDC，∵∠B+∠CDA＝180°，∠CDE+∠CDA＝180°，∴∠B＝∠EDC，∵∠E＝∠EDC∴∠B＝∠E，在△ABC與△AEC中，∠B∴△ABC≌△AEC（AAS），∴AB＝AE；（2）解：如圖所示，連接BD．∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，由（1）可得AB＝AE．∵AD＝DE＝4，∴AE＝AB＝8．∴BD=∴CD=23．（10分）在平面直角坐標系中，設(shè)二函數(shù)y1＝（x﹣m）（x+m+2），其中m≠0．（1）求證：函數(shù)y1與x軸有交點；（2）若函數(shù)y2＝mx+n經(jīng)過函數(shù)y1的頂點，求實數(shù)n的最大值；（3）已知點P（﹣3，a），Q（x1，b）在函數(shù)y1的圖象上，若a≥b，求x1的取值范圍．【解答】（1）證明：y1∵Δ＝b2﹣4ac＝4+4×1×（m2+2m）＝4（m+1）2≥0，∴函數(shù)y1與x軸有交點；（2）解：y1∴頂點坐標為（﹣1，﹣（m+1）2），∵函數(shù)y2＝mx+n經(jīng)過函數(shù)y1的頂點，∴﹣（m+1）2＝﹣m+n，則n=-∵﹣1＜0，∴當m=-12時，實數(shù)n（3）解：拋物線y1的對稱軸為：x＝﹣1，∵二次項系數(shù)a＝1＞0，開口向上，作草圖如下：∴（﹣3，a）與（1，a）關(guān)于x＝﹣1對稱，∵a≥b，點Q（x1，b）在函數(shù)y1的圖象上，∴x1的取值范圍為：﹣3≤x1≤1．24．（12分）定義：同一個圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點叫做等垂點．（1）如圖1，AB、AC是⊙O的等垂弦，OD⊥AB，OE⊥AC垂足分別為D，E．求證：四邊形ADOE是正方形；（2）如圖2，AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分別交⊙O于D，C兩點，連接CD．分別交AB、OA與點M、點E．求證：AB，CD是⊙O的等垂弦；（3）已知⊙O的直徑為10，AB、CD是⊙O的等垂弦，P為等垂點．若AP＝3BP．求AB的長．【解答】（1）證明：∵AB、AC是⊙O的等垂弦，∴AB⊥AC．∵OD⊥AB，OE⊥AC垂足分別為D，E，∴四邊形ADOE是矩形．∵AB＝AC，∴AE=∴四邊形ADOE是正方形；（2）證明：∵AB是⊙O的弦，作OD⊥OA，OC⊥OB分別交⊙O于D，C兩點，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∴∠AOD+∠AOC＝∠BOC+