1/12019-2021北京重點校高一（下）期中數(shù)學(xué)匯編平面向量的數(shù)量積章節(jié)綜合一、單選題1．（2019·北京師大附中高一期中）已知向量，則（）A．0 B．－1 C．2或－2 D．2．（2020·北京八十中高一期中）一質(zhì)點受到平面上的三個力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài).已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為（）A．6 B．2 C．8 D．3．（2021·北京四中高一期中）已知向量，向量，則向量與向量的夾角為（）A． B． C． D．4．（2021·北京八中高一期中）若向量，，則與的夾角等于（）A． B． C． D．5．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）已知單位向量滿足，若向量，則（）A． B． C． D．6．（2019·北京·101中學(xué)高一期中）在中，已知，且，則的值是A．2 B． C． D．7．（2019·北京師大附中高一期中）已知均為單位向量，它們的夾角為，那么等于（）A．1 B． C． D．28．（2020·北京八十中高一期中）已知向量，.若向量與垂直，則（）A．6 B．3 C．7 D．﹣149．（2020·北京八十中高一期中），是兩個單位向量，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．10．（2019·北京師大附中高一期中）設(shè)，向量，若，則等于A． B． C．－4 D．4二、填空題11．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知點A(0,-1),B(3,0),C(1,2),平面區(qū)域P是由所有滿足的點M組成的區(qū)域,若區(qū)域P的面積為16，則的最小值為__________.12．（2021·北京·北師大實驗中學(xué)高一期中）已知點，向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后等于，求點的坐標(biāo)為_____.13．（2021·北京·北大附中高一期中）在中，，是的中點，若，在線段上運動，則的最小值為____________．14．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知向量，，的夾角為，則__________.15．（2021·北京·北大附中高一期中）菱形ABCD中，A=60°，E為BC中點，記，，若，則=_______．16．（2021·北京四中高一期中）已知，，若，則實數(shù)的值為_______.17．（2020·北京八十中高一期中）在平行四邊形ABCD中,AD=1,,E為CD的中點.若,則AB的長為_____.18．（2020·北京八十中高一期中）已知點在以原點為圓心的單位圓上，點的坐標(biāo)為，則的最大值為________．19．（2020·北京八十中高一期中）設(shè)向量，滿足，，與的夾角為，則________．三、解答題20．（2021·北京·北大附中高一期中）已知三角形ABC，A(3，4)，B（0，0），C(16，0)（1）寫出一個與垂直的非零向量；(坐標(biāo)形式)（2）求；（3）求向量在向量上投影的數(shù)量；（4）若，求k的值；（5）求．21．（2021·北京·北師大實驗中學(xué)高一期中）定義向量的“伴隨函數(shù)”為；函數(shù)的“伴隨向量”為.（1）寫出的“伴隨函數(shù)”，并直接寫出的最大值；（2）寫出函數(shù)的“伴隨向量”為，并求；（3）已知，的“伴隨函數(shù)”為，的“伴隨函數(shù)”為，設(shè)，且的伴隨函數(shù)為，其最大值為，①若，，求的值；②求證：向量的充要條件是.22．（2021·北京四中高一期中）已知向量，，其中.（1）求及的值；（2）若函數(shù)，求的最大值.23．（2021·北京·101中學(xué)高一期中）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A、B、C三點滿足．求證：A、B、C三點共線；已知、，，的最小值為5，求實數(shù)m的值．24．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知向量，，．（1）若，求的值；（2）當(dāng)時，與共線，求的值；（3）若，且與的夾角為，求.25．（2021·北京市第五中學(xué)高一期中）已知平面向量，且（1）求的最小值；（2）若，求與的夾角．

參考答案1．A【分析】先求出，從而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，故選A.【點睛】本題主要考查向量的模及平面向量數(shù)量積公式，屬于中檔題.平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是.2．D【分析】根據(jù)向量的合成法則以及向量的模長公式，進行計算即可.【詳解】根據(jù)題意，得，的大小為.故選：D.【點睛】本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，平面向量的合成法則與向量的模長公式，考查了理解辨析能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．A【分析】利用向量的夾角公式求出向量與向量的夾角.【詳解】設(shè)向量，向量的夾角為，則，因為所以.故選：A.4．C【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)表示的運算法則，結(jié)合向量數(shù)量積公式，求得兩向量夾角.【詳解】∵，；∴；∴故選：C.5．B【解析】本題借助將代入化簡即可.【詳解】因為是單位向量，所以.因為，所以.所以所以.故選：B.6．C【解析】在中，根據(jù)正弦定理，可以把轉(zhuǎn)化為邊之間比的關(guān)系，可以進一步判斷三角形的形狀，利用和三角形的形狀，可以求出三角形的三條邊，最后利用平面向量的數(shù)量積公式求出的值.【詳解】在中，設(shè)內(nèi)角所對邊為，根據(jù)正弦定理，可知,已知，所以，顯然是等腰直角三角形，即，，因此有，所以，故本題選C.【點睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式、三角形形狀的識別，以及平面向量的數(shù)量積運算，平面向量的夾角是解題的關(guān)鍵也是易錯點.7．A【分析】先求得，再求出的值，然后開平方即可得結(jié)果.【詳解】因為均為單位向量，且它們的夾角為，所以，，，故選A.【點睛】本題主要考查向量的模以及平面向量數(shù)量積的運算法則，屬于中檔題.向量數(shù)量積的運算主要掌握兩點：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.8．C【分析】由題意利用兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量垂直的性質(zhì)，求得實數(shù)的值．【詳解】解：已知向量，，若向量與垂直，則，求得，故選：C．【點睛】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9．D【解析】A．分析方向；B．分析夾角；C．根據(jù)數(shù)量積計算結(jié)果進行判斷；D．根據(jù)模長運算進行判斷.【詳解】A．可能方向不同，故錯誤；B．，兩向量夾角未知，故錯誤；C．，所以，故錯誤；D．由C知，故正確，故選：D.【點睛】本題考查向量的模長和數(shù)量積運算以及向量相等的概念，主要考查學(xué)生對向量的綜合理解，難度較易.10．D【解析】直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因為，且，所以，化為，解得，故選D.【點睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是命題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.11．【分析】設(shè)作出平面區(qū)域,根據(jù)面積得出關(guān)于的等式,利用基本不等式得出最值.【詳解】設(shè)，,令,以為鄰邊作平行四邊形,令,以為鄰邊作平行四邊形,,符合條件的點組成的區(qū)域是平行四邊形如圖所示.,即,,解得故答案為:.【點睛】本題考查了平面向量的幾何意義,基本不等式,根據(jù)區(qū)域面積得出的關(guān)系是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.12．【分析】由旋轉(zhuǎn)特點可知兩向量模長相等且互相垂直，由此可構(gòu)造方程組求得，根據(jù)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，又，由題意得：，即，解得或(舍去)所以.故答案為：13．【解析】先判斷是等腰直角三角形，，以所在的直線為軸，以的中點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，設(shè)且，求出和的坐標(biāo)，計算再求最值即可.【詳解】在中，，，所以，，是等腰直角三角形，，如圖以所在的直線為軸，以的中點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)則，所以，所以時，取得最小值為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是判斷是等腰直角三角形，易于建坐標(biāo)系，設(shè)出動點坐標(biāo)且，求出定點坐標(biāo)，即可用坐標(biāo)表示數(shù)量積，再計算最值.14．2【詳解】∵，的夾角為∴∴故答案為2.15．【分析】建立坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可【詳解】由題意，可以菱形的對角線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意不妨令，則，則有，，，，，由，可得：，解得，故答案為：16．【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，計算求得的值．【詳解】，，若，則，求得實數(shù)，故答案為：．17．【詳解】設(shè)AB的長為，因為，，所以==+1+=1，解得，所以AB的長為.【考點定位】本小題主要考查平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，熟練平面向量的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.18．【分析】設(shè)，易得，，，注意到，轉(zhuǎn)化為在上的最大值即可.【詳解】設(shè)，則，由已知，，，所以，又，所以，當(dāng)時，等號成立.故答案為：【點睛】本題考查利用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積的最值，涉及到圓的概念，考查學(xué)生的運算能力，是一道容易題.19．7【分析】先計算出，再代入中即可得到答案.【詳解】由已知，，所以.故答案為：7【點睛】本題考查利用定義計算向量的數(shù)量積，涉及到數(shù)量積的運算律，是一道容易題.20．（1）；（答案不唯一）（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）求出，設(shè)與垂直的非零向量為，從而可出的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式即可寫出答案；（2）求出，，根據(jù)即可得出答案；（3）根據(jù)向量在向量上投影的數(shù)量為計算即可得解；（4）利用向量坐標(biāo)的線性運算求得，再根據(jù)列出方程，即可得解；（5）求出，根據(jù)公式即可得解.【詳解】解：（1）因為A(3，4)，B（0，0），所以，設(shè)與垂直的非零向量為，則，可取，所以與垂直的非零向量為；（答案不唯一）（2）因為A(3，4)，B（0，0），C(16，0)，則，，所以；（3）向量在向量上投影的數(shù)量為；（4），，因為，所以，解得；（5），所以21．（1）；最大值為；（2）,；（3）①；②證明見解析.【分析】（1）根據(jù)伴隨函數(shù)的定義寫出函數(shù)結(jié)合輔助角公式化簡整理，即可求出最值；（2）結(jié)合兩角和的余弦公式可化簡得，進而表示出向量，即可求出模長；（3）①結(jié)合平面向量的線性坐標(biāo)運算和輔助角公式即可求出結(jié)果；②由兩角和的正弦公式，可推出，充分性：找出時，滿足的條件，可得證；必要性：當(dāng)時，,帶入的解析式中，即可知.【詳解】（1）,因為，所以最大值為.（2）所以所以（3）設(shè)，①設(shè)，根據(jù)定義得出，其中，由知.②充分性：，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在使得，其中，所以，，即得.必要性：當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值.22．（1），；（2）0.【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算及兩角差的余弦求；由向量的坐標(biāo)加法運算得的坐標(biāo)，再由向量模的運算公式求的值；（2）把（1）中求得的結(jié)論代入，整理后利用換元法及配方法求的最大值．【詳解】（1），，，，；又，，，，，；（2），令，則，，則，則當(dāng)時，．23．(1)見解析(2)m的值為-3或【詳解】試題分析:（1）因為,且,化簡可得,即∥，又與有公共點A，則命題成立;（2）根據(jù)和=-求出,的坐標(biāo),代入解析式f（x）,化簡可得關(guān)于sinx的二次函數(shù),討論對稱軸與區(qū)間[0，1]的中點為的關(guān)系,根據(jù)單調(diào)性分別得出最小值,列出等式求得m的值.試題解析:（1）因為，所以∥，又與有公共點A，所以A，B，C三點共線．（2）因為=（1，cosx），=（1+sinx，cosx），所以=+=（1+sinx，cosx），=-=（sinx，0），故·=1+sinx+cos2x，||==sinx，從而f（x）=·+（2m+）||+m2=1+sinx+cos2x+（2m+）sinx+m2=cos2x+（2m+1）sinx+1+m2=-sin2x+（2m+1）sinx+2+m2，關(guān)于sinx的二次函數(shù)的對稱軸為sinx=，因為x[0，]，所以sinx[0，1]，又區(qū)間[0，1]的中點為．①當(dāng)≤，即m≤0時，當(dāng)sinx=1時，f（x）min=m2+2m+2，由f（x）min=5得m=-3或m=1，又m≤0，所以m=-3；②當(dāng)>，即m>0時，當(dāng)sinx=0時，f（x）min=2+m2，由f（x）min=5得m=，又m>0，所以m=．綜上所述：m的值為-3或．點睛:平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用.利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù).24