專題3.6圓錐曲線與方程36道壓軸題型專訓(xùn)（9大題型）題型一橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值題型二橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題題型三根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題型四利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題題型五求雙曲線的軌跡方程題型六根據(jù)a,b,c齊次式關(guān)系求漸近線方程題型七根據(jù)離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型八拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離及最值題型九拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值【經(jīng)典例題一橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)和定點(diǎn)距離的和、差最值】1．（2025高二上·全國·專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作圖，利用橢圓的定義結(jié)合三角形的三邊關(guān)系得出，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計算即可.【詳解】

如圖，為橢圓上任意一點(diǎn)，則，所以，因?yàn)闉閳A上任意一點(diǎn)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在和之間時，等號成立．由題意知，，則，所以的最小值為．故選：B．2．（24-25高二·江蘇·單元測試）已知，是橢圓內(nèi)的兩個點(diǎn)，M是橢圓上的動點(diǎn)，則（

）A．MA+MB的最大值為B．MA+MB的最小值為C．的最小值為D．取得最小值時M的坐標(biāo)為【答案】ABCD【分析】由橢圓的定義知，討論直線BF與橢圓交點(diǎn)的位置，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求出的最值；過M作右準(zhǔn)線l于C可得，即可確的最小值及M的坐標(biāo)．【詳解】（1）由題設(shè)知：A、為橢圓焦點(diǎn)，B在橢圓內(nèi)，則，∴．當(dāng)M不在直線BF與橢圓交點(diǎn)上時，M、F、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是，當(dāng)M為直線BF與橢圓交點(diǎn)時，第一象限交點(diǎn)有，第三象限交點(diǎn)有．∴當(dāng)M為直線BF與橢圓第一象限交點(diǎn)時，有最小值為．當(dāng)M為直線BF與橢圓第三象限交點(diǎn)時，有最大值為：．（2）過M作右準(zhǔn)線l，垂足為C，由題意得：，當(dāng)B、M、C共線時取最小值為：．此時M的坐標(biāo)為．故選：ABCD．3．（24-25高二上·廣東汕尾·階段練習(xí)）已知動點(diǎn)P在橢圓上，，，則的最小值為．【答案】1【分析】另一焦點(diǎn)為，利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化為，然后可得最小值．【詳解】由題意是橢圓的下焦點(diǎn)，如圖，設(shè)上焦點(diǎn)為，在橢圓上，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與橢圓的焦點(diǎn)時等號成立，故答案為：1.4．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓：內(nèi)有一點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，求：(1)的最大值與最小值；(2)的最大值與最小值．【答案】(1)最大值為，最小值為(2)最大值為，最小值為【分析】(1)由題意可知：根據(jù)三角形的性質(zhì)，即可求得然后得到的最大值與最小值；(2)利用橢圓的定義表示出，根據(jù)橢圓的定義及三角形三邊的關(guān)系，即可求得答案．【詳解】（1）由橢圓可知，，，則，，

則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時成立，所以，所以的最大值與最小值分別為和；（2），，，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，由，，，等號僅當(dāng)時成立，此時、、共線，由，，等號僅當(dāng)時成立，此時、、共線，故的最大值與最小值為．【經(jīng)典例題二橢圓中焦點(diǎn)三角形的面積問題】5．（23-24高二下·四川德陽·階段練習(xí)）橢圓的左，右焦點(diǎn)為，且，點(diǎn)P是橢圓C上異于左、右端點(diǎn)的一點(diǎn)，若M是的內(nèi)心，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由可得，進(jìn)而得到，由可得，同除以即可求解.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，，可得.，解得.又因?yàn)?，所以，即，所以，即，解得（舍去?fù)值），所以.故選：A6．（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，是等腰三角形，則的面積可能是（

）A． B． C．7 D．【答案】AD【分析】根據(jù)橢圓定義，可得，，分別討論、和三種情況，求得各個長度，代入面積公式，即可得答案.【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，當(dāng)時，，，所以的面積為；當(dāng)時，，所以的面積為.同理，當(dāng)時，的面積為.故選：AD.7．（2024·山西·一模）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為正三角形，若射線與橢圓相交于點(diǎn)，則與的面積的比值為．【答案】【分析】由題意解出縱坐標(biāo)后相比【詳解】由題可設(shè)方程為，故聯(lián)立直線與橢圓方程化簡得：而，得故與的面積之比為故答案為：8．（24-25高二上·安徽·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且直線與軸垂直.(1)證明：；(2)若的角平分線恰好過點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用橢圓定義以及勾股定理計算可得結(jié)論；（2）由角平分線定理可得，，解得，代入可求得面積.【詳解】（1）由橢圓的定義得，因?yàn)橹本€與x軸垂直，所以，即，故.（2）因?yàn)槠椒?，所以，即，如下圖所示：由和，解得，，代入得，解得；故的面積為.【經(jīng)典例題三根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】9．（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，過且垂直于的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，連接，，，由離心率可得，即可得到為等邊三角形，然后結(jié)合橢圓的定義即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，連接，，，由題意可得．因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即．又，所以，故為等邊三角形．由可得為線段的垂直平分線，所以，，所以的周長為．故選：A10．（24-25高二上·陜西渭南·期中）已知橢圓的離心率為，則的值可以為（

）A．2 B．3 C．16 D．【答案】BD【分析】討論焦點(diǎn)在軸，軸時，分別求出，由離心率的公式即可求出答案.【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，，由得，.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，，由得，.綜上得，或.故選：BD.11．（23-24高二上·江蘇連云港·期中）已知橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，離心率為，C上一點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B.若的周長的最大值為16，則C的短軸長為.【答案】【分析】討論過右焦點(diǎn)和不過右焦點(diǎn)兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合分析周長的最大值，結(jié)合已知條件，即可求解.【詳解】如圖，由題意可知軸，不過右焦點(diǎn)，軸，過右焦點(diǎn)，的周長為，而的周長為，所以的周長的最大值為，即，則，又離心率，即，則，所以橢圓的短軸長為.

故答案為：12．（2025高三·全國·專題練習(xí)）定義：由橢圓的一個焦點(diǎn)、一個長軸頂點(diǎn)（焦點(diǎn)與長軸頂點(diǎn)在對稱軸同一側(cè)）和一個短軸頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．若兩個橢圓的“特征三角形”相似，則稱這兩個橢圓是“相似三角形關(guān)聯(lián)橢圓”，并將這兩個“特征三角形”的相似比稱為“相似三角形關(guān)聯(lián)橢圓”的相似比．已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)在C上，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與C是“相似三角形關(guān)聯(lián)橢圓”，且相似比為，的左、右頂點(diǎn)分別為，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的離心率，并通過比較與C的離心率，寫出一個關(guān)于“相似三角形關(guān)聯(lián)橢圓”離心率的結(jié)論（寫出結(jié)論即可，不要求證明）.【答案】(1)(2)；“相似三角形關(guān)聯(lián)橢圓”的離心率相等.【分析】（1）先根據(jù)條件求出橢圓的方程，再根據(jù)相似比即可求出的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）結(jié)合（1）即可求出離心率.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦半距為，橢圓的長半軸長、短半軸長、焦半距分別為，則由題意得，，，，解得，設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，左右焦點(diǎn)分別為，橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，左右焦點(diǎn)分別為，因，且相似比為，則，即，得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知的離心率為，則與C的離心率相等，結(jié)論：“相似三角形關(guān)聯(lián)橢圓”的離心率相等.證明：橢圓：，設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，左右焦點(diǎn)分別為，橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，左右焦點(diǎn)分別為，因，設(shè)相似比為，則，即，得，則的離心率為，即“相似三角形關(guān)聯(lián)橢圓”的離心率相等.【經(jīng)典例題四利用定義解決雙曲線中焦點(diǎn)三角形問題】13．（24-25高三上·浙江·期中）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線分別交雙曲線左右兩支于兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖像，利用雙曲線的定義得到，，再由余弦定理的推論及余弦函數(shù)的定義可得到關(guān)于的方程，解之即可求得.【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以，則，過作交于，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，，設(shè)，由雙曲線的定義可得，所以，故，解得，所以.故選：C.14．（23-24高二·江蘇·單元測試）已知點(diǎn)P是雙曲線E：的右支上一點(diǎn)，，為雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，的面積為20，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 B．的周長為C．小于 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】ABC【分析】由雙曲線方程可得雙曲線的c，運(yùn)用三角形的面積公式求得P的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線的夾角公式可得的范圍，利用雙曲線的定義，可得的周長，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，運(yùn)用三角形的面積公式和等積法，即可計算r．【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以，又因?yàn)?，所?將其代入得，即，所以選項(xiàng)A正確；所以P的坐標(biāo)為，由對稱性可知，由雙曲線定義可知所以的周長為:，所以選項(xiàng)B正確；可得，，則，則，，所以選項(xiàng)C正確；因?yàn)榈闹荛L為，所以，所以，所以選項(xiàng)D不正確．故選：ABC.15．（24-25高二上·廣東廣州·期末）雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角，已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過右支上一點(diǎn)作雙曲線的切線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，則.【答案】【分析】延長，交直線與點(diǎn)，根據(jù)題意可得，結(jié)合雙曲線的定義，可求，在根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可求的長度.【詳解】如圖：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，得：，，.延長，交直線于點(diǎn)，由題意：平分，又，所以，且為中點(diǎn).所以.又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合已知雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，得到垂直平分線段，利用三角形中位線的性質(zhì)得到是解決問題的關(guān)鍵.16．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，其離心率，且雙曲線過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若雙曲線上一點(diǎn)滿足，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）代點(diǎn)的坐標(biāo)入曲線方程，結(jié)合離心率和的關(guān)系建立方程組，求得的值，即可得到曲線方程；（2）由雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離差為，兩焦點(diǎn)間的距離，結(jié)合余弦定理即可求得，然后得到三角形面積.【詳解】（1）由題意知：，解得，故雙曲線的方程為：.（2）由題意得，，在中，由余弦定理得：即：，，，所以的面積為.【經(jīng)典例題五求雙曲線的軌跡方程】17．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知雙曲線：上的一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），過點(diǎn)作雙曲線的一條切線.若雙曲線的離心率，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線與的斜率之積為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，分別用坐標(biāo)和a、b、c表示出直線與的斜率，最后計算出斜率的積即可.【詳解】由雙曲線的離心率，得，所以，得，設(shè)，可得雙曲線在點(diǎn)M處的切線l為，所以l的切線方程為直線l的斜率，又，所以故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若二次曲線方程為：設(shè)過二次曲線的切線切點(diǎn)為，則二次曲線切線方程或切點(diǎn)連線方程為：證明（僅供參考，結(jié)論考生可直接使用）：對方程兩邊同時關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)，得到：，整理以后，即得到：，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線經(jīng)過處切線的斜率k應(yīng)滿足關(guān)系式，因此，所求切線方程，可轉(zhuǎn)化為化簡并整理，得用因?yàn)?，因此上式可化簡為：即，證畢.18．（2024·山西呂梁·一模）已知雙曲線的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，點(diǎn)為左支上一點(diǎn)，滿足且，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)題意可得，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式與求解，再根據(jù)雙曲線的定義求解方程即可.【詳解】由題意設(shè)，左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，結(jié)合，可得：，即，相減可得，代入解得：或.不妨設(shè)，則根據(jù)雙曲線的定義，故，，故雙曲線的方程為

.故選：C19．（23-24高二下·上海黃浦·期中）從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，且，視所在直線為x軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為．

【答案】【分析】先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)條件求出，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)所求雙曲線方程為：，如圖，因?yàn)椋字?，又坐?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分點(diǎn)，所以在雙曲線上，得到，整理得到，故所求曲線方程為.

故答案為：.20．（23-24高二·全國·隨堂練習(xí)）如圖，發(fā)電廠的冷卻塔被設(shè)計成單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的形狀（雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面），可以加強(qiáng)對流，自然通風(fēng)．已知某個冷卻塔的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m．試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求此雙曲線的方程．

【答案】【分析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，利用已知條件確定的值，從而可求得雙曲線的方程.【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)椋c(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為25，13，所以設(shè)（），所以，解得，因?yàn)楦邽?5米，所以，即，得，所以所求雙曲線方程為.

【經(jīng)典例題六根據(jù)a,b,c齊次式關(guān)系求漸近線方程】21．（2024·浙江·三模）設(shè)為原點(diǎn)，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且滿足，，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由題意列出含的方程組，解出的關(guān)系式，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義知，在中，由余弦定理得：，所以，再由，為的中點(diǎn)，延長至，使，所以四邊形為平行四邊形，且，在中，由余弦定理知：，在中，由余弦定理知：，因?yàn)椋瑒t，可知，所以③，由得，

把代入得，化簡得，所以漸近線方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由四點(diǎn)共圓的四邊形四個邊的平方和等于兩條對角線的平方和是解決本題的關(guān)鍵.22．（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線的左支上存在一點(diǎn)，使得與雙曲線的一條漸近線垂直且交于點(diǎn)，且則雙曲線的漸近線方程可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】不妨設(shè)在第三象限，與漸近線垂直，寫出直線方程，與方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)得向量的關(guān)系，從而得點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程變形可得，得漸近線方程．【詳解】已知，不妨設(shè)點(diǎn)在第三象限，與漸近線垂直，的斜率為，直線方程為，由，得設(shè)由知，即所以在雙曲線上，，所以化簡得，，所以漸近線方程是．故選：CD．23．（2025·黑龍江哈爾濱·一模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過且斜率存在的直線與雙曲線的漸近線相交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，若，則雙曲線的漸近線方程為.【答案】【分析】設(shè)的方程為，聯(lián)立漸近線方程求出縱坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合列方程組求解可得.【詳解】易知，直線的斜率不為0，設(shè)方程為，雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立解得，由解得，由題知，，即，整理得①，因?yàn)?，記的中點(diǎn)為，則，，所以，整理得②，②代入①得，整理得③，③代入②整理得，即，因?yàn)椋?，所以，又，所以，即，所以漸近線方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于中點(diǎn)坐標(biāo)公式和垂直直線的斜率關(guān)系列方程，化簡得到齊次式即可得解.24．（23-24高三上·江西·期中）已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn)都在軸上，離心率為，過點(diǎn)的動直線與雙曲線交于點(diǎn)、．設(shè)．(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若點(diǎn)、都在雙曲線的右支上，求的最大值以及取最大值時的正切值；關(guān)于求的最值．某學(xué)習(xí)小組提出了如下的思路可供參考：①利用基本不等式求最值；②設(shè)為，建立相應(yīng)數(shù)量關(guān)系并利用它求最值；③設(shè)直線l的斜率為k，建立相應(yīng)數(shù)量關(guān)系并利用它求最值）.【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)離心率求出，即可求出漸近線方程；（2）由（1）可得雙曲線的方程為，設(shè)，，則利用基本不等式求出的最大值，此時可得，則軸且，求出，即可求出，再利用二倍角公式求出；【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，焦距為，由，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.（2）由（1）可得，，所以雙曲線的方程為，設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)、都在雙曲線的右支上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，當(dāng)時，所以，所以軸且，又雙曲線的方程為，即，由，解得，可知，又，所以，.【經(jīng)典例題七根據(jù)離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】25．（24-25高二上·甘肅白銀·期末）已知雙曲線的離心率為，直線過雙曲線的右焦點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)滿足，則直線被圓所截得的弦長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)以及離心率求得，從而求得雙曲線的方程，利用雙曲線的定義建立等量關(guān)系式，求得原點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求得弦長.【詳解】由已知得，則，，由離心率為，可得，所以，所以雙曲線．設(shè)的中點(diǎn)為，根據(jù)，得到．由知直線與雙曲線交于兩支，不妨設(shè)點(diǎn)在左支上，點(diǎn)在右支上，則，所以．設(shè)到的距離為，則，①又，所以，②由①②可得．設(shè)圓的圓心到直線的距離為，則，所以直線被圓所截得的弦長為．故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于雙曲線問題，要熟練掌握雙曲線的基本性質(zhì)，如焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、雙曲線的定義等，利用這些性質(zhì)建立方程或等式求解未知量.在解決直線與雙曲線相交以及直線與圓相交的問題時，常常結(jié)合向量的垂直關(guān)系、勾股定理等知識進(jìn)行分析和計算.求直線被圓所截得的弦長，關(guān)鍵是求出圓心到直線的距離，然后利用弦長公式進(jìn)行計算.26．（23-24高三上·河北唐山·階段練習(xí)）已知雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】AB【分析】討論焦點(diǎn)的位置，確定的范圍，再由離心率公式解出實(shí)數(shù)的值.【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸時，，即可得或（舍）,故A正確;當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時，，即，（舍）或,故B正確;故選：AB27．（2024·黑龍江·二模）已知雙曲線的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，過作的一條漸近線的垂線并交于兩點(diǎn)，若，則的周長為.【答案】【分析】由離心率得出，可得雙曲線方程為，然后由求得，再根據(jù)雙曲線的定義求得三角形周長．【詳解】由題意，即，化簡和是，，因此雙曲線方程為，右焦點(diǎn)為，漸近線方程為，不妨設(shè)直線方程為，設(shè)，由得，，，，所以，解得，從而，由雙曲線的定義可得，所以，從而的周長為，故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在雙曲線中弦過焦點(diǎn)，則焦點(diǎn)的周長是（其中）．28．（24-25高三上·江蘇·期末）已知雙曲線C：（）的離心率為2，點(diǎn)是雙曲線C上的點(diǎn)，A，B是雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P（不同于點(diǎn)A，B）是雙曲線C上的一個動點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)M，N．(1)求雙曲線C的方程；(2)求證：以線段為直徑的圓被x軸截得的弦長為定值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在右支上時，直線交雙曲線C的右支于點(diǎn)Q，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）因?yàn)殡x心率，將點(diǎn)（2，3）代入雙曲線方程得，又，解得a，b，即可得出答案；（2）由（1）可知，，設(shè)，即.根據(jù)直線PA的方程求得，根據(jù)直線PB的方程求得，寫出圓C′的方程，把代入圓C′中得出，結(jié)合計算出結(jié)果即可；（3）設(shè)，直線PQ的方程為，聯(lián)立雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，寫出直線AP的方程，進(jìn)而可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，又M，B，Q三點(diǎn)共線，則，又M，A，P三點(diǎn)共線，則，解出，即可得出答案．【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C的離心率為2，所以，即，又，所以，化簡得，因?yàn)辄c(diǎn)（2，3）在雙曲線C上，所以代入得，結(jié)合，解得，，故雙曲線C的方程；（2）由（1）可知，，設(shè)，點(diǎn)P是雙曲線C上的一個點(diǎn)，所以.直線PA的方程為，令，得，直線PB的方程為，令，得，設(shè)以線段MN為直徑的圓的圓心為C′，半徑，故圓C′的方程：，，設(shè)圓C′與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，把代入圓C′中得，結(jié)合得，故，解得，，故，所以以線段MN為直徑的圓C′被x軸截得的弦長是3，是定值；（3）直線PQ過定點(diǎn)，理由如下：設(shè)直線PQ的斜率方程為，聯(lián)立，整理得，則，由（1）可知，，直線，因?yàn)橹本€上有動點(diǎn)，點(diǎn)直線上，所以，又M，B，Q三點(diǎn)共線，所以，即，又M，A，P三點(diǎn)共線，所以，即聯(lián)立得：，整理得，即．化簡得，因?yàn)椋?，故，代入得得，即，所以時．直線PQ的方程為，所以PQ過定點(diǎn).

【經(jīng)典例題八拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離及最值】29．（23-24高二上·上海閔行·期末）已知拋物線，圓，若點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動，且設(shè)點(diǎn)，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】要使最小，則需最大，根據(jù)拋物線的定義可得，，然后整理換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.【詳解】如圖，設(shè)圓心為，則為拋物線的焦點(diǎn)，該拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由拋物線的定義得，要使最小，則需最大，如圖，最大時，經(jīng)過圓心，且圓的半徑為1，，且，所以，令，則，所以，由，而，得，取得最小值，則的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓上的動點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離之和最大（小）轉(zhuǎn)化為求圓心到定點(diǎn)的距離的加半徑（減半徑）.30．（2025·四川德陽·二模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動點(diǎn)滿足，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上的投影為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題干的條件即可求得滿足的軌跡方程為圓，再利用距離最小即四點(diǎn)共線時，即可求得最小值.【詳解】因?yàn)椋瑒狱c(diǎn)滿足，設(shè)，則，兩邊同時平方整理得：，即點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓；因?yàn)辄c(diǎn)在直線上的投影為，又拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，故,故當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時，取得最小值，最小值為,故，故選：C31．（24-25高二上·湖南·期中）已知為拋物線上的任意一點(diǎn)，為其焦點(diǎn)，為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為、【答案】【分析】取點(diǎn)，根據(jù)相似三角形得，則，再通過設(shè)點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最小值.【詳解】由題意得，取點(diǎn)，設(shè)圓的圓心為，則，所以，又因?yàn)椋?，則，.，即求得最小值，設(shè)，則，令.當(dāng)時，，即的最小值為.故答案為：.

32．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，為圓上的動點(diǎn)，為拋物線上的動點(diǎn)，試求的最小值．

【答案】的最小值為．【分析】將拋物線上的點(diǎn)到圓上的點(diǎn)距離最小值問題轉(zhuǎn)化成到圓心距離減去半徑，即，而，所以的最小值為．【詳解】根據(jù)題意可知，圓心，其半徑；不妨設(shè)，點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值等價于，當(dāng)取到最小值時，的值最?。?，當(dāng)時，取最小值為；此時的最小值為.【經(jīng)典例題九拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值】33．（24-25高二下·河北邯鄲·期末）已知實(shí)數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】吧問題轉(zhuǎn)化成拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和的最小值問題，再結(jié)合拋物線的定義求解.【詳解】如圖：根據(jù)題意，的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，分析可得點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，過作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，交與點(diǎn).所以的幾何意義為.由.過作直線的垂線，垂足為，交拋物線與點(diǎn).則（當(dāng)與點(diǎn)