2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)工具解決問題試題（二）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?[0,1]$，則函數(shù)$g(x)=f(x+\frac{1}{2})+f(x-\frac{1}{2})$的定義域?yàn)椋ǎ〢.$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$B.$[\frac{1}{2},1]$C.$[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$D.$[0,1]$已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,1)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則實(shí)數(shù)$m$的值為（）A.$-2$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$2$已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則$a_5$的值為（）A.$15$B.$31$C.$63$D.$127$函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的最小正周期和最大值分別為（）A.$\pi$，$\sqrt{2}$B.$2\pi$，$\sqrt{2}$C.$\pi$，$2$D.$2\pi$，$2$某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.$\frac{8}{3}$B.$\frac{16}{3}$C.$\frac{32}{3}$D.$16$已知直線$l_1:ax+2y+6=0$與直線$l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0$平行，則實(shí)數(shù)$a$的值為（）A.$-1$或$2$B.$-1$C.$2$D.$1$從$1$，$2$，$3$，$4$，$5$這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字，則這兩個數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，則$f(x)$的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.$(0,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線方程為（）A.$y=\pm\frac{1}{2}x$B.$y=\pm2x$C.$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$D.$y=\pm\sqrt{3}x$已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\log_2x,x>0\end{cases}$，則$f(f(-1))$的值為（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，則函數(shù)$f(x)$的極大值為（）A.$-1$B.$1$C.$3$D.$5$在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，則三棱錐$P-ABC$的外接球的表面積為（）A.$13\pi$B.$25\pi$C.$34\pi$D.$50\pi$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$，則$f(x)$在區(qū)間$[0,3]$上的最小值為___。已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，則向量$\vec{a}$在向量$\vec$方向上的投影為___。已知拋物線$y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，準(zhǔn)線為$l$，過點(diǎn)$F$的直線交拋物線于$A$，$B$兩點(diǎn)，若$|AF|=3$，則$|BF|=$___。已知函數(shù)$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的部分圖象如圖所示，則$\omega=$，$\varphi=$。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x-\frac{\sqrt{3}}{2}$。（1）求函數(shù)$f(x)$的最小正周期；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列${a_n}$是等差數(shù)列，且$a_1=2$，$a_1+a_2+a_3=12$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）令$b_n=a_n\cdot3^n$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AD=2$，$AB=4$，$E$是$PD$的中點(diǎn)。（1）求證：$AE\parallel$平面$PBC$；（2）求三棱錐$E-PBC$的體積。（本小題滿分12分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且過點(diǎn)$(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A$，$B$兩點(diǎn)，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2}$，求證：$\triangleAOB$的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3bx$的圖象與直線$12x+y-1=0$相切于點(diǎn)$(1,-11)$。（1）求$a$，$b$的值；（2）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為$40$元，銷售價為$60$元，每月可銷售$500$件。為了提高利潤，工廠決定改進(jìn)生產(chǎn)工藝，降低成本。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件產(chǎn)品的成本降低$1$元，月銷售量可增加$50$件。（1）設(shè)每件產(chǎn)品的成本降低$x$元，月利潤為$y$元，求$y$關(guān)于$x$的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的成本降低多少元時，月利潤最大？最大月利潤是多少？參考答案與解析一、選擇題B2.A3.B4.B5.C6.B7.B8.A9.A10.A11.C12.C二、填空題214.$\frac{11}{5}$15.$\frac{3}{2}$16.$2$，$-\frac{\pi}{6}$三、解答題（1）$f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}(1+\cos2x)-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，所以函數(shù)$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$。（2）因?yàn)?x\in[0,\frac{\pi}{2}]$，所以$2x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]$，當(dāng)$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$，即$x=\frac{\pi}{12}$時，$f(x)$取得最大值$1$；當(dāng)$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$，即$x=\frac{\pi}{2}$時，$f(x)$取得最小值$-\frac{\sqrt{3}}{2}$。（1）設(shè)數(shù)列${a_n}$的公差為$d$，則$a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=12$，因?yàn)?a_1=2$，所以$d=2$，所以$a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n$。（2）由（1）知$b_n=a_n\cdot3^n=2n\cdot3^n$，則$S_n=2(1\cdot3+2\cdot3^2+\cdots+n\cdot3^n)$，$3S_n=2(1\cdot3^2+2\cdot3^3+\cdots+n\cdot3^{n+1})$，兩式相減得$-2S_n=2(3+3^2+\cdots+3^n-n\cdot3^{n+1})=2(\frac{3(1-3^n)}{1-3}-n\cdot3^{n+1})=3(3^n-1)-2n\cdot3^{n+1}=(1-2n)3^{n+1}-3$，所以$S_n=\frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{2}$。（1）取$PC$的中點(diǎn)$F$，連接$EF$，$BF$，因?yàn)?E$是$PD$的中點(diǎn)，所以$EF\parallelCD$，$EF=\frac{1}{2}CD$，又因?yàn)?ABCD$是矩形，所以$AB\parallelCD$，$AB=CD$，所以$EF\parallelAB$，$EF=\frac{1}{2}AB$，即四邊形$ABFE$是平行四邊形，所以$AE\parallelBF$，因?yàn)?AE\not\subset$平面$PBC$，$BF\subset$平面$PBC$，所以$AE\parallel$平面$PBC$。（2）因?yàn)?PA\perp$平面$ABCD$，所以$PA$是三棱錐$P-ABC$的高，$V_{P-ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\cdotPA=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times4\times2\times2=\frac{8}{3}$，因?yàn)?E$是$PD$的中點(diǎn)，所以$E$到平面$ABC$的距離是$P$到平面$ABC$距離的一半，即$\frac{1}{2}PA=1$，所以$V_{E-ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\cdot1=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times4\times2\times1=\frac{4}{3}$，所以$V_{E-PBC}=V_{P-ABC}-V_{E-ABC}=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}$。（1）由題意得$\begin{cases}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\frac{1}{a^2}+\frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{b^2}=1\a^2=b^2+c^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a^2=2\b^2=1\end{cases}$，所以橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{2}+y^2=1$。（2）設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，聯(lián)立$\begin{cases}\frac{x^2}{2}+y^2=1\y=kx+m\end{cases}$，得$(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0$，所以$x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2}$，$x_1x_2=\frac{2m^2-2}{1+2k^2}$，因?yàn)?k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2}$，所以$\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{2}$，即$y_1y_2=-\frac{1}{2}x_1x_2$，又因?yàn)?y_1y_2=(kx_1+m)(kx_2+m)=k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2$，所以$k^2x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=-\frac{1}{2}x_1x_2$，將$x_1+x_2$，$x_1x_2$代入得$k^2\cdot\frac{2m^2-2}{1+2k^2}+km\cdot(-\frac{4km}{1+2k^2})+m^2=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2m^2-2}{1+2k^2}$，化簡得$m^2=1+2k^2$，所以$|AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(-\frac{4km}{1+2k^2})^2-4\cdot\frac{2m^2-2}{1+2k^2}}=\sqrt{1+k^2}\sqrt{\frac{16k^2m^2-4(2m^2-2)(1+2k^2)}{(1+2k^2)^2}}=\sqrt{1+k^2}\sqrt{\frac{8(1+2k^2-m^2)}{(1+2k^2)^2}}=\sqrt{1+k^2}\sqrt{\frac{8(1+2k^2-(1+2k^2))}{(1+2k^2)^2}}=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{1+k^2}}{1+2k^2}$，原點(diǎn)$O$到直線$l$的距離$d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{\sqrt{1+2k^2}}{\sqrt{1+k^2}}$，所以$S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|AB|\cdotd=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{1+k^2}}{1+2k^2}\times\frac{\sqrt{1+2k^2}}{\sqrt{1+k^2}}=\sqrt{2}$，即$\triangleAOB$的面積為定值$\sqrt{2}$。（1）因?yàn)楹瘮?shù)$f(x)$的圖象與直線$12x+y-1=0$相切于點(diǎn)$(1,-11)$，所以$f(1)=-11$，$f^\prime(1)=-12$，又因?yàn)?f(x)=x^3-3ax^2+3bx$，所以$f^\prime(x)=3x^2-6ax+3b$，則$\begin{cases}1-3a+3b=-11\3-6a+3b=-12\end{cases}$，解得