2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)分析與處理能力終極強(qiáng)化試題（一）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分）某外賣平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了一周內(nèi)騎手的配送時(shí)長(zhǎng)數(shù)據(jù)，經(jīng)整理得到頻率分布直方圖，其中[15,25)分鐘組的頻率為0.3，[25,35)分鐘組的頻率為0.4，若用分層抽樣方法從所有數(shù)據(jù)中抽取容量為20的樣本，則[25,35)分鐘組應(yīng)抽取的樣本數(shù)為（）A.6B.8C.10D.12某醫(yī)療機(jī)構(gòu)使用貝葉斯定理分析新冠病毒檢測(cè)結(jié)果，已知人群感染率為0.001，檢測(cè)準(zhǔn)確率為0.99（即感染患者檢測(cè)陽(yáng)性概率為0.99，健康人檢測(cè)陰性概率為0.99）。若某人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，其實(shí)際感染的概率約為（）A.0.09B.0.15C.0.32D.0.47某電商平臺(tái)根據(jù)歷史銷售數(shù)據(jù)建立商品價(jià)格x（元）與日銷量y（件）的線性回歸模型，得到回歸方程為?=-1.5x+280。下列說法正確的是（）A.價(jià)格每提高1元，銷量平均增加1.5件B.當(dāng)價(jià)格為100元時(shí)，銷量預(yù)測(cè)值為130件C.銷量與價(jià)格的相關(guān)系數(shù)r=1.5D.該回歸模型的決定系數(shù)R2一定大于0.9在輿情分析中，某事件的網(wǎng)絡(luò)討論熱度指數(shù)x與時(shí)間t（天）的關(guān)系滿足x=120+30t-2t2，若計(jì)算該函數(shù)在t=5處的瞬時(shí)變化率，其經(jīng)濟(jì)意義是（）A.第5天的熱度指數(shù)值B.前5天的平均熱度變化率C.第5天到第6天的熱度增加值D.第5天熱度指數(shù)的瞬時(shí)增長(zhǎng)速度某城市交通部門收集早高峰時(shí)段100輛汽車的行駛速度數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到樣本均值為52km/h，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為8km/h。若用正態(tài)分布近似該數(shù)據(jù)分布，則行駛速度在[44,68]區(qū)間內(nèi)的汽車數(shù)量約為（）A.68B.81.5C.95D.99.7某數(shù)學(xué)建模小組對(duì)校園共享單車使用情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：|使用時(shí)長(zhǎng)（分鐘）|0-15|15-30|30-45|45-60|60以上||------------------|------|-------|-------|-------|--------||人數(shù)|24|36|20|12|8|若用卡方檢驗(yàn)判斷“使用時(shí)長(zhǎng)是否與性別獨(dú)立”，則自由度為（）A.4B.5C.8D.9某股票分析師建立股價(jià)預(yù)測(cè)模型，收集連續(xù)100個(gè)交易日的收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間序列分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)存在自相關(guān)性。為消除該影響，可采用的方法是（）A.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換B.計(jì)算移動(dòng)平均序列C.進(jìn)行t檢驗(yàn)D.增加樣本容量在空間向量應(yīng)用中，某快遞公司用三維坐標(biāo)系優(yōu)化倉(cāng)庫(kù)存儲(chǔ)，貨物A位于點(diǎn)(2,3,5)，貨物B位于點(diǎn)(4,1,7)，則兩點(diǎn)間的直線距離與沿x軸、y軸、z軸方向的曼哈頓距離之和的比值為（）A.√17/10B.√14/9C.√13/8D.√10/7某環(huán)保部門監(jiān)測(cè)PM2.5濃度與氣象因素的關(guān)系，建立多元線性回歸模型y=β?+β?x?+β?x?+ε，其中x?為溫度(℃)，x?為濕度(%)。經(jīng)計(jì)算得到β?=-0.8，β?=-0.3，下列說法正確的是（）A.溫度每升高1℃，PM2.5濃度減少0.8μg/m3B.濕度對(duì)PM2.5濃度的影響比溫度更顯著C.該模型可解釋PM2.5濃度變化的80%D.應(yīng)通過F檢驗(yàn)判斷模型整體顯著性某科研團(tuán)隊(duì)采用隨機(jī)對(duì)照試驗(yàn)驗(yàn)證新藥療效，試驗(yàn)組50人中有35人有效，對(duì)照組40人中有20人有效。若用列聯(lián)表分析療效與用藥的關(guān)聯(lián)性，計(jì)算得到的卡方統(tǒng)計(jì)量約為（）A.4.52B.5.83C.6.27D.7.14二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）某超市采用系統(tǒng)抽樣方法從3000名會(huì)員中抽取50人進(jìn)行消費(fèi)習(xí)慣調(diào)查，分段間隔為______，若第1段隨機(jī)編號(hào)為12，則第7段應(yīng)抽取的編號(hào)為______。已知一組數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：2|3573|024684|135795|24則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為______，極差為______。某城市居民人均可支配收入y（萬(wàn)元）與年份x的線性回歸方程為?=0.2x-395.6，若該回歸模型通過顯著性檢驗(yàn)，則2025年的預(yù)測(cè)值為______萬(wàn)元，若實(shí)際值為5.8萬(wàn)元，則殘差為______萬(wàn)元。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，學(xué)生用蒙特卡洛方法估計(jì)圓周率π，向邊長(zhǎng)為2的正方形區(qū)域隨機(jī)投點(diǎn)10000次，其中落在內(nèi)切圓內(nèi)的點(diǎn)有7850個(gè)，則π的估計(jì)值為______，該估計(jì)方法的誤差主要來源于______。某通信公司基站信號(hào)覆蓋范圍為半徑5km的圓形區(qū)域，為優(yōu)化信號(hào)質(zhì)量，需計(jì)算信號(hào)強(qiáng)度在極坐標(biāo)系下的分布函數(shù)ρ=3+2cosθ，則該函數(shù)在θ=π/3處的導(dǎo)數(shù)值為______，其物理意義是______。某高校自主招生面試中，6名考官對(duì)某考生的評(píng)分如下：85,92,88,90,89,91。若采用去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后的平均分作為最終成績(jī)，則最終成績(jī)?yōu)開_____，這種計(jì)分方法的主要目的是______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）某中學(xué)為優(yōu)化課程安排，對(duì)高三學(xué)生每周自習(xí)時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻率分布表：|自習(xí)時(shí)間（小時(shí)）|[10,15)|[15,20)|[20,25)|[25,30)|[30,35]||------------------|---------|---------|---------|---------|---------||頻率|0.12|0.28|0.35|0.15|0.10|（1）計(jì)算該校高三學(xué)生每周自習(xí)時(shí)間的數(shù)學(xué)期望；（2）若用分層抽樣從各區(qū)間抽取20名學(xué)生進(jìn)行深度訪談，求[20,25)區(qū)間應(yīng)抽取的人數(shù)；（3）估計(jì)該校學(xué)生每周自習(xí)時(shí)間的中位數(shù)所在區(qū)間。（12分）某醫(yī)療設(shè)備公司研發(fā)新型血糖儀，對(duì)100名志愿者進(jìn)行血糖檢測(cè)試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：||檢測(cè)結(jié)果陽(yáng)性|檢測(cè)結(jié)果陰性|合計(jì)||-----------|--------------|--------------|------||實(shí)際患病|35|5|40||實(shí)際健康|8|52|60||合計(jì)|43|57|100|（1）計(jì)算該血糖儀的靈敏度（患病者檢測(cè)陽(yáng)性率）和特異度（健康者檢測(cè)陰性率）；（2）用貝葉斯定理計(jì)算：當(dāng)檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性時(shí)，實(shí)際患病的概率；（3）若該地區(qū)糖尿病患病率為8%，用全概率公式計(jì)算隨機(jī)抽取一人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率。（12分）某電商平臺(tái)收集10種商品的廣告費(fèi)用x（萬(wàn)元）與月銷售額y（萬(wàn)元）數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到：Σx=45，Σy=240，Σx2=235，Σy2=6240，Σxy=1185（1）建立銷售額對(duì)廣告費(fèi)用的線性回歸方程?=bx+a；（2）計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，并判斷線性相關(guān)程度；（3）若下月計(jì)劃投入廣告費(fèi)用8萬(wàn)元，預(yù)測(cè)銷售額，并計(jì)算當(dāng)顯著性水平α=0.05時(shí)的預(yù)測(cè)區(qū)間（t?.???(8)=2.306，s_e=2.67）。（12分）某數(shù)學(xué)建模小組研究城市居民出行方式選擇問題，提出如下效用函數(shù)模型：U_i=β?X?+β?X?+β?X?+ε_(tái)i其中U_i為選擇第i種交通方式的效用，X?為費(fèi)用（元），X?為時(shí)間（分鐘），X?為舒適度評(píng)分（1-10分）。通過問卷調(diào)查得到參數(shù)估計(jì)值：β?=-0.5，β?=-0.2，β?=0.8。（1）計(jì)算當(dāng)某居民選擇地鐵出行（X?=4，X?=30，X?=7）和公交出行（X?=2，X?=45，X?=5）的效用值；（2）若該模型的誤差項(xiàng)ε_(tái)i服從Gumbel分布，用Logit模型計(jì)算選擇地鐵的概率；（3）分析各參數(shù)的符號(hào)意義，若政策補(bǔ)貼使地鐵費(fèi)用降低1元，計(jì)算效用值變化量。（12分）某物流公司用空間向量?jī)?yōu)化配送路徑，建立三維坐標(biāo)系，倉(cāng)庫(kù)位于原點(diǎn)O(0,0,0)，三個(gè)配送點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,2,3)、B(4,5,6)、C(7,8,9)。（1）計(jì)算向量OA與OB的數(shù)量積及夾角余弦值；（2）求平面ABC的法向量，并計(jì)算點(diǎn)O到該平面的距離；（3）若無(wú)人機(jī)從O點(diǎn)出發(fā)依次配送A、B、C三點(diǎn)，再返回O點(diǎn)，計(jì)算總飛行距離（精確到0.1）。（12分）某環(huán)保監(jiān)測(cè)站對(duì)某湖泊水質(zhì)進(jìn)行年度監(jiān)測(cè)，得到溶解氧含量（mg/L）數(shù)據(jù)如下：2019年：7.8,8.2,7.5,8.5,7.9,8.1,7.7,8.32024年：6.5,7.0,6.8,7.2,6.9,7.1,6.7,7.3（1）分別計(jì)算兩年數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，判斷水質(zhì)變化趨勢(shì)；（2）用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)判斷兩年溶解氧含量是否存在顯著差異（α=0.05，t?.???(14)=2.145）；（3）若溶解氧含量服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，2024年數(shù)據(jù)中落在(μ-σ,μ+σ)區(qū)間內(nèi)的比例是多少？與理論值比較說明什么？參考答案與解析一、選擇題B解析：分層抽樣按比例抽取，[25,35)分鐘組頻率0.4，樣本容量20，故抽取20×0.4=8（人）。A解析：設(shè)A為感染，B為陽(yáng)性，P(A)=0.001，P(B|A)=0.99，P(B|?A)=0.01，由貝葉斯公式：P(A|B)=[0.001×0.99]/[0.001×0.99+0.999×0.01]≈0.09。B解析：A項(xiàng)應(yīng)為減少1.5件；C項(xiàng)相關(guān)系數(shù)r∈(-1,1)；D項(xiàng)決定系數(shù)與模型擬合優(yōu)度有關(guān)，不一定大于0.9；B項(xiàng)當(dāng)x=100時(shí)，?=-1.5×100+280=130。D解析：導(dǎo)數(shù)的物理意義是瞬時(shí)變化率，即第5天熱度指數(shù)的瞬時(shí)增長(zhǎng)速度。B解析：正態(tài)分布中μ=52，σ=8，[44,68]=[μ-σ,μ+2σ]，概率≈0.68+0.135=0.815，數(shù)量=100×0.815=81.5。A解析：列聯(lián)表自由度=(行數(shù)-1)(列數(shù)-1)，使用時(shí)長(zhǎng)5組，性別2組，故(5-1)(2-1)=4。B解析：移動(dòng)平均法可消除時(shí)間序列的自相關(guān)性，對(duì)數(shù)變換用于處理異方差，t檢驗(yàn)用于均值比較。A解析：直線距離=√[(4-2)2+(1-3)2+(7-5)2]=√(4+4+4)=√12=2√3；曼哈頓距離=|4-2|+|1-3|+|7-5|=2+2+2=6，比值=2√3/6=√3/3≈√17/10（近似值）。D解析：A項(xiàng)需控制其他變量；B項(xiàng)需比較標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)；C項(xiàng)R2未知；D項(xiàng)多元回歸需F檢驗(yàn)整體顯著性。B解析：列聯(lián)表χ2=100×(35×52-5×20)2/(40×60×43×57)≈5.83。二、填空題60；432解析：分段間隔=3000/50=60，第7段編號(hào)=12+6×60=432。37；31解析：數(shù)據(jù)排序后為23,25,27,30,32,34,36,38,41,43,45,47,49,52,54，中位數(shù)為第8個(gè)數(shù)36和第9個(gè)數(shù)41的平均=38.5（原答案37修正為38.5，莖葉圖數(shù)據(jù)共15個(gè)）。5.4；0.4解析：2025年?=0.2×2025-395.6=5.4，殘差=5.8-5.4=0.4。3.14；隨機(jī)誤差解析：π≈4×(7850/10000)=3.14，蒙特卡洛方法誤差來源于隨機(jī)投點(diǎn)的偶然性。-√3；方向?qū)?shù)解析：ρ'=-2sinθ，θ=π/3時(shí)，ρ'=-2×√3/2=-√3，表示該方向上信號(hào)強(qiáng)度的變化率。89.5；減少極端值影響解析：去掉85和92后，平均分為(88+90+89+91)/4=89.5，去極值可降低異常數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果的影響。三、解答題解：（1）期望E(X)=12.5×0.12+17.5×0.28+22.5×0.35+27.5×0.15+32.5×0.10=21.85（小時(shí)）（2）[20,25)區(qū)間頻率0.35，應(yīng)抽取20×0.35=7（人）（3）累計(jì)頻率：[10,15)0.12，[15,20)0.40，中位數(shù)在[20,25)區(qū)間。解：（1）靈敏度=35/40=0.875，特異度=52/60≈0.867（2）P(患病|陽(yáng)性)=35/43≈0.814（3）P(陽(yáng)性)=0.08×0.875+0.92×0.133≈0.07+0.122=0.192解：（1）b=(nΣxy-ΣxΣy)/(nΣx2-(Σx)2)=(10×1185-45×240)/(10×235-452)=105/100=1.05a=?-bx?=24-1.05×4.5=19.275，回歸方程?=1.05x+19.275（2）r=(10×1185-45×240)/√[(10×235-452)(10×6240-2402)]=105/√(100×2400)=105/489.9≈0.214，弱相關(guān)（3）預(yù)測(cè)值?=1.05×8+19.275=27.675（萬(wàn)元），預(yù)測(cè)區(qū)間(27.675±2.145×2.67)≈(21.9,33.4)解：（1）U_地鐵=-0.5×4-0.2×30+0.8×7=-2-6+5.6=-2.4U_公交=-0.5×2-0.2×45+0.8×5=-1-9+4=-6（2）P(地鐵)=e^(-2.4)/(e^(-2.4)+e^(-6))≈0.916（3）β?=-0.5表示費(fèi)用每增加1元，效用減少0.5；費(fèi)用降低1元，效用增加0.5。解：（1）OA·OB=1×4+2×5+3×6=4+10+18=32，|OA|=√14，|OB|=√77，cosθ=32/(√14×√77)=32/(7√22)≈0.97（2）AB=(3,3,3)，AC=(6,6,6)，法向量n=(1,-1,0)，距離d=|0+0+0|/√(1+1+0)=0（三點(diǎn)共線，平面不存在）（3）總距離=|OA|+|AB|+|BC|+|CO|=√14+3√3+3√3+√1