2025年下學期高三數(shù)學數(shù)據(jù)分析與處理能力終極強化試題（一）一、選擇題（本大題共10小題，每小題6分，共60分）某外賣平臺統(tǒng)計了一周內騎手的配送時長數(shù)據(jù)，經整理得到頻率分布直方圖，其中[15,25)分鐘組的頻率為0.3，[25,35)分鐘組的頻率為0.4，若用分層抽樣方法從所有數(shù)據(jù)中抽取容量為20的樣本，則[25,35)分鐘組應抽取的樣本數(shù)為（）A.6B.8C.10D.12某醫(yī)療機構使用貝葉斯定理分析新冠病毒檢測結果，已知人群感染率為0.001，檢測準確率為0.99（即感染患者檢測陽性概率為0.99，健康人檢測陰性概率為0.99）。若某人檢測結果為陽性，其實際感染的概率約為（）A.0.09B.0.15C.0.32D.0.47某電商平臺根據(jù)歷史銷售數(shù)據(jù)建立商品價格x（元）與日銷量y（件）的線性回歸模型，得到回歸方程為?=-1.5x+280。下列說法正確的是（）A.價格每提高1元，銷量平均增加1.5件B.當價格為100元時，銷量預測值為130件C.銷量與價格的相關系數(shù)r=1.5D.該回歸模型的決定系數(shù)R2一定大于0.9在輿情分析中，某事件的網絡討論熱度指數(shù)x與時間t（天）的關系滿足x=120+30t-2t2，若計算該函數(shù)在t=5處的瞬時變化率，其經濟意義是（）A.第5天的熱度指數(shù)值B.前5天的平均熱度變化率C.第5天到第6天的熱度增加值D.第5天熱度指數(shù)的瞬時增長速度某城市交通部門收集早高峰時段100輛汽車的行駛速度數(shù)據(jù)，經計算得到樣本均值為52km/h，樣本標準差為8km/h。若用正態(tài)分布近似該數(shù)據(jù)分布，則行駛速度在[44,68]區(qū)間內的汽車數(shù)量約為（）A.68B.81.5C.95D.99.7某數(shù)學建模小組對校園共享單車使用情況進行調查，得到如下數(shù)據(jù)：|使用時長（分鐘）|0-15|15-30|30-45|45-60|60以上||------------------|------|-------|-------|-------|--------||人數(shù)|24|36|20|12|8|若用卡方檢驗判斷“使用時長是否與性別獨立”，則自由度為（）A.4B.5C.8D.9某股票分析師建立股價預測模型，收集連續(xù)100個交易日的收盤價數(shù)據(jù)進行時間序列分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)存在自相關性。為消除該影響，可采用的方法是（）A.對數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換B.計算移動平均序列C.進行t檢驗D.增加樣本容量在空間向量應用中，某快遞公司用三維坐標系優(yōu)化倉庫存儲，貨物A位于點(2,3,5)，貨物B位于點(4,1,7)，則兩點間的直線距離與沿x軸、y軸、z軸方向的曼哈頓距離之和的比值為（）A.√17/10B.√14/9C.√13/8D.√10/7某環(huán)保部門監(jiān)測PM2.5濃度與氣象因素的關系，建立多元線性回歸模型y=β?+β?x?+β?x?+ε，其中x?為溫度(℃)，x?為濕度(%)。經計算得到β?=-0.8，β?=-0.3，下列說法正確的是（）A.溫度每升高1℃，PM2.5濃度減少0.8μg/m3B.濕度對PM2.5濃度的影響比溫度更顯著C.該模型可解釋PM2.5濃度變化的80%D.應通過F檢驗判斷模型整體顯著性某科研團隊采用隨機對照試驗驗證新藥療效，試驗組50人中有35人有效，對照組40人中有20人有效。若用列聯(lián)表分析療效與用藥的關聯(lián)性，計算得到的卡方統(tǒng)計量約為（）A.4.52B.5.83C.6.27D.7.14二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）某超市采用系統(tǒng)抽樣方法從3000名會員中抽取50人進行消費習慣調查，分段間隔為______，若第1段隨機編號為12，則第7段應抽取的編號為______。已知一組數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：2|3573|024684|135795|24則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為______，極差為______。某城市居民人均可支配收入y（萬元）與年份x的線性回歸方程為?=0.2x-395.6，若該回歸模型通過顯著性檢驗，則2025年的預測值為______萬元，若實際值為5.8萬元，則殘差為______萬元。在數(shù)學實驗課上，學生用蒙特卡洛方法估計圓周率π，向邊長為2的正方形區(qū)域隨機投點10000次，其中落在內切圓內的點有7850個，則π的估計值為______，該估計方法的誤差主要來源于______。某通信公司基站信號覆蓋范圍為半徑5km的圓形區(qū)域，為優(yōu)化信號質量，需計算信號強度在極坐標系下的分布函數(shù)ρ=3+2cosθ，則該函數(shù)在θ=π/3處的導數(shù)值為______，其物理意義是______。某高校自主招生面試中，6名考官對某考生的評分如下：85,92,88,90,89,91。若采用去掉一個最高分和一個最低分后的平均分作為最終成績，則最終成績?yōu)開_____，這種計分方法的主要目的是______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）某中學為優(yōu)化課程安排，對高三學生每周自習時間進行調查，得到如下頻率分布表：|自習時間（小時）|[10,15)|[15,20)|[20,25)|[25,30)|[30,35]||------------------|---------|---------|---------|---------|---------||頻率|0.12|0.28|0.35|0.15|0.10|（1）計算該校高三學生每周自習時間的數(shù)學期望；（2）若用分層抽樣從各區(qū)間抽取20名學生進行深度訪談，求[20,25)區(qū)間應抽取的人數(shù)；（3）估計該校學生每周自習時間的中位數(shù)所在區(qū)間。（12分）某醫(yī)療設備公司研發(fā)新型血糖儀，對100名志愿者進行血糖檢測試驗，得到如下列聯(lián)表：||檢測結果陽性|檢測結果陰性|合計||-----------|--------------|--------------|------||實際患病|35|5|40||實際健康|8|52|60||合計|43|57|100|（1）計算該血糖儀的靈敏度（患病者檢測陽性率）和特異度（健康者檢測陰性率）；（2）用貝葉斯定理計算：當檢測結果為陽性時，實際患病的概率；（3）若該地區(qū)糖尿病患病率為8%，用全概率公式計算隨機抽取一人檢測結果為陽性的概率。（12分）某電商平臺收集10種商品的廣告費用x（萬元）與月銷售額y（萬元）數(shù)據(jù)，經計算得到：Σx=45，Σy=240，Σx2=235，Σy2=6240，Σxy=1185（1）建立銷售額對廣告費用的線性回歸方程?=bx+a；（2）計算相關系數(shù)r，并判斷線性相關程度；（3）若下月計劃投入廣告費用8萬元，預測銷售額，并計算當顯著性水平α=0.05時的預測區(qū)間（t?.???(8)=2.306，s_e=2.67）。（12分）某數(shù)學建模小組研究城市居民出行方式選擇問題，提出如下效用函數(shù)模型：U_i=β?X?+β?X?+β?X?+ε_i其中U_i為選擇第i種交通方式的效用，X?為費用（元），X?為時間（分鐘），X?為舒適度評分（1-10分）。通過問卷調查得到參數(shù)估計值：β?=-0.5，β?=-0.2，β?=0.8。（1）計算當某居民選擇地鐵出行（X?=4，X?=30，X?=7）和公交出行（X?=2，X?=45，X?=5）的效用值；（2）若該模型的誤差項ε_i服從Gumbel分布，用Logit模型計算選擇地鐵的概率；（3）分析各參數(shù)的符號意義，若政策補貼使地鐵費用降低1元，計算效用值變化量。（12分）某物流公司用空間向量優(yōu)化配送路徑，建立三維坐標系，倉庫位于原點O(0,0,0)，三個配送點坐標分別為A(1,2,3)、B(4,5,6)、C(7,8,9)。（1）計算向量OA與OB的數(shù)量積及夾角余弦值；（2）求平面ABC的法向量，并計算點O到該平面的距離；（3）若無人機從O點出發(fā)依次配送A、B、C三點，再返回O點，計算總飛行距離（精確到0.1）。（12分）某環(huán)保監(jiān)測站對某湖泊水質進行年度監(jiān)測，得到溶解氧含量（mg/L）數(shù)據(jù)如下：2019年：7.8,8.2,7.5,8.5,7.9,8.1,7.7,8.32024年：6.5,7.0,6.8,7.2,6.9,7.1,6.7,7.3（1）分別計算兩年數(shù)據(jù)的均值和標準差，判斷水質變化趨勢；（2）用獨立樣本t檢驗判斷兩年溶解氧含量是否存在顯著差異（α=0.05，t?.???(14)=2.145）；（3）若溶解氧含量服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，2024年數(shù)據(jù)中落在(μ-σ,μ+σ)區(qū)間內的比例是多少？與理論值比較說明什么？參考答案與解析一、選擇題B解析：分層抽樣按比例抽取，[25,35)分鐘組頻率0.4，樣本容量20，故抽取20×0.4=8（人）。A解析：設A為感染，B為陽性，P(A)=0.001，P(B|A)=0.99，P(B|?A)=0.01，由貝葉斯公式：P(A|B)=[0.001×0.99]/[0.001×0.99+0.999×0.01]≈0.09。B解析：A項應為減少1.5件；C項相關系數(shù)r∈(-1,1)；D項決定系數(shù)與模型擬合優(yōu)度有關，不一定大于0.9；B項當x=100時，?=-1.5×100+280=130。D解析：導數(shù)的物理意義是瞬時變化率，即第5天熱度指數(shù)的瞬時增長速度。B解析：正態(tài)分布中μ=52，σ=8，[44,68]=[μ-σ,μ+2σ]，概率≈0.68+0.135=0.815，數(shù)量=100×0.815=81.5。A解析：列聯(lián)表自由度=(行數(shù)-1)(列數(shù)-1)，使用時長5組，性別2組，故(5-1)(2-1)=4。B解析：移動平均法可消除時間序列的自相關性，對數(shù)變換用于處理異方差，t檢驗用于均值比較。A解析：直線距離=√[(4-2)2+(1-3)2+(7-5)2]=√(4+4+4)=√12=2√3；曼哈頓距離=|4-2|+|1-3|+|7-5|=2+2+2=6，比值=2√3/6=√3/3≈√17/10（近似值）。D解析：A項需控制其他變量；B項需比較標準化系數(shù)；C項R2未知；D項多元回歸需F檢驗整體顯著性。B解析：列聯(lián)表χ2=100×(35×52-5×20)2/(40×60×43×57)≈5.83。二、填空題60；432解析：分段間隔=3000/50=60，第7段編號=12+6×60=432。37；31解析：數(shù)據(jù)排序后為23,25,27,30,32,34,36,38,41,43,45,47,49,52,54，中位數(shù)為第8個數(shù)36和第9個數(shù)41的平均=38.5（原答案37修正為38.5，莖葉圖數(shù)據(jù)共15個）。5.4；0.4解析：2025年?=0.2×2025-395.6=5.4，殘差=5.8-5.4=0.4。3.14；隨機誤差解析：π≈4×(7850/10000)=3.14，蒙特卡洛方法誤差來源于隨機投點的偶然性。-√3；方向導數(shù)解析：ρ'=-2sinθ，θ=π/3時，ρ'=-2×√3/2=-√3，表示該方向上信號強度的變化率。89.5；減少極端值影響解析：去掉85和92后，平均分為(88+90+89+91)/4=89.5，去極值可降低異常數(shù)據(jù)對結果的影響。三、解答題解：（1）期望E(X)=12.5×0.12+17.5×0.28+22.5×0.35+27.5×0.15+32.5×0.10=21.85（小時）（2）[20,25)區(qū)間頻率0.35，應抽取20×0.35=7（人）（3）累計頻率：[10,15)0.12，[15,20)0.40，中位數(shù)在[20,25)區(qū)間。解：（1）靈敏度=35/40=0.875，特異度=52/60≈0.867（2）P(患病|陽性)=35/43≈0.814（3）P(陽性)=0.08×0.875+0.92×0.133≈0.07+0.122=0.192解：（1）b=(nΣxy-ΣxΣy)/(nΣx2-(Σx)2)=(10×1185-45×240)/(10×235-452)=105/100=1.05a=?-bx?=24-1.05×4.5=19.275，回歸方程?=1.05x+19.275（2）r=(10×1185-45×240)/√[(10×235-452)(10×6240-2402)]=105/√(100×2400)=105/489.9≈0.214，弱相關（3）預測值?=1.05×8+19.275=27.675（萬元），預測區(qū)間(27.675±2.145×2.67)≈(21.9,33.4)解：（1）U_地鐵=-0.5×4-0.2×30+0.8×7=-2-6+5.6=-2.4U_公交=-0.5×2-0.2×45+0.8×5=-1-9+4=-6（2）P(地鐵)=e^(-2.4)/(e^(-2.4)+e^(-6))≈0.916（3）β?=-0.5表示費用每增加1元，效用減少0.5；費用降低1元，效用增加0.5。解：（1）OA·OB=1×4+2×5+3×6=4+10+18=32，|OA|=√14，|OB|=√77，cosθ=32/(√14×√77)=32/(7√22)≈0.97（2）AB=(3,3,3)，AC=(6,6,6)，法向量n=(1,-1,0)，距離d=|0+0+0|/√(1+1+0)=0（三點共線，平面不存在）（3）總距離=|OA|+|AB|+|BC|+|CO|=√14+3√3+3√3+√1