第第頁浙江省杭州市主城區(qū)八校2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期中聯(lián)考試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．下列圖形中，為軸對稱的圖形的是（）A． B．C． D．2．已知三角形的三邊長分別為4，5，x，則x不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．93．在△ABC中，畫出邊AC上的高，畫法正確的是（）A． B．C． D．4．對于命題“如果∠1＝∠2＝90°，那么∠1與∠2互補”，能說明這個命題的逆命題是假命題的反例是（）A．∠1＝80°，∠2＝110° B．∠1＝10°，∠2＝169°C．∠1＝60°，∠2＝120° D．∠1＝60°，∠2＝140°5．在△ABC中，線段AP，AQ，AR分別是BC邊上的高線，中線和角平分線，則（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ6．根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝7 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4 D．∠A＝∠B，AB＝67．如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE＝5，AE＝8，EC=7，則BC的長度是（）A．29 B．8 C．43 D．718．如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，現(xiàn)將△ABC沿BD進行翻折，使點A剛好落在BC上，則CD的長為（）A．52 B．25 C．2 9．如圖，AB＝AD，點B關(guān)于AC的對稱點E恰好落在CD上，若∠BAD＝α（0°＜α＜180°），則∠ACB的度數(shù)為（）A．90°－12α B．12α C．45°10．如圖，BD是△ABC的角平分線，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分別是BD和BC上的任意一點；連接PA，PC，PQ，AQ，給出下列結(jié)論：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE＝BC；③PC+PQ的最小值是245；④若PA平分∠BAC，則△APDA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．命題“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命題是，逆命題是命題.(填“真”或“假”）.12．如圖，∠ACD是△ABC的一個外角，若∠ACD＝110°，∠B＝45°，則∠A＝．13．若等腰三角形一個內(nèi)角的度數(shù)為50°，則它的頂角的度數(shù)是.14．如圖，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝7cm，BD＝4cm，則點D到AB的距離為cm.15．如圖，CD是△ABC的角平分線，AE⊥CD于E，BC＝6，AC＝4，△ABC的面積是9，則△AEC的面積是.16．如圖，已知等邊△ABC的邊長為4，點P是邊BC上一點，BP＝1，則AP＝，若點Q是邊AC上一點，BQ＝AP，則AQ＝．三、解答題（共8小題，66分，解答應(yīng)寫出文字說明或推理步驟）17．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小方格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：（1）在圖1中畫一個直角三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；（2）在圖2中畫一個直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)；（3）在圖3中畫一個等腰三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)（和圖2畫的三角形不全等）.18．如圖，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．（1）尺規(guī)作圖：作AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點E．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連結(jié)AD，求∠DAC的度數(shù)．19．如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當∠AEB＝80°，求∠EBC的度數(shù)．20．如圖，CD＝BE，DG⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為G，F(xiàn)，且DG＝EF.（1）求證：OB＝OC；（2）若∠B＝30°，判斷△ADO的形狀，并說明理由.21．如圖所示，在△ABC中，AB＝BC，點D是BC上一點，DE⊥AB于點E，DF⊥BC，交AC于點F，連接BF．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度數(shù)；（2）若點F是AC的中點，判斷∠ABC與∠CFD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．22．已知，DA，DB，DC是從點D出發(fā)的三條線段，且DA＝DB＝DC．（1）如圖①，若點D在線段AB上，連接AC，BC，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．（2）如圖②，連接AC，BC，AB，且AB與CD相交于點E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE的長．23．如圖，在銳角△ABC中，點E是AB邊上一點，BE＝CE，AD⊥BC于點D，AD與EC交于點G.（1）求證：△AEG是等腰三角形.（2）若BE＝10，CD＝3，G為CE中點，求AG的長.24．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點D為AC邊上的動點，點D從點C出發(fā)，沿邊CA往A運動，當運動到點A時停止，若設(shè)點D運動的時間為t秒，點D運動的速度為每秒1個單位長度．（1）當t＝2時，分別求CD和AD的長；（2）當t為何值時，△CBD是直角三角形？（3）若△CBD是等腰三角形，請求出t的值．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、是軸對稱圖形，故此選項不符合題意.

故答案為：D.

【分析】把一個平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對稱圖形，據(jù)此一一判斷得出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，則x的不可能的值是9，故選D．【分析】已知兩邊時，第三邊的范圍是大于兩邊的差，小于兩邊的和．這樣就可以確定x的范圍，也就可以求出x的不可能取得的值．3．【答案】C【解析】【解答】解：根據(jù)三角形高線的定義，AC邊上的高是過點B向AC作垂線垂足為E，縱觀各圖形，ABD都不符合高線的定義，C符合高線的定義．故選C．【分析】根據(jù)高的定義對各個圖形觀察后解答即可．4．【答案】C【解析】【解答】解：∵原命題的逆命題為：如果∠1與∠2互補，那么∠1＝∠2＝90°，

∴能說明這個命題為假命題的反例可以為：∠1＝60°，∠2＝120°.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)逆命題的定義：和原命題的題設(shè)和結(jié)論相反的命題為逆命題，據(jù)此寫出逆命題；說明一個命題是假命題的反例，只滿足命題的題設(shè)，不滿足命題的結(jié)論，據(jù)此判斷得出答案.5．【答案】A【解析】【解答】解：∵線段AP為BC邊上的高線，

∴由垂線段最短得：AP≤AQ，AP≤AR，故答案為：A.【分析】根據(jù)垂線段最短，據(jù)此即可求解.6．【答案】C【解析】【解答】解：A、3+4＜7，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，不能畫出三角形，故本選項不符合題意；B、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的三角形，故本選項不符合題意；C、∠A＝60°，∠B＝45°，AC＝4，符合全等三角形的判定定理AAS，能畫出唯一的三角形，故本選項符合題意；D、∠A＝∠B，AB＝6，不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的三角形，故本選項不符合題意；故答案為：C.【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可判斷A；根據(jù)全等三角形的判定定理可判斷B、C、D.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵D為AB的中點，BE⊥AC，DE=5，

∴AB=2DE=10，在Rt△ABE中，BE=AB2-AE2=6，【分析】根據(jù)三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AB=2DE，進而根據(jù)勾股定理即可求出線段BE的長，最后再根據(jù)勾股定理即可求出BC的長.8．【答案】A【解析】【解答】解：∵∠A=90°，AB=3，AC=4，

∴在Rt△ABC中，BC=AC2+AB2=5，

由折疊得：AB=A'B=3，∠A=∠BA'D=90°，AD=A'D，

∴A'C=BC-A'B=2，

設(shè)：CD=x，則AD=A'D=AC-CD=4-x，

在Rt△A'CD中，CD2故答案為：A.【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到：AB=A'B=3，∠A=∠BA'D=90°，AD=A'D，最后根據(jù)勾股定理即可求出CD的長.9．【答案】A【解析】【解答】解：過A作AF⊥CD于F，如圖：由對稱得：∠BAC=∠EAC，AB=AD=AE，∠ACE=∠ACB，

∴∠DAF=∠EAF，

∴∠CAF=12∠BAD，

∵∠AFE=90°，

∴在Rt△ACF中，∠ACE=90°-12【分析】過A作AF⊥CD于F，由對稱性質(zhì)得∠BAC=∠EAC，AB=AD=AE，∠ACE=∠ACB，再由等腰三角形的性質(zhì)得∠DAF=∠EAF，進而得到：∠CAF=12∠BAD，10．【答案】B【解析】【解答】解：∵BA=BC=10，BD是△ABC的角平分線，

∴BD⊥AC，AD=CD，

∴BD垂直平分AC，

∴AP=PC，

∴PC+PQ=AP+PQ，

∵AP+PQ>AQ，

∴PC+PQ≥AQ，則①正確；

∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，∠ADE=∠ACB，

∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠EBD=∠DBC，

∴∠EDB=∠EBD，

∴EB=ED，

∵AB=AC，

∴∠BAC=∠ACB，

∵∠ADE=∠ACB，

∴∠ADE=∠BAC，

∴EA=ED，

∴AE=DE=BE=12AB=12BC，

∴AE+DE=BC，則②正確；

∵PC+PQ=AP+PQ，

∴當AP+PQ最小時，PC+PQ最小，

過點A作AM⊥BC于M，如圖：

當點P在AM和BD的交點上時，此時AP+PQ=AM，此時AP+PQ最小，且最小值為AM，

∵BD平分∠ABC，

∴BD⊥AC，

∴BD=AB2-AD2=8，

∵S△ABC=12AC·AB=12BC·AM，

∴AM=AC·BDBC=485，則③錯誤；

過點P作PN⊥AB于點N，如圖：故答案為：B.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BD垂直平分AC，進而得到AP=PC，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理即可判斷①；根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可判斷②；過點A作AM⊥BC于M，當點P在AM和BD的交點上時，此時AP+PQ最小，最后根據(jù)等面積法即可判斷③；過點P作PN⊥AB于點N，得到PN=PD，根據(jù)S△APDS11．【答案】如果a2＝b2，那么a＝b；假【解析】【解答】解：命題“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命題是：如果a2＝b2，那么a＝b，

該逆命題為假命題，故答案為：如果a2＝b2，那么a＝b，假.【分析】根據(jù)逆命題的定義：把原命題的題設(shè)和結(jié)論互換位置的命題為逆命題，據(jù)此即可寫出原命題的逆命題，在判斷其是真命題還是假命題即可.12．【答案】65°【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一個外角，

∴∠ACD=∠A+∠B，

∴∠A=∠ACD-∠B=65°，故答案為：65°.【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和得∠ACD=∠A+∠B，據(jù)此即可求出∠A的度數(shù).13．【答案】50°或80°【解析】【解答】解：如圖所示，△ABC中，AB＝AC.有兩種情況：①頂角∠A＝50°；②當?shù)捉鞘?0°時，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴這個等腰三角形的頂角為50°或80°.故答案為：50°或80°.【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理可得頂角的度數(shù)可以為50°；當?shù)捉菫?0°時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得頂角的度數(shù).14．【答案】3【解析】【解答】解：如圖，過點D作DH⊥AB于H，

∵BC＝7cm，BD＝4cm，

∴CD＝7-4＝3cm，

又∵AD是∠BAC的角平分線，∠C＝90°，DH⊥AB，

∴DH＝CD＝3cm，

∴點D到AB的距離為3cm.

故答案為：3．

【分析】過點D作DH⊥AB于H，由已知條件求出CD的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DH＝CD，即可求解.15．【答案】3【解析】【解答】解：如圖，延長AE交BC于點F，

∵CD是△ABC的平分線，

∴∠ACE=∠ECF，

∵AE⊥CD，

∴∠AEC=∠CEF=90°，

∵CE=CE，

∴△ACE≌△FCE（ASA），

∴FC=AC=4，

∴FC：BC=4：6=2：3，

∴S△AFC=23S△ABC=6，

∴S△AEC=12S△AFC=3.

故答案為：3.

【分析】延長AE交BC于點F，利用角邊角定理證明△ACE≌△FCE，根據(jù)全等的性質(zhì)求出FC的長，進而求出FC和BC的比值，根據(jù)三角形面積的關(guān)系求出△AFC的面積，則△AEC的面積16．【答案】13；3或1【解析】【解答】解：過A作AD⊥BC于D，如圖：∵△ABC為等邊三角形，

∴BD=CD=12BC=2，∠BAD=30°，

∴AD=32AB=23，

∵BP=1，

∴PD=BD-BP=1，

在Rt△APD中，AP=AD2+PD2=13，

過B作BH⊥AC于H，

①當點Q在線段CH之間時，連接BQ，如圖：

∴AH=12AC=2，

∴BH=AD=23，

【分析】過A作AD⊥BC于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BD=CD=12BC，∠BAD=30°，進而根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可求出AD的長，進而根據(jù)勾股定理算出AP的長；過B作BH⊥AC于H，由題意知需分兩種情況，①17．【答案】（1）解：如圖1所示，Rt△ABC即為所求；（2）解：如圖所示，Rt△DEF即為所求；（3）解：如圖所示，OPQ即為所求.【解析】【分析】（1）取AB=4，BC=3，AC=5，畫出△ABC即可；

（2）取EF=2，DE=32，DF=25，畫出△DEF即可；

（3）取PO=OQ=5，PQ=18．【答案】（1）解：如圖，直線DE即為所求；（2）解：∵DE垂直平分線段AB，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝30°，∵∠BAC＝180°-∠B-∠C＝180°-30°-40°＝110°，∴∠DAC＝110°-30°＝80°．【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖法則，作圖即可；

（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠DAB=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠BAC的度數(shù)，最后根據(jù)角的運算即可求出∠DAC的度數(shù).19．【答案】（1）證明：在△ABE和△DCE中，∠A=∠D∠AEB=∠DEC∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝80°，∴∠EBC＝40°．【解析】【分析】（1）結(jié)合對頂角相等，利用"AAS"即可證明△ABE≌△DCE；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EBC＝∠ECB，最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求出∠EBC的度數(shù).20．【答案】（1）證明：∵DG⊥BC，EF⊥BC，∴∠DGC＝∠EFB＝90°，在Rt△EFB和Rt△DGC中，CD=BEDG=EF∴Rt△EFB≌Rt△DGC（HL），∴∠B＝∠C，∴OB＝OC；（2）解：△ADO是等邊三角形，理由如下：∵∠B＝30°＝∠C，DG⊥BC，∴∠D＝60°＝∠BAG，∴∠D＝∠DAO＝60°，∴△ADO是等邊三角形.【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠DGC＝∠EFB＝90°，證明Rt△EFB≌Rt△DGC，得到∠B＝∠C，據(jù)此證明；

（2）由（1）可得∠B＝30°＝∠C，則∠D＝60°＝∠BAG，進而推出∠D＝∠DAO＝60°，據(jù)此證明.21．【答案】（1）解：∵∠AFD＝155°，∴∠DFC＝25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC＝∠AED＝90°，在Rt△FDC中，∴∠C＝90°-25°＝65°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A＝65°，∴∠ABC＝180°-2×65°＝50°，∵∠ABC+∠BDE＝∠EDF+∠BDE＝90°，∴∠EDF＝∠ABC＝50°；（2）解：∠CFD＝12∵AB＝BC，且點F是AC的中點，∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝12∴∠CFD+∠BFD＝90°，∠CBF+∠BFD＝90°，∴∠CFD＝∠CBF.

∴∠CBF＝12【解析】【分析】（1）根據(jù)鄰補角得∠DFC=25°，由直角三角形兩銳角互余得到∠C的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠A，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角的運算求出∠ABC，最后根據(jù)同角的余角相等即可求出∠EDF的度數(shù)；

（2）根據(jù)三角形"三線合一"得到BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝1222．【答案】（1）解：△ABC是直角三角形，理由：∵DA＝DB＝DC，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝180°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）解：∵DA＝DB，∴點D在線段AB的垂直平分線上，∵AC＝BC，∴點C在線段AB的垂直平分線上，∴CD垂直平分AB，∴∠AEC＝∠AED＝90°，∵AB＝16，DC＝10，∴AE＝8，AD＝CD＝10，∴DE＝AD∴CE＝CD-DE＝4．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠ACD+∠BCD＝90°，進而可得到∠ACB＝90°，即可證明△ABC是直角三角形；

（2）首先根據(jù)到一條線段來那個端點距離相等得點在這條線段的垂直平分線上及經(jīng)過兩點有且只有一條直線確定出CD垂直平分AB，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠AEC＝∠AED＝90°，AE=8，根據(jù)勾股定理求出DE的長，最后根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系即可求出CE的長.23．【答案】（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠B+∠BAD＝90°，∠DCG+∠DGC＝90°，∵EB＝EC，∴∠B＝∠DCG，∴∠BAD＝∠DGC，∵∠AGE＝∠DGC，∴∠BAD＝∠AGE，∴EA＝EG，∴△AEG是等腰三角形；（2）解：過點E作EF⊥AG，垂足為F，∴∠EFG＝90°，∵EA＝EG，EF⊥AG，∴AG＝2FG，∵G為CE中點，∴EG＝GC＝12∵EB＝EC＝10，∴GC