機密★啟用前

8.已知雙曲線C:的左、右焦點分別為F?,F?,M(xo,yo)(x?>0,

2025～2026學(xué)年度高二年級10月末質(zhì)量檢測

yo>0)是雙曲線C上的一點，直線MF?與y軸交于點N,若MF?·NF?=0,且|MF?|:

數(shù)學(xué)|NF?I=2:3,則雙曲線的離心率為

(試卷滿分：150分，考試時間：120分鐘)BD

A.9

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

的指定位置。9.以下四個命題表述正確的是

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如

BA.直線4x+my-12=0(m∈R)恒過定點(0,3)

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；回答非選擇題時，用0.5mm的黑色字跡

簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。B.若直線l?:(m—1)x+y-1=0與l2:2x-my+2=0互相垂直，則實數(shù)m=2

3.考試結(jié)束后，請將答題卡上交。C.已知直線l?:x+ay-2=0與l?:(a+1)x-ay+1=0平行，則a=-2或a=0

D.過點A(2,1)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為x-y-1=0或

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是x-2y=0

符合題目要求的.

1.橢圓2x2+y2=8的焦點坐標(biāo)為10.點P是橢圓C:

A.(4,0),(-4,0)B.(2,0),(-2,0)

△的周長為4+√3△面積的最大值為√3

KC.(0,2),(0,—2)D.(0,4),(0,—4)A.PF?F?B.PF?F?

C.|PF?I·|PF?|的最大值為4D.|PF?|·|PF?|的最小值為1

□2.雙曲的漸近線方程為

11.設(shè)拋物線y2=8x的頂點為O,焦點為F,準線與x軸交于點M.過點F的直線l交拋物

A.y=±3xBD線于A(x?,y?),B(x?,y?)兩點，且y?>0,則下列說法正確的是

A.若|AF|=8,則|OA|=4√5B.OA·OB=-12

南3.直線l?:x+2y-4=0與直線l2:2x+4y-3=0之間的距離為

存在直線使得∠

AB.√5C.2D.3D.l,AMB>90°

4.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,點M在C上，|MF|=3,則點M到直線x=-3的距三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

離為

12.設(shè)F?,F?是雙曲線C的左、右焦點，若點P在雙曲線C上，且|PF?,則

A.3B.4C.5D.6

5.若直線l?:mx+y+5=0的傾斜角是直線l2:x-2y+1=0的傾斜角的兩倍，則實數(shù)m=|PF?|=·

ABCD13.已知兩定點A(-3,0),B(1,0),若直線l:nx+y-3=0上有一點M滿足|MA|=

則實數(shù)的取值范圍是

6.圓C?:x2+y2—4x+2y+1=0與圓C?:x2+y2—2y-3=0的公共弦長為√2|MB|,n.

C.2

A.2√2B.√2D.414.已知M是橢圓上一點，F(xiàn)?,F?分別是橢圓的左、右焦點，點I是

7.已知點P是拋物線C:y2=12x上的一點，設(shè)點P到直線x=-3和x-y+4=0的距離

分別為d?,d?,則d?+d?的最小值為

△MF?F?的內(nèi)心，延長MI交線段F?F?于點N,若橢圓的離心率為e,則的值

ABC.3+2√2D.4√2為

【高二數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】B【高二數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】B

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.18.(本小題滿分17分)

15.(本小題滿分13分)

已知動點M(x,y)到定點F(5,0)的距離和M到定直線l的距離的比是,記動

已知直線l:2x-y-1=0.

點M的軌跡為曲線C.

(1)若直線l?過點M(3,-2),且l?⊥l,求直線l的方程；

(1)求曲線C的方程；

(2)若直線l?//l,且直線l?與直線l之間的距離為2√5,求直線l?的方程.

(2)若動點M在y軸右側(cè)，點A(6,1).

(i)求|FI的最小值；

(ii)求|MA|+|MF|的最小值.

16.(本小題滿分15分)

已知圓C:(x-3)2+(y-1)2=25,點P(0,5),且直線l經(jīng)過點P.

(1)若直線l與圓C相切，求直線l的方程；

(2)若直線l被圓C截得的弦長為√2,求直線l的方程.

19.(本小題滿分17分)

若橢圓C的兩個焦點分別為F?(-1,0),F?(1,0),且橢圓C過點P,若直線l經(jīng)

過點F?且交橢圓C于A,B兩點，交直線x=4于點M,直線PA,PB,PM的斜率分別

為k?,k?,k?.

17.(本小題滿分15分)

(1)求橢圓的標(biāo)準方程；

已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l與拋物線C交于A(x?,y?),B(x2,y2)兩點，且C

(2)若直線PA,PB關(guān)于直線PF?對稱，求k3;

y1y2=-16.

(3)探究k?,k?,k?的數(shù)量關(guān)系.

(1)證明：直線l過定點；

(2)求|AF|+9|BF|的最小值.

【高二數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)】B【高二數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)】B

2025～2026學(xué)年度高二年級10月末質(zhì)量檢測·數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細則

題號12345678

答案CBACCAAB

題號91011

答案BCDBCDBC

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.【答案】C

【解析】橢圓2x2+y2=8化為標(biāo)準方程為：,所以a2=8,b2=4,c2=a2—b2=4,即c=2,且焦點在y軸上，所以

焦點坐標(biāo)為(0,2),(0,—2),故選C.

2.【答案】B

【解析】

的漸近線方程為,故選B

3.【答案】A

【解析】因為l?:x+2y—4=0,即2x+4y—8=0,則l?與l?之間的距離為,故選A.

4.【答案】C

【解析】拋物線C:y2=4π,其準線方程為：z=-1,因為|MF|=3,且點M在C上，由拋物線定義可知，點M到直線x=

-1的距離為3,因為x=-3與x=-1平行，且距離為2,所以點M到直線x=-3的距離為5,故選C.

5.【答案】C

【解析】因為直線l?的斜率,設(shè)對應(yīng)的傾斜角為θ,由題意可得，直線l?的傾斜角為20,故其斜率k?=-m=tan20

,解得,故選C.

6.【答案】A

【解析】C?:(x—2)2+(y+1)2=4,所以C?(2,-1),r?=2;C?:z2+(y-1)2=4,所以C?(0,1),r?=2.IC?C?I=

√22+(-1-1)2=2√2,因為0=r?-r?<IC?C?I<r?+r?=4,所以兩圓相交.將兩圓方程相減，得兩圓相交弦所在直

線方程為：x-y-1=0,點C?到直線x-y—1=0的距離所以兩圓的公共弦長為2√r2—d2=

2√4-2=2√2,故選A.

7.【答案】A

【解析】拋物線C:y2=12x的焦點F(3,0),準線方程為x=—3,因為點P在拋物線

C:y2=12x上，所以d?=|PF|,所以d?+d?=|PF|+d?.聯(lián)立方程組

得：x2—4x+16=0,則△=(一4)2—4×16=-48<0,所以直線x-y

+4=0與拋物線C:y2=12x無公共點，如圖所示，|PF|+d?的最小值即為點

F(3,0)到直線x—y+4=0的距離，所以最小值為,故選A.

8.【答案】B

【解析】因為|MF?|:|NF?|=2:3,所以設(shè)|MF?|=2t,|NF?|=3t,則|MN|=5t,因為點N在y軸上，所以N|F?|=

NF?I=3t,因為點M在第一象限，且在雙曲線上，由雙曲線定義得：|MF?I—|MF?I=2a,即|MF?I=2a+2t,由MF1·

NF?=0,所以MF?⊥NF?,所以M|F?I2+|NF?I2=|MNI2,即(2a+2t)2+(3t)2=(5t)2,解得t=a,所以|MF?I=4a,

【高二數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共5頁)】B

MF?|=2a,|MN|=5a,則

在△MF?F?中，由余弦定理得：|F?F?I2=|MF?I2+|MF?I2—2|MF?I·|MF?|cos∠F?MF?,

,故選B.

即

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分

選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】BCD(全部選對得6分，選對1個得2分，選對2個得4分，有選錯的得0分)

【解析】對A,直線4x+my—12=0(m∈R)恒過定點(3,0),所以A錯誤；

對B,若l?⊥l2,則2(m—1)-m=0,解得m=2,所以B正確；

對C,若l?//l2,則有-a=a(a+1),即a2+2a=0,解得a=0或a=—2.當(dāng)a=0時，L?:x—2=0,l2:x+1=0,所以a=0

符合題意；當(dāng)a=-2時，L?:x—2y-2=0,l2:x—2y-1=0,所以a=-2符合題意，所以選項C正確；

對D,當(dāng)直線過原點時，方程為,即x-2y=0;當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為：,又因為過點(2,

1),所以,解得a=1,所以直線方程為：x-y-1=0,所以選項D正確.綜上，故選BCD.

10.【答案】BCD(全部選對得6分，選對1個得2分，選對2個得4分，有選錯的得0分)

【解析】因為,所以a2=4,b2=1,所以c2=a2—b2=3,即a=2,b=1,c=√3,F?(一√3,0),F?(√3,0),因為

點P在橢圓上，所以|PF?I+|PF?|=2a=4.

對A,△PF?F?的周長為|PF?I+|PF?I+|F?F?|=4+2√3,所以A錯誤；

對B,設(shè),因為-1≤y?≤1,所以Iy?I=1時，即當(dāng)點P在短軸端點時，

△PF?F?的面積取得最大值，且最大值為√3,所以B正確；

當(dāng)且僅當(dāng)|PF?|=|PF?|=2時等號成

立，所以|PF?I·|PF?|的最大值為4,所以C正確；

對D,因為|PF?I+|PF?I=4,所以|PF?I=4-|PF?I,所以|PF?I·|PF?|=|PF?|(4—|PF?I),因為a-c≤|PF?I

≤a+c,即2—√3≤|PF?I≤2+√3,所以當(dāng)|PF?I=2+√3或|PF?I=2—√3時，|PF?I·|PF?|取得最小值，最小值為

1,所以D正確，故選BCD.

11.【答案】BC(全部選對得6分，選對1個得3分，有選錯的得0分)

【解析】拋物線y2=8x的焦點F(2,0),準線方程為x=-2,所以M(—2,0).

對A,因為|AF|=8,所以x?+2=8,所以x?=6,則y2=48,所以O(shè)|A|=√x2+y2=√36+48=2√21,所以A錯誤；

對B,因為直線l的斜率不為0,且過焦點，設(shè)直線l的方程為x=my+2,與拋物線的方程y2=8x聯(lián)立得：y2—8my-16=0,則

y1y2=—16,y+y?=8m,所以

,因為點M在x軸上，所以直線MA與直線MB關(guān)于x軸對稱，即MF為∠AMB的角平

分線，所以由角平分線定理得：,所以C正確；

對D,如圖所示，取線段AB的中點為N,分別過點A,B,N向準線作垂線，垂足分別

為A?,B?,N?,由拋物線定義可知，|AF|=|AA?|,|BF|=|BB?|,因為點N,N?分別

為線段AB,A?B?的中點，所以,所

以以AB為直徑的圓與準線相切，且切點為N?,所以∠AN?B=90°,當(dāng)直線l不與x

軸垂直時，點M在以AB為直徑的圓的外部，所以∠AMB<90°;當(dāng)直線l與x軸垂直

時，點N?與M重合，此時∠AMB=90°,綜上，∠AMB≤90°,所以D錯誤.故選BC.

【高二數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共5頁)】B

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】(5分，結(jié)果正確均得分)

【解析】∵P在C上，故||PF?I-1PF?II=2a=4,當(dāng)點P在雙曲線左支上時，|PF?I<|PF?1,∴|PF?

符合題意，當(dāng)點P在雙曲線右支上時，|PF?I>|PF?I,此時|PF?|<c—

a=1,不合題意，舍去，故|PF?

13.【答案】(5分，結(jié)果正確均得分)

【解析】設(shè)點M(x,y),∵|MA|=√2|MB|,∴√(x+3)2+y2=√2·√(x-1)2+y2,化簡得(x—5)2+y2=32,此方程

為點P軌跡方程，由于M在直線上，也在圓上，所以直線與圓要有公共點,即7n2+30n+23≥0,解得n

≥-1或

14.【答案】1(5分，其他結(jié)果均不得分)

【解析】在△MF?F?中，連接F?I,F?I,因為I是△MF?F?的內(nèi)心，所以F?I,F?I分別是∠MF?F?和∠MF?F?的角平

分線，由角平分線分線段成比例定理得：,因為|MF?|+|MF?|

=2a,|F?N|+|F?N|=|F?F?|=2c,所以,又因為橢圓的離心率,所以e·

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.【答案】(1)x+2y+1=0(2)2x-y-11=0或2x—y+9=0

【解析】(1)易知直線l的斜率為2,因為l?⊥1,所以直線l?的斜率,…………3分

又因為直線l?過點M(3,—2),所以直線l?的方程為,即x+2y+1=0;……6分

(2)直線lL2//L,設(shè)直線l2的方程為2x—y+m=0,8分

因為直線l2與直線l之間的距離為2√5,

由平行線間的距離公式可得,解得m=9或m=-11,………………12分

因此直線l2的方程為2x—y-11=0或2x—y+9=0.………………13分

16.【答案】(1)3x—4y+20=0(2)x-y+5=0或17x—31y+155=0

【解析】(1)C:(x—3)2+(y-1)2=25的圓心為(3,1),半徑為5,…………………1分

過P(0,5)的直線斜率不存在時，直線為x=0,

此時(3,1)到直線x=0的距離為3<5,故x=0與圓相交，不合題意，………………3分

過P(0,5)的直線斜率存在時，設(shè)為y—5=kx,即kx-y+5=0,

由題意得-5,解得,…………………5分

此時直線l的方程,即3x—4y+20=0,

綜上，直線l的方程為3x—4y+20=0;………………7分

(2)因為l被圓截得的弦長為√2,則圓心到直線l的距離

當(dāng)過點P的直線l斜率不存在時，圓心到直線l的距離為3,不合題意；……………11分

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)為kx-y+5=0,………………13分

【高二數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共5頁)】B

解得，,故直線l的方程為x-y+5=0或17x-31y+155=0.……………15分

17.【答案】(1)詳見解析(2)34

【解析】(1)因為直線l與拋物線C:y2=4x有兩個交點，所以直線l的斜率不為0,…………………1分

所以設(shè)直線l的方程為：x=my+n,聯(lián)立方程組：,得y2—4my—4n=0,………………2分

所以y?y?=—4n,y+y?=4m,4分

又因為y?y2=-16,所以—4n=—16,所以n=4,………………………6分

則直線l的方程為：x=my+4,所以直線l過定點(4,0);……………7分

(2)拋物線C:y2=4x的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1,所以由拋物線定義可知，|AF|=x?+1,|BF|=x?+1,

…………………………9分

所以|AF|+9|BF|=x?+1+9(x?+1)=x?+9x?+10,...........................................................................................10分

因為,所以,且x?,x?>0,....................................................................................12分

所以|AF|+9|BF|=x?+9x?+10≥2√9x?x?+10=24+10=34,...............................................................................14分

當(dāng)且僅當(dāng)x?=9x?時等號成立，所以|AF|+9|BF|的最小值為34....................................................................................15分

(ii)√122—8

【解析】(1)|MF|=√(x-5)2+y2,點M(x,y)到直線l的距離,...............................................2分

由題意可知，,.......................................................................................................................4分

化簡得：,即曲線C的方程為：..........................................................................................................6分

(2)(①點A(6,1)在雙曲線C:的內(nèi)部，直線在雙曲線的外部，…

……………………7分

設(shè)點M到直線的距離為d,因為,所以IMF|,所以|MA|+

………………9分

因為點M在y軸右側(cè)，即點M在雙曲線的右支，過點M向直線l作垂線，垂足為M,

所以d=|MM1|,

由圖可知，當(dāng)點A,M,M?三點共線時，|MA|+d取得最小值，且最小值為點A到直線l的距離，即為：,所

以的最小值………………