2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)綜合提升試題（一）一、選擇題（每題5分，共60分）已知函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+b$，其中$a,b$為實(shí)數(shù)，且$f(1)=0$，$f(2)=1$，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.$a=1,b=1$B.$a=1,b=0$C.$a=0,b=1$D.$a=0,b=0$在$\triangleABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，點(diǎn)$D$在$BC$邊上，且$BD=DC$，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.$\angleBAC=90^\circ$B.$\angleABC=90^\circ$C.$\angleACB=90^\circ$D.無(wú)法確定已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+2$（$n\geq2$），則$S_5$的值為（）A.15B.20C.25D.30已知等差數(shù)列${a_n}$的公差為$d$，且$a_1=2$，$a_4=8$，則$a_{10}$的值為（）A.18B.20C.22D.24已知函數(shù)$f(x)=x^2-3x+2$，則$f(x)$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4已知等比數(shù)列${a_n}$的公比為$q$，且$a_1=1$，$a_3=8$，則$q$的值為（）A.2B.4C.8D.16在$\triangleABC$中，$AB=5$，$AC=6$，$BC=7$，則$\sinA$的值為（）A.$\frac{5}{6}$B.$\frac{6}{7}$C.$\frac{7}{8}$D.$\frac{8}{9}$已知函數(shù)$f(x)=|x-2|$，則$f(3)$的值為（）A.1B.2C.3D.4在$\triangleABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，則$\cosB$的值為（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{5}{6}$D.$\frac{6}{7}$已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$a_1=1$，$a_n=2a_{n-1}-1$（$n\geq2$），則$S_4$的值為（）A.4B.6C.8D.10設(shè)集合$A={x|x^2-3x+2=0}$，$B={x|x^2-ax+a-1=0}$，若$A\cupB=A$，則實(shí)數(shù)$a$的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+\lnx$，則$f(x)$在$x=1$處的切線方程為（）A.$y=1$B.$y=x-1$C.$y=2x-1$D.$y=2x+1$二、填空題（每題5分，共20分）已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，則$f(x)$的零點(diǎn)為________。在$\triangleABC$中，$\angleA=60^\circ$，$\angleB=45^\circ$，則$\sinC$的值為________。已知等差數(shù)列${a_n}$的公差為$d$，且$a_1=3$，$a_4=9$，則$d$的值為________。已知函數(shù)$f(x)=2x-1$，則$f(-3)$的值為________。三、解答題（每題15分，共60分）1.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，求$f(x)$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。解析：令$f(x)=0$，即$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x=1$或$x=3$。因此，交點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,0)$和$(3,0)$。2.已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$a_1=1$，$a_n=2a_{n-1}-1$（$n\geq2$），求$S_{10}$。解析：由遞推公式可得：$a_2=2a_1-1=1$，$a_3=2a_2-1=1$，以此類推，數(shù)列${a_n}$為常數(shù)列，即$a_n=1$（$n\in\mathbb{N}^*$）。因此，$S_{10}=10\times1=10$。3.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品的成本為50元，售價(jià)為100元?，F(xiàn)在計(jì)劃增加一條生產(chǎn)線，預(yù)計(jì)新增的生產(chǎn)線每月能生產(chǎn)$n$個(gè)產(chǎn)品，但每增加一個(gè)產(chǎn)品，售價(jià)會(huì)下降1元。求每月新增生產(chǎn)線的最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量，使得總利潤(rùn)最大。解析：設(shè)新增生產(chǎn)數(shù)量為$n$，則售價(jià)為$100-n$元，總成本為$50n$元，總利潤(rùn)$L=(100-n)n-50n=50n-n^2$。對(duì)$L$求導(dǎo)得$L'=50-2n$，令$L'=0$，解得$n=25$。當(dāng)$n=25$時(shí)，$L_{\text{max}}=50\times25-25^2=625$元。因此，最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量為25個(gè)。4.在$\triangleABC$中，已知$AB=8$，$AC=10$，$\angleA=120^\circ$，求$\triangleABC$的面積。解析：根據(jù)三角形面積公式$S=\frac{1}{2}bc\sinA$，代入$b=AC=10$，$c=AB=8$，$\angleA=120^\circ$：$S=\frac{1}{2}\times10\times8\times\sin120^\circ=40\times\frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}$。四、證明題（15分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x$，證明$f(x)$在$x=-1$處有極大值。證明：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-3$。令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$。當(dāng)$x<-1$時(shí)，$f'(x)=3(x^2-1)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$-1<x<1$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，$x=-1$時(shí)函數(shù)取得極大值，$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2$。五、綜合題（15分）已知二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像頂點(diǎn)在第二象限，且經(jīng)過點(diǎn)$A(1,0)$和$B(0,1)$，與$x$軸的另一個(gè)交點(diǎn)為$C$。（1）求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍；（2）當(dāng)$\triangleABC$面積等于$\frac{3}{2}$時(shí)，求$\triangleABM$（$M$為頂點(diǎn)）的面積。解析：（1）由題意得：$\begin{cases}a+b+c=0\c=1\end{cases}\Rightarrowb=-a-1$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)=\left(\frac{a+1}{2a},\frac{4a-(a+1)^2}{4a}\right)$。因?yàn)轫旤c(diǎn)在第二象限，所以$\frac{a+1}{2a}<0$且$\frac{4a-(a+1)^2}{4a}>0$，解得$-1<a<0$。（2）由韋達(dá)定理，$x_Ax_C=\frac{c}{a}=\frac{1}{a}$，則$x_C=\frac{1}{a}$，$|AC|=1-\frac{1}{a}$，$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times|AC|\times1=\frac{3}{2}\Rightarrow1-\frac{1}{a}=3\Rightarrowa=-\frac{1}{2}$。此時(shí)$b=-\left(-\frac{1}{2}\right)-1=-\frac{1}{2}$，頂點(diǎn)$M\left(-1,\frac{9}{4}\righ