微專題5帶電粒子在交變場中的運(yùn)動(dòng)命題規(guī)律1.命題角度：(1)帶電粒子在交變電場中的運(yùn)動(dòng)；(2)帶電粒子在交變電、磁場中的運(yùn)動(dòng).2.常用方法：圖像法.3.常考題型：選擇題、計(jì)算題．考點(diǎn)一帶電粒子在交變電場中的運(yùn)動(dòng)處理帶電粒子在交變電場中運(yùn)動(dòng)的問題時(shí)，先畫出粒子在電場方向的v－t圖像，結(jié)合圖像去分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，在v－t圖像中，圖線與t軸所圍面積表示沿電場方向粒子的位移．帶電粒子在交變電場中運(yùn)動(dòng)常見的v－t圖像如圖所示．例1(多選)(2022·天津市模擬)如圖甲所示，真空中水平放置兩塊長度為2d的平行金屬板P、Q，兩板間距為d，兩板間加上如圖乙所示最大值為U0的周期性變化的電壓，在兩板左側(cè)緊靠P板處有一粒子源A，自t＝0時(shí)刻開始連續(xù)釋放初速度大小為v0、方向平行于金屬板的相同帶電粒子，t＝0時(shí)刻釋放的粒子恰好從Q板右側(cè)邊緣離開電場，已知電場變化周期T＝eq\f(2d,v0)，粒子質(zhì)量為m，不計(jì)粒子重力及相互間的作用力，則()A．在t＝0時(shí)刻進(jìn)入的粒子離開電場時(shí)速度大小仍為v0B．粒子的電荷量為eq\f(mv02,2U0)C．在t＝eq\f(1,8)T時(shí)刻進(jìn)入的粒子離開電場時(shí)電勢能減少了eq\f(1,8)mv02D．在t＝eq\f(1,4)T時(shí)刻進(jìn)入的粒子剛好從P板右側(cè)邊緣離開電場答案AD解析粒子進(jìn)入電場后，在水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，則t＝0時(shí)刻進(jìn)入電場的粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(2d,v0)，此時(shí)間正好是交變電場的一個(gè)周期；粒子在豎直方向先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一個(gè)周期，粒子在豎直方向速度為零，故粒子離開電場時(shí)的速度大小等于水平速度v0，選項(xiàng)A正確．在豎直方向，粒子在eq\f(T,2)時(shí)間內(nèi)的位移為eq\f(d,2)，則eq\f(d,2)＝eq\f(U0q,2dm)(eq\f(d,v0))2，可得q＝eq\f(mv02,U0)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．在t＝eq\f(T,8)時(shí)刻進(jìn)入電場的粒子，離開電場時(shí)在豎直方向上的位移為y＝2×eq\f(1,2)a(eq\f(3,8)T)2－2×eq\f(1,2)a(eq\f(T,8))2＝eq\f(d,2)，故靜電力做功為W＝eq\f(U0q,d)·eq\f(d,2)＝eq\f(1,2)U0q＝eq\f(1,2)mv02，即電勢能減少了eq\f(1,2)mv02，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．在t＝eq\f(T,4)時(shí)刻進(jìn)入的粒子，在豎直方向先向下做加速運(yùn)動(dòng)eq\f(T,4)，然后向下做減速運(yùn)動(dòng)eq\f(T,4)，再向上加速eq\f(T,4)，向上減速eq\f(T,4)，由對稱性可知，此時(shí)豎直方向的位移為零，故粒子從P板右側(cè)邊緣離開電場，選項(xiàng)D正確．考點(diǎn)二帶電粒子在交變電、磁場中的運(yùn)動(dòng)1．此類問題是場在時(shí)間上的組合，電場或磁場往往具有周期性，粒子的運(yùn)動(dòng)也往往具有周期性．這種情況下要仔細(xì)分析帶電粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)過程，弄清楚帶電粒子在每一時(shí)間段內(nèi)在電場、磁場中各處于什么狀態(tài)，做什么運(yùn)動(dòng)，畫出一個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，確定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)過程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行解題．2．解題思路例2(2022·廣東省模擬)圖甲為直角坐標(biāo)系xOy，y軸正向沿豎直向上方向，其所在空間分布著均勻的、大小隨時(shí)間周期性變化的電場和磁場，其變化規(guī)律如圖乙所示，規(guī)定電場強(qiáng)度方向沿y軸正向?yàn)檎较颍鸥袘?yīng)強(qiáng)度方向垂直xOy平面向里為正方向．t＝0時(shí)刻，電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子在坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止釋放，已知電場強(qiáng)度大小E0＝eq\f(2mg,q)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B0＝eq\f(2πm,q)，g取10m/s2.求：(1)t＝1s末粒子速度的大小和方向；(2)粒子第一次進(jìn)入磁場時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期；(3)在0～6s內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)的位置坐標(biāo)．答案(1)10m/s方向豎直向上(2)eq\f(5,π)m1s(3)(－eq\f(15,π)，45＋eq\f(15,π))解析(1)粒子在坐標(biāo)原點(diǎn)O由靜止釋放，設(shè)1s末速度大小為v1，根據(jù)牛頓第二定律可得qE0－mg＝ma，且v1＝at1，代入數(shù)據(jù)解得v1＝10m/s，方向豎直向上；(2)1s末粒子第一次進(jìn)入磁場，由于粒子受重力和靜電力平衡，故粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則qv1B0＝meq\f(v12,r1)，解得r1＝eq\f(5,π)m，周期T＝eq\f(2πr1,v1)＝1s(3)粒子在第2s末回到y(tǒng)軸，以v1＝10m/s的初速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)3s末粒子速度的大小為v2，則從第2s末到第3s末這段時(shí)間內(nèi)，根據(jù)動(dòng)量定理可得(qE0－mg)t2＝mv2－mv1，代入數(shù)據(jù)解得v2＝20m/s，方向豎直向上；3s末粒子第2次進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期不變，4s末再次回到y(tǒng)軸，以v2＝20m/s初速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，5s末的速度為v3＝30m/s，第3次進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，第6s剛好回到y(tǒng)軸，速度方向向上，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，則最上方圓的半徑R＝eq\f(mv3,qB0)＝eq\f(15,π)m，前5s加速時(shí)間t5＝3s，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系可得前5s豎直方向的位移y5＝eq\f(v3,2)×t5＝45m，所以在0～6s內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)的位置坐標(biāo)為x＝－R＝－eq\f(15,π)m，y＝y(tǒng)5＋R＝45＋eq\f(15,π)(m)，即最高點(diǎn)位置坐標(biāo)P(－eq\f(15,π)，45＋eq\f(15,π)).(2022·湖南岳陽市二模)如圖甲所示，在xOy平面的第一象限內(nèi)存在周期性變化的磁場，規(guī)定磁場垂直紙面向里的方向?yàn)檎?，磁感?yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示．質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子，在t＝0時(shí)刻沿x軸正方向從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入磁場．圖乙中T0為未知量，不計(jì)粒子的重力(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)．(1)若粒子射入磁場時(shí)的速度為v0，求0～eq\f(2,5)T0時(shí)間內(nèi)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；(2)若粒子恰好不能從y軸射出磁場，求磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期T0；(3)若使粒子能從坐標(biāo)為(d，eq\r(3)d)的D點(diǎn)平行于x軸射出，求射入磁場時(shí)速度大?。鸢?1)eq\f(mv0,3qB0)(2)eq\f(143πm,216B0q)(3)eq\f(4\r(3)B0qd,5nm)(n＝1,2,3，…)解析(1)根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qv0·3B0＝meq\f(v02,r1)，解得r1＝eq\f(mv0,3qB0)(2)要使粒子恰好不從y軸射出，軌跡如圖所示，在前eq\f(2,5)T0內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為r1＝eq\f(mv0,3qB0)在后eq\f(3,5)T0內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為r2＝eq\f(mv0,2qB0)由幾何關(guān)系知sinθ＝eq\f(r2,r1＋r2)＝0.6解得θ＝37°在0～eq\f(2,5)T0時(shí)間內(nèi)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T＝eq\f(2πm,3qB0)則eq\f(180°－37°,360°)T＝eq\f(2,5)T0解得T0＝eq\f(143πm,216B0q)(3)要想使粒子經(jīng)過D點(diǎn)且平行x軸射出，則粒子只能從nT0時(shí)刻經(jīng)過D點(diǎn)，其中n＝1,2,3，…，則可能的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示設(shè)粒子射入磁場的速度大小為v，由(2)可得r2＝eq\f(3,2)r1由幾何關(guān)系可知n(2r1cos30°＋2r2cos30°)＝2d又qv·3B0＝meq\f(v2,r1)解得v＝eq\f(4\r(3)B0qd,5nm)(n＝1,2,3，…)．專題強(qiáng)化練1．(2022·山東省高三檢測)如圖甲所示，粒子源能源源不斷地產(chǎn)生一種比荷為eq\f(q,m)的帶正電粒子，帶電粒子從粒子源飛出時(shí)的速度可忽略不計(jì)．帶電粒子離開粒子源后進(jìn)入一電壓為U0的加速電場，之后進(jìn)入長為L、兩板間距離為d＝eq\f(\r(3),3)L的平行金屬板，金屬板間有一偏轉(zhuǎn)電場，帶電粒子從兩板正中間射入并恰好從下極板的邊緣射出偏轉(zhuǎn)電場，然后進(jìn)入邊界為MN、PQ的均勻交變磁場中，磁場寬度也為L，邊界PQ為一感應(yīng)擋板，交變磁場的變化規(guī)律如圖乙所示，規(guī)定垂直紙面向里為磁場的正方向．在t＝0時(shí)刻進(jìn)入磁場的帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為交變磁場的一個(gè)周期，并且射出磁場時(shí)垂直打在擋板PQ上．(不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用，電場、磁場的邊界均為理想邊界)求：(1)帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場時(shí)的速度大??；(2)偏轉(zhuǎn)電場的電場強(qiáng)度；(3)交變磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。鸢?1)eq\r(\f(2qU0,m))(2)eq\f(2\r(3)U0,3L)，方向豎直向下(3)eq\f(1,L)eq\r(\f(6mU0,q))解析(1)由動(dòng)能定理有qU0＝eq\f(1,2)mv02可得v0＝eq\r(\f(2qU0,m))(2)設(shè)偏轉(zhuǎn)電場的電場強(qiáng)度大小為E，粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，有a＝eq\f(qE,m)，L＝v0t，eq\f(d,2)＝eq\f(1,2)at2且d＝eq\f(\r(3),3)L聯(lián)立可得E＝eq\f(2\r(3)U0,3L)方向豎直向下(3)設(shè)粒子離開偏轉(zhuǎn)電場時(shí)的速度為v，與水平方向夾角為α，則有tanα＝eq\f(at,v0)＝eq\f(d,L)可得α＝30°，有v＝eq\f(v0,cosα)可得v＝eq\f(2,3)eq\r(\f(6qU0,m))若粒子在t＝0時(shí)刻進(jìn)入磁場，由題意可得粒子進(jìn)入磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合題圖乙，由幾何關(guān)系可得∠OO1C＝60°，∠CO2D＝30°則有eq\f(L－r,r)＝sin30°，可得r＝eq\f(2L,3)由牛頓第二定律有qvB＝eq\f(mv2,r)則可得B＝eq\f(1,L)eq\r(\f(6mU0,q)).2．(2022·黑龍江省哈師大附中高三期末)如圖甲所示，兩個(gè)平行正對的水平金屬板XX′極板長L＝eq\f(\r(3),5)m，板間距離d＝0.2m，在金屬板右端豎直邊界MN的右側(cè)有一區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝5×10－3T、方向垂直紙面向里．現(xiàn)將X′極板接地，X極板上的電勢φ隨時(shí)間變化規(guī)律如圖乙所示．現(xiàn)有帶正電的粒子流以v0＝105m/s的速度沿水平中線OO′連續(xù)射入電場中，粒子的比荷eq\f(q,m)＝108C/kg，其重力可忽略不計(jì)，若粒子打在水平金屬板上則將被吸收．在每個(gè)粒子通過電場的極短時(shí)間內(nèi)，電場可視為勻強(qiáng)電場(設(shè)兩板外無電場)．求：(結(jié)果可以保留根式或π)(1)帶電粒子射出電場時(shí)速度增量的最大值；(2)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間和最短時(shí)間之差；(3)所有進(jìn)入磁場的粒子在MN上射出磁場的區(qū)域長度．答案(1)eq\f(\r(3),3)×105m/s(2)eq\f(2π,15)×10－5s(3)0.2m解析(1)粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩金屬板間電壓為U1時(shí)粒子恰好能夠從金屬板邊緣射出，此時(shí)粒子的加速度大小為a1＝eq\f(qU1,md)①粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t＝eq\f(L,v0)＝2eq\r(3)×10－6s②粒子的側(cè)移量為y＝eq\f(1,2)a1t2＝eq\f(d,2)③聯(lián)立①②③解得U1＝eq\f(100,3)V④所以當(dāng)U>eq\f(100,3)V時(shí)進(jìn)入電場的粒子將被打到金屬板上，在U＝eq\f(100,3)V時(shí)進(jìn)入電場的粒子射出時(shí)具有最大速度，則速度增量的最大值為Δvm＝eq\f(qU1,md)t＝eq\f(\r(3),3)×105m/s⑤(2)當(dāng)粒子從O′點(diǎn)下方射出時(shí)，其速度方向與水平方向的夾角越大，其在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長；當(dāng)粒子從O′點(diǎn)上方射出時(shí)，其速度方向與水平方向的夾角越大，其在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角越小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短．所以從下極板右邊緣射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長，從上極板右邊緣射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，分別如圖中運(yùn)動(dòng)軌跡a、b所示，兩粒子從電場射出時(shí)與水平方向的夾角相同，均設(shè)為θ，根據(jù)速度的合成與分解可得tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(\r(3),3)⑥解得θ＝30°⑦根據(jù)幾何關(guān)系可知沿軌跡a、b運(yùn)動(dòng)的粒子轉(zhuǎn)過的圓心角分別為α1＝360°－2×60°＝240°⑧α2＝2×(90°－30°)＝120°⑨設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為T，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB＝eq\f(mv2,R)，T＝eq\f(2πR,v)⑩聯(lián)立解得T＝eq\f(2πm,Bq)?粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間和最短時(shí)間之差為Δt＝eq\f(α1－α2,360°)T＝eq\f(2πm,3Bq)＝eq\f(2π,15)×10－5s?(3)設(shè)某一粒子從電場射出時(shí)速度方向與水平方向夾角為β，根據(jù)速度的合成與分解可得此時(shí)粒子的速度大小為v＝eq\f(v0,cosβ)?設(shè)此時(shí)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑為R′，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,R′)?粒子進(jìn)入磁場與射出磁場的點(diǎn)間距為x＝2R′cosβ?聯(lián)立???解得x＝eq\f(2mv0,Bq)＝0.4m?由此可推知沿軌跡a運(yùn)動(dòng)的粒子射出磁場的位置最低，沿軌跡b運(yùn)動(dòng)的粒子射出磁場的位置最高，因此所有進(jìn)入磁場的粒子在MN上射出磁場的區(qū)域長度為l＝0.2m.3．(2022·天津市市區(qū)重點(diǎn)中學(xué)一模)如圖甲所示，邊界為L1、L2，寬度為d的豎直狹長區(qū)域內(nèi)，存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場和豎直方向的電場(圖中未畫出)．電場的電場強(qiáng)度做周期性變化的規(guī)律如圖乙所示，E>0表示電場方向豎直向上．t＝0時(shí)，一帶正電、質(zhì)量為m的微粒從左邊界L1上的N1點(diǎn)以水平速度v射入該區(qū)域，沿直線運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)后，做一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)，再沿直線運(yùn)動(dòng)到右邊界L2上的N2點(diǎn)．Q為線段N1N2的中點(diǎn)，重力加速度為g，上述d、m、v、g和圖像中的E0均為已知量．(1)求微粒所帶電荷量q和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；(2)求電場變化的周期T；(3)改變寬度d，使微粒仍能按上述運(yùn)動(dòng)過程通過相應(yīng)寬度的區(qū)域，求T的最小值．答案(1)eq\f(mg,E0)eq\f(2E0,v)(2)eq\f(d,2v)＋eq\f(πv,g)(3)eq\f(2π＋1v,2g)解析(1)根據(jù)題意，微粒做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，重力與靜電力平衡，則mg＝qE0開始時(shí)微粒水平向右做直線運(yùn)動(dòng)，則豎直方向所受合力為0，則mg＋qE0＝qvB聯(lián)立得q＝eq\f(mg,E0)B＝eq\f(2E0,v)(2)設(shè)微粒從N1運(yùn)動(dòng)到Q的時(shí)間為t1，做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為t2，則eq\f(d,2)＝vt1qvB＝meq\f(v2,R)2πR＝vt2聯(lián)立解得t1＝eq\f(d,2v)t2＝eq\f(πv,g)電場變化的周期T＝t1＋t2＝eq\f(d,2v)＋eq\f(πv,g)(3)若微粒能完成題述的運(yùn)動(dòng)過程，則要求d≥2R由(1)(2)中的式子聯(lián)立解得R＝eq\f(v2,2g)所以當(dāng)d＝2R時(shí)，微粒在N1Q段直線運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，設(shè)N1Q段直線運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為t1min，得t1min＝eq\f(v,2g)，因t2不變，T的最小值Tmin＝t1min＋t2＝eq\f(2π＋1v,2g).4．如圖甲所示的xOy平面內(nèi)存在大小隨時(shí)間周期性變化的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場，變化規(guī)律分別如圖乙、丙所示(規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向，沿y軸負(fù)方向?yàn)殡妶鰪?qiáng)度的正方向)．在t＝0時(shí)刻由原點(diǎn)O發(fā)射一個(gè)初速度大小為v0、方向沿y軸正方向的帶正電粒子，粒子的比荷eq\f(q,m)＝eq\f(π,B0t0)，v0、B0、E0、t0均為已知量，不計(jì)粒子受到的重力．(1)求在0～t0內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑；(2)求t＝2t0時(shí)，粒子的位置坐標(biāo)；(3)若粒子在t＝25t0時(shí)首次回到坐標(biāo)原點(diǎn)，求電場強(qiáng)度E0與磁感