2025年下學(xué)期高三數(shù)學(xué)限時(shí)60分鐘綜合演練（一）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x-10\leq0})，(B={x|y=\lg(x-1)})，則(A\capB=)（）A.([-2,5])B.((1,5])C.([-2,1))D.((1,+\infty))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec))，則實(shí)數(shù)(m=)（）A.-3B.-1C.1D.3函數(shù)(f(x)=\frac{\sinx}{e^x+e^{-x}})的圖象大致為（）A.B.C.D.已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_3+a_5=14)，(S_7=49)，則(a_7=)（）A.10B.11C.12D.13某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的右焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)且斜率為(\sqrt{3})的直線與雙曲線的一條漸近線平行，則雙曲線的離心率為（）A.(\sqrt{3})B.2C.(\sqrt{5})D.3已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x-1,&x\leq0,\\lnx,&x>0,\end{cases})若函數(shù)(g(x)=f(x)-kx)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)(k)的取值范圍是（）A.((0,\frac{1}{e}))B.((\frac{1}{e},1))C.((1,e))D.((e,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}=)________．若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq0,\y\leq3,\end{cases})則(z=x+2y)的最大值為________．在((x-\frac{1}{\sqrt{x}})^6)的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________（用數(shù)字作答）．已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的最小正周期為(\pi)，且其圖象關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對(duì)稱，則(\varphi=)________．三、解答題（本大題共3小題，共40分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，內(nèi)角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，已知(a=3)，(b=2\sqrt{3})，(\cosB=-\frac{1}{3})．（1）求(\sinA)的值；（2）求(\triangleABC)的面積．（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐(P-ABCD)中，底面(ABCD)是菱形，(PA\perp)底面(ABCD)，(PA=AB=2)，(\angleABC=60^\circ)，(E)是(PC)的中點(diǎn)．（1）求證：(BE\parallel)平面(PAD)；（2）求二面角(A-PD-C)的余弦值．（本小題滿分14分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，右焦點(diǎn)為(F(1,0))，過點(diǎn)(F)的直線(l)與橢圓(E)交于(A,B)兩點(diǎn)．（1）求橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(l)的斜率為1，求(|AB|)的值；（3）設(shè)點(diǎn)(M(2,0))，求證：(\angleAMF=\angleBMF)．參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.D3.A4.A5.B6.C7.B8.A二、填空題410.911.1512.(-\frac{\pi}{6})三、解答題（1）在(\triangleABC)中，由(\cosB=-\frac{1}{3})，得(\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{2\sqrt{2}}{3})．由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})，得(\sinA=\frac{a\sinB}=\frac{3\times\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3})．（6分）（2）由余弦定理(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB)，得((2\sqrt{3})^2=3^2+c^2-2\times3c\times(-\frac{1}{3}))，整理得(c^2+2c-3=0)，解得(c=1)（(c=-3)舍去）．所以(\triangleABC)的面積(S=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}\times3\times1\times\frac{2\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2})．（12分）（1）取(PD)的中點(diǎn)(F)，連接(AF,EF)．因?yàn)?E,F)分別是(PC,PD)的中點(diǎn)，所以(EF\parallelCD)，(EF=\frac{1}{2}CD)．又因?yàn)榈酌?ABCD)是菱形，所以(AB\parallelCD)，(AB=CD)，所以(EF\parallelAB)，(EF=AB)．所以四邊形(ABEF)是平行四邊形，所以(BE\parallelAF)．因?yàn)?BE\not\subset)平面(PAD)，(AF\subset)平面(PAD)，所以(BE\parallel)平面(PAD)．（6分）（2）以(A)為原點(diǎn)，(AB)所在直線為(x)軸，(AD)所在直線為(y)軸，(AP)所在直線為(z)軸，建立空間直角坐標(biāo)系(A-xyz)．則(A(0,0,0))，(D(0,2,0))，(P(0,0,2))，(C(2,2,0))．(\vec{PD}=(0,2,-2))，(\vec{PC}=(2,2,-2))．設(shè)平面(PCD)的法向量為(\vec{n}=(x,y,z))，則(\begin{cases}\vec{n}\cdot\vec{PD}=0,\\vec{n}\cdot\vec{PC}=0,\end{cases})即(\begin{cases}2y-2z=0,\2x+2y-2z=0,\end{cases})令(z=1)，得(y=1)，(x=0)，所以(\vec{n}=(0,1,1))．平面(PAD)的一個(gè)法向量為(\vec{m}=(1,0,0))．所以(\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle=\frac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0)．由圖可知二面角(A-PD-C)為銳角，所以二面角(A-PD-C)的余弦值為(\frac{\sqrt{2}}{2})．（14分）（1）由題意得(\begin{cases}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2},\c=1,\a^2=b^2+c^2,\end{cases})解得(a=\sqrt{2})，(b=1)，(c=1)．所以橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程為(\frac{x^2}{2}+y^2=1)．（4分）（2）直線(l)的方程為(y=x-1)．聯(lián)立(\begin{cases}y=x-1,\\frac{x^2}{2}+y^2=1,\end{cases})消去(y)得(3x^2-4x=0)，解得(x=0)或(x=\frac{4}{3})．所以(A(0,-1))，(B(\frac{4}{3},\frac{1}{3}))，所以(|AB|=\sqrt{(\frac{4}{3}-0)^2+(\frac{1}{3}+1)^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3})．（8分）（3）當(dāng)直線(l)的斜率不存在時(shí)，直線(l)的方程為(x=1)，此時(shí)(A,B)關(guān)于(x)軸對(duì)稱，所以(\angleAMF=\angleBMF)．當(dāng)直線(l)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(l)的方程為(y=k(x-1))，(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))．聯(lián)立(\begin{cases}y=k(x-1),\\frac{x^2}{2}+y^2=1,\end{cases})消去(y)得((1+2k^2)x^2-4k^2x+2k^2-2=0)，所以(x_1+x_2=\frac{4k^2}{1+2k^2})，(x_1x_2=\frac{2k^2-2}{1+2k^2})．因?yàn)?M(2,0))，所以(k_{AM}+k_{BM}=\frac{y_1}{x_1-2}+\frac{y_2}{x_2-2}=\frac{k(x_1-1)}{x_1-2}+\frac{k(x_2-1)}{x_2-2})(=k\cdot\frac{(x_1-1)(x_2-2)+(x_2-1)(x_1-2)}{(x_1-2)(x_2-2)})．分子(=(x_1-1)(x_2-2)+(x_2-1)(x_1-2)=2x_1x_2-3(x_1